книги из ГПНТБ / Лапицкий Е.Г. Радиопередающие устройства. Основы теории нелинейных цепей [учебное пособие]

Поскольку изменение анодного тока во времени при этом будет периодическим, он может быть представлен в виде три­ гонометрического ряда (ряда Фурье):

Таким образом, при воздействии на нелинейную систему гармонической э. д. с. на ее выходе появляются составляющие с. частотой, отличной от частоты воздействия, т. е. происходит трансформация (преобразование) спектра частоте

Нахождение амплитуд отдельных составляющих анодного тока (гармоник) может быть произведено численным разложе-' нием в ряд Фурье: полученной кривой тока V -~ /(«>£).

Наиболее просто это осуществляется применением прибли­ женного метода нескольких ординат, аналогичного методу на­ хождения коэффициентов аппроксимирующего полинома, кото­ рый был рассмотрен выше. Количество необходимых ординат (выбираемых на промежутке зависимости ia—f{v>t) за полпериода) определяется количеством искомых составляющих тока.

30

Так, например, если нужно найти постоянную составляющую и амплитуды первых двух гармоник (1а1 и /а9), то потребуются три ординаты; если же необходимо определить постоянную составляющую и амплитуды первых четырех гармоник — пять ординат и т. д. Допустим, что в рассматриваемом примере (рис. 2.3) нас будут интересовать постоянная составляющая и амплитуды первых четырех гармоник, т. с. ряд Фурье (12) будет ограничен первыми пятью членами:

Так как неизвестных (/a0, /а1... ) пять, то для их нахожде­ ния потребуется пять ординат функции 4~=/ ( 0)4, взятых на промежутке в полпериода. В качестве этих ординат выберем значения тока 4 при следующих значениях аргумента: ю/ (г 60, 90, 120 и 180° (см. рис. 2.3). Подставляя эти значения аргумента к соответствующие им мгновенные значения анод­ ного тока в (13), получаем следующую систему алгебраиче­ ских уравнений (обозначения соответствуют обозначениям, при­ нятым на рис. 2.3):

Решая полученную систему уравнений, найдем следующие выражения для постоянной составляющей и амплитуд.гармоник

. анодного тока:

Подставляя сюда значения токов, соответствующие выбранным ординатам (рис. 2.3), а именно:

4 макс 112 ж д , 4 т 75*ж д , 4 ср 40 ж д , i-ao- 14 ж д , 4 мин -4 ж д , .

31

получаем следующие величины составляющих анодного тока'- 4о~49 ма\ /а1—56 ма\ /в2---9 лш; / а3= 2,3 зш; /а4 ^ 0 . Зная со­ ставляющие анодного тока и сопротивление нагрузки для каж­ дой из них, можно найти падение напряжения на выходе, со­ здаваемое отдельными гармониками. Следует отметить, что при практическом применении рассмотренного метода (метод пяти ординат) нет необходимости в построении зависимости ia--f(<ot), так как значения ординат могут быть найдены непосредственно из графика характеристики нелинейного элемента. Недостатком этого метода следует считать некоторую громоздкость вычис­ лений и необходимость новых графических построений при изменении амплитуды возбуждающего напряжения. От указан­ ных недостатков в значительной степени свободен метод, осно­ ванный на представлении характеристики нелинейного элемента степенным полиномом.

Допустим, что на нелинейный элемент, характеристика ко­ торого (см. рис. 1.23) аппроксимирована ранее полиномом

32

a2U2mg

выражены через амплитуду возбуждающего напряжения и коэффициенты аппроксимирующего полинома. Для определе­ ния величин отдельных составляющих подставим в (2 0 ) значе­ ния коэффициентов полинома, найденные ранее, и предполо­ жим, что возбуждающее напряжение изменяется в пределах всей аппроксимированной части характеристики (т. е. Umg-~б в).

Таким образом, при представлении характеристики нели­ нейного элемента степенным полиномом задача нахождения амплитуд составляющих значительно упрощается и не требует графических построений для различных значений амплитуд возбуждающего напряжения, как это имеет место при методе нескольких ординат.

Преимущества этого метода особенно ярко проявляются при анализе нелинейных систем, находящихся под воздейст­ вием не одной, а нескольких гармонических э. д. с., когда ме­ тод нескольких ординат вообще неприменим. Рассмотрим слу­ чай воздействия на нелинейный элемент, характеристика кото­ рого аппроксимирована полиномом третьей степени

колебания, представляющего собой сумму двух гармонических напряжений различных частот toj и ш2:

а также учитывая соотношения (18), получаем:

Из полученного выражения для ia видно, что при воздей­ ствии на нелинейный элемент двух гармонических э. д. с. ток, протекающий через этот элемент, содержит целый ряд новых гармонических составляющих, которые отсутствовали при воз­ действии на него только одной э. д. с. В частности, появляются составляющие с частотами не равными и не кратными ни одной из частот, действующих на входе, а являющиеся их комбина­ цией, т. е. комбинационные частоты:

