книги из ГПНТБ / Гришин Е.П. Основы теории дискретных систем с цифровыми управляющими машинами [учебное пособие]
.pdf
|
Пример 2Л . |
Рассмотрим дискретную систему (рис. |
|
2 .6 ), |
состоящую из |
гироскопа с передаточной функцией |
|
|
к |
и ЦВМ, |
предназначенной для выработки требуе- |
W (SJ~ — |
|||
н |
s |
|
|
мого угла |
ориентации гироскопа. ЦВМ используется в каг- |
||
Рис.2.6
честве задающего и сравнивающего устройства и включена в замкнутый контур системы; передаточная функция#(ж)«1.
Параметры системы: К « 0 , 5 - i - , период дискретности сек
Т ■ 2 сек, время запаздывания 'С « I сек; в выходном устройстве ЦВМ обеспечивается фиксация значения управ ляющего сигнала на период Т .
Требуется построить кривую переходного процесса в системе при действии единичного ступенчатого входного сигнала»
Передаточная функция формирующего звена есть
ат
7(s)= - * sT-------- |
— ' |
(2.42) |
еs
Находим передаточную функцию разомкнутой дискрет ной системы без учета запаздывания:
6G.
(2 .4 3 )
Для учета запаздывания воспользуемся формулами
(2.33) и (2 .34):
|
кТ (бг-Т)я+4-(е-Г) |
при 'Г<б'сУ;(2.44) |
||
w№h< |
at-у |
|
|
|
|
|
|
||
|
кТ (1 + G -T ja i-G + T |
при 0<6y £ (2 .4 5 ) |
||
|
\ |
3.(3L-1) |
|
|
|
|
|
|
|
Для нахождения передаточной функции замкнутой сис |
||||
темы ф(з.,6) |
нам необходимо иметь |
выражение М£.($, о) . |
||
Используя формулу |
(2 .45), при |
С |
- 0 получим |
|
W / slJ - к Т |
Т |
■ |
||
V |
J |
3L(Z-4j |
|
|
Подставляя полученное выражение и соотношения (2.44) и (2.45) в (2.35) и (2 .36), будем нметь^
|
нТ |
(с-Т)а.ч-с?+Т |
|
*---------- ---------------------- |
|
Ф (*»&)= |
|
2-У |
н Т |
f i - T j z * f |
|
1 * |
Z(3L"fJ |
|
|
|
( i + T - 6 ) z
хг+(*ТЧ-кТГ)а.+кТГ (2.46)
при |
6Ч У . |
|
|
кТ (f*6r-rJSL-6-*t |
|
||
Ф(*£) |
Z(Z-J) |
|
|
||
<+ нТ£ П ^ |
|
||||
|
|
X (x -i) |
|
||
= |
ИТ |
(1+&-Т)а.-&+Г |
(2.47) |
||
а?+(кТЧ-кТф+кТТ |
|
||||
|
|
|
|||
|
|
|
|
при о^&к1X. |
|
Из (2.46) и (2.47) следует, что вид выражения для |
|||||
передаточной |
функции замкнутой |
системы ф(а,&) также |
|||
зависит от соотношения между & |
и |
<Г . |
|
||
2; ;: указанных выше значениях параметров |
системы |
||||
м7~ -- 1, Т=— = |
0,5 выражения для |
ф(а,6) |
примут вид |
||
ф № )= |
(6- q5)aL+(j5-G)z |
при ?< б ^/;(2 .48) |
|||
а г - 0,5а. + 0,5 |
|
||||
|
|
|
|||
|
(G+0,5j3.-G+ 0,5 |
при (7^5V?X2.49) |
|||
|
3? -0,5а + 0,5 |
|
|||
|
|
|
|
||
Изображение |
выходного сигнала |
щ е ] получим,про |
|||
изведя умножение ф(%,0>) на изображение единичного |
|||||
ступенчатого |
сигнала |
|
|
|
|
т .е . |
W ‘ z M - T 7 |
|
(2.50) |
||
|
|
||||
X fe g y - ф ь в ;е м |
n t s - m _j l |
|
|||
i / |
/ I / |
a -05x + 0 5 |
|
%- у |
(2.51) |
_ |
(&~o.fya+fiS-GJa2. |
|
|||
|
|
||||
x3- 1,5a * a - o,5
62
у , . . |
( G - w h - e - g s |
3L |
|
( ' 1 |
zs-0,5z ■>0,5 |
|
(2 .5 2 ) |
_ (G+0,S)z+(0,5-6)Z |
|
|
|
ЗЬ*-453Ь +3L ~0,5 |
|
|
|
Соотношения (2.51) и (2.52) попарно соответствуют |
|||
случаям (2.48) |
и (2 .49). Для нахождения выходного сиг |
||
нала з с (с Т + 6 Т ) |
воспользуемся методом деления. Поделив |
||
полином числителя в (2.51) на полином |
знаменателя, полу |
||
чим |
|
|
|
Х(з,&)=(-0,5+G)a.°+(075+05б)эь 1*(l,625-0t25G)d+
(2 .53)
+(-/'4375-0,375G)sl3+(0,9063 - 0,0625&)&*+ —
Аналогично из (2.52) можно получить
X(z,6)=(0,5+GJ&+«25+056)z *+(1375О256)£3+
(2 .54)
(1.0625-03756)Э. * (0,8038 - 0,06256)а - 5
Коэффициенты в разложениях (2.53) и (2 .54) опреде ляют собою значения выходного сигнала. Изменяя параметр
смещения Q- в пределах 04.6<Т= 0 ,5 , согласно (2 .54)
получим участки кривой переходного процесса (рис.2 .7 )
°-0 К |
* ае^г |
» аз % » |
^ |
и Т.Д.; |
изменяя |
& |
в |
||||
пределах |
0,5-$ |
I , |
