книги из ГПНТБ / Гришин Е.П. Основы теории дискретных систем с цифровыми управляющими машинами [учебное пособие]
.pdf2 - преобразование [i] .
Для модифицированного Z - преобразования исполь зуются обозначения
z e{f(iT *6Т)} - ze{}(t)}*F(z ,er).2/5Г (У };
(1.38)
При <о=0 преобразование переходит в обыч ное 2 - преобразование. Необходимо отметить, что мо
дифицированное Z -преобразование F(z,6) определяет не саму функцию $(t) , а последовательность ее значений,
получающихся из М |
при t= IT+6Т . |
Сама функция/^) |
|||||
определяется лишь совокупностью 2 |
- |
преобразований |
|||||
F(z,s) при изменении |
6 |
в |
пределах |
|
\ . |
||
Отметим два важных |
свойства |
Z6 |
- преобразования. |
||||
Согласно определению, см.(1 .3 7 ), имеем |
|
||||||
F(z,0)* f ( o ) |
z ° $(2.Т) z"2+~. |
; |
• (1.39) |
||||
F(zj)w$(t)z" +$(2Т)2ч +$(зт)2 |
|
|
(I.W ) |
||||
|
Кз (1.39) и (1.'Ю ) |
следует, |
что |
модифицированное |
|||
Z - |
преобразование |
для |
частных |
случаев |
6 = О и6Г= I |
||
может |
быть выражено |
через |
обычное |
Z |
- |
преобразование |
|
с помощью формул: |
|
|
|
|
|
|
|
|
F(z,6) = |
F(z) |
; |
|
|
( 1 .4 1 ) |
|
|
F/zj)= [F(z)-f(o)]z . |
|
|
(1 .4 3 ) |
|||
30
Достаточно |
подробные |
таблицы |
2 |
- преобразований |
|||||||||
и Z g |
- |
преобразований |
помещены в |
[ I ; в] . |
|
||||||||
В переводной технической литературе [5; ?] |
исполь |
||||||||||||
зуется |
модифицированное |
|
2.п - преобразование, несколь |
||||||||||
ко отличающееся от принятого в СССР |
2 S - преобразова |
||||||||||||
ния, При использовании |
Z m |
- |
преобразования текущее |
||||||||||
время |
представляется |
в |
виде |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
t - |
LT+AT, |
|
|
|
|
|||
причем А- 1~т |
, |
где |
т. |
- |
параметр |
модифицированного |
|||||||
Z m - |
преобразования, |
изменяющийся |
в пределах |
|
|||||||||
0 < m < |
1 |
* |
Если |
рассматривать |
графики функций |
||||||||
f(iT+6T) |
и |
J(iT-ar) |
|
, |
то можно убедиться |
(рис. |
|||||||
I . I I ) , |
что |
график |
функции |
j(iT+<ЭТ) |
опережает |
график |
|||||||
функции |
/ ( t l ) |
на |
время |
6Т |
, а |
кривая ^/еГ-Дт)отстает |
|||||||
от графика Функции f(lT) на |
время |
ДТ |
. Если принять |
||||||||||
т = б ' , |
то функции £(lT+6T) |
|
и f(iT-AT)=J(iT-Т+бт) |
||||||||||
становятся идентичными, но сдвинутыми одна относитель
но другой на время |
Т . Следовательно, Zm- поеобразо- |
||
ванию соответствует |
функция, |
запаздывающая относитель |
|
но Нл+ет) на |
период Т , |
т .е./(ёТ + (?Т -Т ) . Учитывая, |
|
что изображение |
интересующей |
нас функции Цит+бт) |
|
может быть получено по известному изображению от ориги
нала §[iT+ 6 Т -Т ) |
путем умножения |
его |
на |
Z (теорема |
||
о смещении аргумента в |
оригинале), |
можно |
сформулировать |
|||
следующее |
правило: |
для |
перехода от |
2 т |
|
- преобразова |
ния к |
- преобразованию необходимо |
умножить Z m~ |
||||
31
- изображение на z и принять параметр т.= б •
В связи с указанным различием в определении Z -
преобразования и Z m - преобразования переход от этих
преобразований осуществляется с помощью различных фор
муя* Так, |
для перехода от |
Zg |
- преобразования функ |
ции y(t) |
к обычному Z |
- преобразовали*) используется |
|
формула |
|
|
|
|
G-(z)=pn&(z,6) ; |
(1. 43) |
|
|
о—О |
|
|
при переходе от Z m - ярообразе»ания к обычному Z - про-
3*
образованию-формула
G(z)~&mzG(z,m) |
. |
C l.,44) |
m-t-o |
|
|
Соответствующие дискретные |
значения функции |
|
/ f i T + б т ) могут быть получены |
из F(z,6>) с |
помощью Фо р- |
мулы обращения |
|
|
f ( l T + G T ) * |
dz . |
а . 45) |
Эта формула определяет значения коэффициентов ряда Ло рана по сумме членов этого ряда.