Как следует из выражения (22), анодный ток лампы при аппроксимации ее характеристики полиномом третьей степени будет содержать гармонические составляющие следующего вида:

постоянная составляющая, равная a 0 -f -^ (f/2 OT,- r t/3 m2 );

составляющая с частотой ®, и амплитудой

а1 ^ a3 ^SmlO~"~2'аз ^ ml

34

составляющая с частотой <% и амплитудой

Из приведенных выражений для амплитуд отдельных гар­ монических составляющих можно сделать следующие выводы:

1.Амплитуды четных и нечетных гармоник зависят соот­ ветственно от четных и нечетных членов полинома, степени которых не ниже номера гармоники. (Например, амплитуда 1аЛ зависит только от а, и а3).

2.Номер высшей гармоники равен степени полинома. Если бы

врассмотренном примере в качестве аппроксимирующей функ­ ции был взят полином более высокой степени, чем третья, то анодный ток содержал бы гармоники более высоких номеров. Однако с увеличением номера гармоник их амплитуда умень­ шается. В этом легко убедиться, если в выражения для ампли­ туд отдельных составляющих (23) подставить значения коэф­ фициентов полинома, найденные выше. Принимая для опреде­ ленности Uml=-2 в и Uтъ~ I в, получаем: постоянная состав­

ляющ ая-41,6 ма; составляющие частоты: u>r ..21,2 ма\ (в2—• 10,7 ма; 2<о,—0,92 ма; 2о>2—0,23ма; 3ш,—0,088 ма; Зо>2 —-0,011 ма; <Bj ± о)2—0,92 ма; 2 (0 ! + о>2 —0,132 ма; 2<о2 д ojj—0,066 ма.

Отсюда следует, что в рассмотренном примере амплитуды гармоник выше второй пренебрежительно малы и их можно не учитывать. Однако при этом следует помнить,' что чем больше нелинейность характеристики, электронной лампы в ра-‘ ббчей области, тем выше уровень высших гармонических со­ ставляющих анодного тока, и возможность пренебрежения ими должна быть в каждом случае оценена.

Наличие в составе анодного тока при воздействии на вход электронной лампы двух гармонических колебаний комбина­

в преобразователях частоты и для осуществления амплитудной модуляции.

В заключение рассмотрим еще один метод анализа нели­ нейных систем, находящихся под воздействием гармонической э. д. с., в основе которого лежит линейно-кусочная аппрокси­ мация реальной характеристики. Этот метод особенно удобен при больших амплитудах возбуждающего напряжения, когда рабочая точка выбирается вблизи нижнего изгиба реальной характеристики. Если пренебречь реакцией анодного напряже­ ния на анодный ток, то реальная характеристика при линейно­ кусочной аппроксимации может быть представлена в следую­ щем виде (см. § 1 .6 ):

ние рабочей точки, и переменного' гармонического напряжения

Umgcosvt.

так как при нарушении этого условия анодный ток обращается

может быть нарушено, поэтому зависимость (25) с учетом (27) представляется в следующем виде:

метрами лампы и напряжениями, действующими в цепи управ­ ляющей сетки:

36

положения рабочей точки на характеристике (Egl) и от ампли­ туды возбуждающего (в общем случае, когда реакцией напря­ жения на аноде пренебречь нельзя, от амплитуды управляющего) напряжения ( Umg).

4* La

Учитывая выражение для cos Ь (29), зависимость (25) можно представить в следующем виде:

ток не через амплитуду напряжения возбуждения, а через

37

Подставляя значение SUmg из (31) в (30), получаем окончатель­ ное выражение для анодного тока при линейно-кусочной аппроксимации:

Анодный ток, выражаемый соотношениями (32), представ­ ляет собой периодическую последовательность косинусоидаль­ ных импульсов и, следовательно, может быть представлен в виде ряда Фурье:

Постоянная составляющая анодного тока и амплитуды гармоник определяются по известным формулам для коэффи­ циентов ряда Фу.рье:

которые зависят только от угла отсечки и поэтому могут быть

38

рассчитаны заранее. Эти коэффициенты называются коэффи­ циентами разлож ения косинусоидального импульса и обычно приводятся либо в виде таблиц, либо в виде графиков «0, аг,

а2, . . a„=/ ( 6 ) (рис. 2.5).

Рис. 2.5.

Таким образом, чтобы найти амплитуды составляющих анодного тока, необходимо знать величину импульса анодного тока и его угол отсечки. В качестве примера найдем ампли­

туды составляющих анодного тока для случая, изображенного на рис. 2.4.

Имеем:

—в; Egl = — 10 «;

^ m g ~ Ю в\ Iапj — 136 М(Х,

По формуле (29) находим угол нижней отсечки анодного тока:

— 11,2— ( — 10)

0,12

Т б

£

39