на основании |
(2.53) получим участ |
|||||||
ки кривой |
переходного |
процесса |
£ Q |
. £ а |
. |
£ Q . £ а |
|||||
|
|
|
|
о |
1 |
’ |
1 г |
’ |
г з |
з |
у |
63
и т.д
§ |
3 . Устойчивость импульсных систем |
|
Устойчивость импульсных систем, так же как и |
для |
|
непрерывных |
систем, является необходимым условием |
их |
работы. |
|
|
Импульсная система является устойчивой, если |
с те |
|
чением времени переходные процессы в ней затухают. Ес ли в начальны» момент времени выходная величина импуль
сной системы |
x (t) |
имела некоторое значение x(o)t |
то |
|
для устойчивой системы должно выполняться условие |
|
|||
|
йлгэс(сТ+6Т)= О |
(2.55) |
||
|
^ |
со |
|
|
Если хотя бы для одного значения |
, лежащего |
в |
||
пределах от |
нуля до |
единицы, |
|
|
64
(Urn x(LT+6T) = 0/0} |
(2.56) |
L —* о=з |
|
то система является неустойчивой. Если имеет место со отношение
бет x (l T+GT)= const |
(2 .57) |
С-* оо |
|
или же предел выходной величины не существует, |
то им |
пульсная система находится на границе устойчивости. Сле
дует |
отметить, что |
указанные выше условия |
(2 .5 5 ), (2.56) |
|
и (2 |
.57) справедливы только |
для линейных |
систем. |
|
|
В большинстве |
случаев |
поведение импульсной системы |
|
(с точки зрения ее устойчивости) полностью определяется ее поведением в дискретные моменты времени; поэтому ес-
ЛИ |
л |
|
_ |
|
|
Сет x (l TJ= О, |
|
|
|
то, как |
L —*• со |
|
(2 .5 5 ). |
В тех |
правило, выполняется и условие |
||||
случаях, |
когда ILmx(LT)* О , |
а при |
Q= О справедливо |
|
|
с = со |
|
|
|
любое из |
соотношений (2.56) или |
(2 .5 7 ), то это |
означает, |
|
что мы имеем дело с явлением колебательной неустойчиво сти. (В [ъ] к [7] ее называют соответственно высоко частотной или скрытой неустойчивостью).
Для того чтобы импульсная система была устойчива, необходимо, чтобы все корни характеристического полино ма LfstJ $ представляющего собою знаменатель передаточ
ной функции замкнутой системы <р(&,6) , лежали бы вну
три круга единичного радиуса с центром в начале коорди
нат плоскости |
z . |
Если хотя |
бы один вещественный полюс (или пара |
5 |
65 |
комплексшмсопряженных полюсов) передаточной функции
замкнутой |
импульсной системы находится |
вне единичного |
||
круга, то |
система является неустойчивой. Если хотя бы |
|||
один |
из полюсов находится |
на окружности |
/ х / « I , то сис |
|
тема |
находится на границе |
устойчивости. |
|
|
Следовательно, исследование устойчивости импульсной системы сводится к выяснению расположения корней харак теристического полинома L(si) относительно единичной окружности, определяемой уравнением
/*/=• J-
Для определения устойчивости импульсной системы можно либо определить полюсы передаточной функции непосредственным решением уравнения
+ |
(2 *58) |
либо воспользоваться одним из критериев устойчивости импульсных систем. Применительно к импульсным системам могут быть обобщены критерии устойчивости, используемые в теории непрерывных систем (Рауса-Гурвица, Михайлова, Найквиста),
Рассмотрим алгебраический критерий устойчивости
рмпульсных систем - критерий Шур-Кона f a ? / |
• Этот |
критерий дает возможность устанавливать факт |
наличия |
корней характеристического уравнения вне единичной ок ружности плоскости Z , Критерий Шур-Кона формулируется следующим образом.
Все корни характеристического уравнения L(a.) лежат внутри единичной окружности и система устойчива, если коэффициенты уравнения удовлетворяют условиям, при кото рых определители
л шсП для нечетных значений к ;
к
66
А > О |
для четных значений к |
, |
|
к |
|
|
|
( К = 1 ,2 ,3 ,,.., л |
) . |
|
|
Определители |
А „ |
имеют <?/г рядов и 2к |
столбцов и |
|
Л |
|
|
составляются по следующему правилу.