Другим способом определения дискретных значение
Функции f(lT+6T) |
является деление |
|
числителя на |
знаме |
|||||
натель |
(если выражение |
F(z,6) |
имеет вид дробно-рациональ |
||||||
но* функции). Коэффициенты при |
z° |
, |
2_< , |
z~2 $ |
z '5 * |
||||
т .д . |
дают значения функции-оригинала при |
t = 6 Т |
, |
||||||
t * T + 6 T |
,t=2T+6T |
,t='dT + 6T |
и |
т .д * |
соответствен |
||||
но. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1 . 5 . Изображение сигнала на выходе импульс |
|||||||||
ной системы имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
у / г) |
z |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
X(z,6J- |
2 _ 0^ z _ 0 |6 |
|
|
|
|
||
Определить значения выходного сигнала в функции |
|||||||||
временя |
х(П +6Т ) . |
|
|
|
|
|
|
||
Воспользуемся |
методом деления. |
|
Для этого будем э а - |
||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
33 |
давать параметру |
6 |
в выражении для Х(г,б) те зиаче- |
|
n u t которые нас |
интересует, |
т . е . нужны для определения |
|
функция x (lT+6T) |
• При б |
» 0 из (1 .4 3 ) получаем |
|
|
хм - |
|
|
• |
|
|
||
Производя деление числителя на знаменатель, полу |
||||||||
чаем разложение |
X (z ,o ): |
|
|
|
|
|
||
X (i,0 ) 4 M 4+0 № f'+i,2lxb+0,&7z't+it06imS+... |
||||||||
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
Следовательно, |
jc(o)» 0; |
х ( г ) - 1 ,6 ; |
х ( г т ) - 1 ,2 2 } |
|||||
х(зт) - 0 ,8 7 ; |
х(^ш 1 ,0 8 и т .д . |
|
|
|||||
При б" |
- |
0 ,5 |
из (2 .4 3 ) |
получаем |
|
|
||
|
Х(г;0,5’) = 0,8гг +0,8г |
|
|
|||||
|
|
|
гг-0М~0,6 |
|
|
|||
Производя деление числителя на знаменатель, полу |
||||||||
чаем разложение |
X(i,0,5) |
в виде |
|
|
|
|||
X(z;0,5) = 0,84,i2 г4 *0,93жг + 1,0Чгг+0,97*'“+... |
||||||||
Следовательно, |
х(0,5Т)ш 0 ,8 ; |
x(i,5T) |
- |
1 ,1 2 ; |
||||
х(2,5Т)ш 0 ,9 3 ; |
х(3,5Т)ш 1 ,0 4 ; |
х(%5Т}- |
0 , 9 7 , . . . |
|||||
Аналогично можно вычислить значения выходного сиг |
||||||||
нала и для других значений |
6 |
, |
например |
|
б • 0 ,2 5 ; |
|||
б • 0 ,7 5 |
и т .д . |
|
|
|
|
|
|
|
§ 4. Основные теоремы 2 |
- преобразования |
|||
В теории дискретных систем используются следующие |
||||
основные |
теоремы Z |
- преобразования. |
|
|
I . |
Теорема линеЯяостж: |
|
|
|
|
|
|
. |
а . « > |
Это |
соотношение |
следует из |
определения |
пре- |
образования. Согласно |
определению, |
|
||
I [ f A,/.(iT*ffT)ji
1*0
ЯЗменяя порядок суммирования и вынося постоянные множители Ак за знак суммы, получим
Z ,f£ A, f M h £ Ш 'вт и
что и требовалось доказать.
2 . Теорема о начальном значении оригинала. В тео рии преобразования Лапласа имеется теорема о начальном значении оригинала, которая записывается в виде:
/( б ) |
= iinisT(s) |
(1 .4 8 ) |
|
£-ьоо |
|
Аналогично |
этому, для обичного Z |
- преобразовав |
35
кия начальное значение оригинала рпределяется но форму ле
!1 ° ) - ь * г т - Н * ) ■ |
й .49) |
Применительно к Z ff - преобразовании |
теорема о |
Начальном значении оригинала дает начальное значение функции при i*6T, т . е .
{(бТ)=%-*•СО |
. |
(1.50) |
3 * Теорема о конечном значении оригинала. Теорема аналогична известной теореме о конечном значении ориги нала в теории преобразования Лапласа
pm |
|
f w is f ( s ) |
а . 51) |
|
t |
—-во |
о |
|
|
и записывается в |
виде |
|
||
Ь.m |
■ |
(1.52) |
||
t—оо |
z - м |
|
||
Для Z* |
|
- |
преобразования |
|
О |
|
|
|
|
&mf(LT+6T)=^^Y~F(iz,6)=A(e). |
(I .5 J ) |
|||
Конечное значение функции £ (lT+6T) в общем слу
чае зависит от параметра Q ; при этим сигнал имеет
36
колебательный характер. Если такой зависимости нет, то сигнал с течением времени стремится к постоянной вели чине.
4 . Теорема о смедении аргумента в оригинале
а) Смещение аргумента на |
целое число периодов Т . |
Теорема позволяет находить |
- преобразование для функ |
ции, запаздывающей на целое число периодов дискретности
п.Т (рис.1.12) относительно первоначальной функции
№по известному ее изображению
(1.54)
б) Смещение аргумента на величину <Г , меньшую периода Т •
Пусть |
известно Z*. |
- преобразование для функции |
||
№ |
О |
|
|
|
Z g -|/W ] =^(н,<з) |
(1.55) |
|||
|
||||
и требуется |
найть Zff - |
преобразование |
для функции |
|
/(£ -£ ") , |
где 0< Т< Т . Тогда |
|
||
37
F ( z ,e - T ) при <^<б' < i
ф * )]- |
|
|
(1 .5 6 ) |
|
|
|
|
|
|
|
Z* F(j,\+6-T) |
при |
0 < { j< |
T |
г» е |
относительное смещение. |
|
||
где Т = - ^ г |
|
|||
Для некоторых систем смещение |
‘Г |
мохет |
представ |
|
лять собою временное запаздывание при прохождении сиг налов (в линиях задержки, в устройствах цифровой вычис лительной машины и т . д . ) . Из (1 .5 6 ) следует, что Z ^ =
- преобразование смещенной функции имеет различные ана
литические |
выражения в зависимости от_того, выбирается |
||
•параметр |
С? |
в интервале |
/ ^ ^ и л и [ T J ) . |
В случае если запаздывание в системе имеет произ |
|||
вольное |
значение |
|
|
|
|
|
(1 .5 7 ) |
где п |
- |
целая часть, |
а Т' - дробная часть числа, |
то изображение смещенной функции мохет быть определено с помощью формул
6 * Теорема об умножении изображений. В теории пре образования Лапласа известна формула свертки
38
L ^ f l ( t T j f t ( t ) d t J = $ (* ) $ ( * ) . |
(1 .5 9 ) |
В теории модифицированного Z - преобразовании ис пользуется аналогичная теорема, которая выражается фор мулой
z J z f jJ t - H |
T jf , (кТ^’ Г (*■ ,<?)F (г), |
а |
.60) |
||||||||
где JV |
- максимальное |
целое число, которое не |
пре |
||||||||
|
вышает |
|
|
(а н ть е ). В |
(1 .6 0 ) |
зависит |
от |
||||
|
времени |
t |
только функция J . |
|
Поскольку |
||||||
|
t* LT+ 6"Т |
, |
то модифицированное Z |
- |
|||||||
|
преобразование |
берется |
только |
для функции |
|||||||
|
, |
а для функции |
берется |
обычное |
|||||||
|
Z - |
преобразование. |
|
|
|
|
|
||||
Формула (1 .6 0 ) |
позволяет находить |
Z , |
- |
преобразо |
|||||||
вание для |
выражения |
|
|
|
|
|
® |
|
|
|
|
|
Ы^— |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
н*о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•ели извсст1Ш изображения функций / |
и |
/ |
|
в отдельно |
|||||||
сти. |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Если |
S’ - 0 , |
то |
из |
(1 .6 0 ) получим |
|
|
|
|
|||
zjz, f/t-HTjffrrfrfrj/r^; |
|
a . 6i) |
|||||||||
|
f К*О |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
39