1 . Сначала заполняется верхняя часть определителя. Выписываются в столбец все коэффициенты, начиная с 0.0 и кончая ап' / . Далее заполняется левая верхняя часть
определителя, содержащая к рядов и к столбцов, таким образом, чтобы диагональные члены были равны, а отсут ствующие члены заполняются нулями. После этого выписы ваются в первую строку члены, начиная с ал и кончая
О |
, Заполняется правая часть определителя; |
при |
Л** |
|
|
этом |
диагональные члены должны быть равны, а отсут |
|
ствующие члены заполняются нулями. В результате получа
ется верхняя часть определителя, |
содержащая к столб |
цов и 2к рядов. |
|
2 . Нижняя часть определителя |
заполняется комплек |
сно-сопряженными значениями коэффициентов» Дописываются
в первый |
столбец все члены, начиная |
с |
и кончая |
^■ п-к+1 |
• Заполняется левая часть |
определителя; члены |
|
по диагонали долмны быть равны, недост*М|ще члены за.-
полняются нулями. |
После |
этого долисмваатея |
в (*+-*) -ю |
|
строку все члены, |
начиная с |
й0 и комчая а |
, и ана |
|
логично заполняется правая |
часть определителя. |
|||
Определитель |
А к |
при использовании критерия Шур- |
||
Кона имеет вид |
|
|
|
|
67
а о |
0 |
О • |
о ! а п |
а п - г " а п к ч |
а <
•
•
д = |
а |
|
К -1 |
||
|
Аа
п
а п - <
0
ф
а
П К *1
а |
0 |
|
|
|
о |
! 0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
• |
• |
|
• |
• |
* |
1 * |
|
• |
• |
ф |
|
» • |
j • |
||
а |
а |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
||
к - г |
к - з |
|
|
а о \ |
|
||
|
о |
|
|
|
|
1 |
|
О |
|
•• |
|
------ |
а с |
||
|
|
|
|||||
К |
О |
* |
* |
0 |
I 0 |
||
0 |
• |
• |
|
• |
* |
|
0 |
• |
• |
• |
• |
• |
1 |
0 |
|
а |
о |
* |
* |
' а |
! |
0 |
|
л - к + г П.-К+3 |
п |
« |
|
||||
а п |
^ п ч " ап - н * а |
||
* |
т |
• • |
ф |
• |
• |
* Ч » |
|
0 |
О |
а л |
|
|
|
||
я, |
(1 " |
о . |
|
____ K - f |
|||
а » |
0 . |
• • 0. ft-г |
|
• |
ф |
ф • |
» |
• |
Ф 0 0 0 |
|
|
0 |
о •• |
а . |
|
|
|||
(2.59)
В выражении (2 .59) 0-п есть комплексно-сопряженное
значение CLK • Если в характеристическом уравнении
L(&) |
все коэффициенты действительные, то U = а ■ |
' * |
ft |
Если, например, характеристическое уравнение имеет третий порядок ( Л =3):
Ця.)= &37L+ аг 7L*CL^SL+ 0.о =• О, |
2.60) |
||
то определители Ак |
составляется следующим о-Зразом. |
||
I . При К =1 имеем а„ ,жйл . Q. |
= С , . |
||
r |
К -/ О > П - K i- f |
з • |
|
поэтому |
|
|
|
я , |
а л |
(2.61) |
|
V а . |
а |
||
|
|||
68
2. |
При |
к -2 |
аК-1 = а1* ап |
|
|
|
|||
|
|
а0 |
о |
as |
а2 |
|
|
|
|
|
И |
Ч |
ао |
О |
ч |
|
|
(2 .62) |
|
|
|
|
|
|
ч |
|
|
|
|
|
|
ч |
0 |
ч |
|
|
|
||
|
|
ч |
ч |
0 |
ч |
|
|
|
|
3. |
При |
к =3 |
а* - г ч * |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Ч |
0 |
0 |
Ч |
а г |
ч |
|
|
|
|
ч |
ао |
О |
0 |
Ч |
|
ч |
|
|
|
аг |
Ч |
Ч |
0 |
0 |
|
ч |
(2 .63) |
|
|
ч |
0 |
0 |
Ч |
Ч |
|
ч |
|
|
|
ч |
Ч |
0 |
0 |
а0 |
|
ч |
|
|
|
ч Ч Ч |
0 |
0 |
ч |
|
|||
|
|
|
|
|
|||||
Корни характеристического уравнения L(&) будут находиться внутри единичной окружности плоскости £ ,* дискретная система будет устойчива, если вычисленные значения определителей будут удовлетворять условию
Ч < о , &г >0г &3 < о .
Пример 2 .2 . Определить устойчивость замкнутой им пульсной системы,передаточная функция которой имеет вид
-0,23, +0,2i
3L-i82t.+0,81
69