Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Гришин Е.П. Основы теории дискретных систем с цифровыми управляющими машинами [учебное пособие]

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.10.2023

Размер:

5.03 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 153 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

писать выражение Z		- преобразования функции J(iT) •
Согласно (1 .23)		значения функции				f(iT) в	дискрет
ные моменты времени		0 ,Т ,	2 Т	,	3 Т	и т .д .	являются
коэффициентами ряда,		выражающего собою операцию					Z	-пре
образования. Значение		f(0)	=0,7	есть коэффициент при н° ,
f ( r ) . I есть	коэффициент при			и '	, $(2Т) = 1,5			есть
коэффициент при	н‘2	и т .д .	Поэтому можно записать

- F(i)■- 0,7г°+ 1z4 +1,5z* * 1,1г* *1,6г* +

+ 0,5z~5-0,4z~6- 1,1z~7-1 zl		и т .д .
В данном случае Z	- преобразование функции
не имеет аналитического выражения.
Недостатком обычного	Н -	преобразования является

его неоднозначность. Если к функции f(i) , для которой

известно

преобразование

Г(г)

добавить некоторую

функцию

V(t)

которая

равна

нулю в

моменты времени

t~ LT

то вид

преобразования

для

результирующей

функции zffftj+VU)}

не

изменится,

т .е . он будет

таким же, как и длл функции

/ f t ) .

Одному и тому же зна

чению

F(z)

может

соответствовать

множество оригиналов;

на рис.1.7 функции

f j i)

fjt) , / 3(t)

имеют одно и то

же Z

- преобразование.

Неоднозначность

- преобразования, как правило,

не является существенным недостатком, поскольку в боль шинстве реальных случаев поведение импульсных систем с достаточной для практических целей точностью определяет ся дискретными значениями сигналов.

Рис.1.7

Рассмотрим связь между обычным Z -преобразованием и преобразованием Лапласа для непрерывных функций.Можно по казать, что выражение для обычного Z -преобразования анало гично^ точностью до множителя Т ) преобразованию Лапла са для непрерывных функций. Действительно, преобразова ние Лапласа для непрерывной функции §(t) имеет вид

Я * )= /	f(i)e sid t	(1.20)
О		(1.20)
О
a Z - преобразование	для соответствующей дискретной
функции f(iT)	выражается формулой

FW 'S/M »-1	(1 .23)
Заменим в этом выражении г на	6sT , тогда полу
чим
-LsT
F(eST)= Ef(iT)e	(1.26)
£.*0	(1.26)

2Г

Сравнивая (1.20) и (1 .26), замечаем, что они ана логичны (если учесть, 4Tot=lT ) , но отличаются размер ностью времени, так как формула (1.20) выражает опера цию интегрирования, а формула (1.26) - операцию сумми рования. Поэтому можно записать

4 т [ F(esT)r] = F(s).				(1.27)
Т-+0				(1.27)
Учитывая	(1 .2 7 ), обычное	Z	-	преобразование	иног
да называют обобщенным преобразованием Лапласа.
Пример 1	.2 . Найти обычное	2		-преобразование	для
	_		" At>
	функции
Согласно	определению обычного			2 - преобразования
				(1.28)

Разложение (1.280 представляет собой сумму членов геометрической прогрессии, у которой первый член й. - I ,

а знаменатель

0 = 6

Сумма бесконечно убывающей прогрессии выражается формулой

( I .29)

Воспользуемся формулой (1 .2 9 ):

Таким образом

Рассмотрим далее вопрос определения оригинала,т.в.

первоначальной функции

образованию. Как отмечалось ранее, Z - преобразование некоторой функции f(t) представляет собою ряд Лоране, в котором коэффициенты членов этого ряда равны значени ям функции в моменты времени 0 , Т , 2Т и т .д . Поэто му для нахождения значений функции-оригинала, соответ ствующей данному Z - преобразованию, необходимо раз ложить выражение z - преобразования в ряд Лорана по степеням г -.

Аналогично преобразованию Лапласа для непрерывных процессов для большинства реальных дискретных процессов Z - преобразование является дробно-рациональной функци ей переменной Z , т .е . может быть представлено выраже нием

(I .3 I)

В	выражении ( I .3 I ) обычно / п < а , что	следует из
условия	физической осуществимости дискретной	систем* [i].

Процесс разложения выражения F(z) в ряд Лорана может быть выполнен простым делением числителя на знаме

натель. Коэффициенты при степенях		н '	,	г -', z"2 и	т.д .
будут представлять собою искомые дискретные значения
функции-оригинала в моменты времени			0	, Т , 2 Т ,	. . . и
т .д . Пусть мы получили разложение F(z) в виде
F(z )= c0z ‘, +c<z‘'+c2z' 4 . . * c. h <' .					(1.32)
Тогда искомые значения функции-оригинала будут рав
ны И°)=с> » / М =с<	» /(2Г)*с,	» •••		»/(«-Т)=с.	и т .д .
Этот метод нахождения функции-оригинала по ее Z					- пре
образованию называется	методом деления.

Пример 1 .3 . Пусть Z - преобразование сигнала на выходе импульсной системы имеет вид

Требуется определить значения самого выходного сиг нала как функции времени, т .е . надо найти функцию-сри- гинал по известному ее Z - преобразованию.

Необходимо разделить по методу деления многочлен, стоящий в числителе, на многочлен, стоящий в знамена

теле*

2z	I г - 0.5___________	3+...
~ U - \	Z+z +0,5гг+0,25г	3+...

{

0,5гч

~ 0,5 гн -0 ,2 5 г'2

0,25н‘г

Следовательно, значения функции-оригинала (выход ного сигнала) будут равны

х/оМ; х ( т Н i x(2T)=Q5; x ( i l) z 0 ,2 5 ... .

В общем виде выходной сигнал системы (рис.1.8.) мож но записать в виде

эс(1т) =2/0,5)1 •

Вторым методом для нахождения функции-оригинала по известному ее - преобразованию является метод интег рирования с использованием формулы обращения

Х (СТ) ^ Щ ^ х ! * ) *	(1 *зз)
с

где интегрирование производится по контуру с , пред ставляющему какую-нибудь окружность с центром в начале координат, лежащую в области сходимости ряда Лорана. Эта формула является разновидностью формулы, выражающей

коэффициенты ряда Лорана через его сумму.
При вычислении интеграла, определяемого формулой
(1 .3 3 ),	получается	выражение для	оригинала,	явно не	за
висящее	от периода	Т • Однако от	величины периода		Т
будут зависеть коэффициенты изображения X(z)				; поэтому

для лучшего уяснения физического смысла в выражении ори

гинала			показана			зависимость		от текущего		времени оТ	•
		4ормула обращения (1.33) может быть преобразована
к	более		удобному			для	практического использования виду
на	основе			использования основной					теоремы о вычетах		[5J,
которая формулируется следующим образом.
		Если функция f(z) аналитична внутри замкнутого кон
тура		с		и на	нем, за		исключением конечного числа точек
внутри			с	, то	интеграл от функции f(z)					по контуру с ра
вен		произведению				2$Lj	на сумму вычетов			относительно
особых			точек,		лежащих внутри			с	:
										(1.34)
где			Вига f ( i)			- вычет функции			/( г ) относительно		осо-
				*		бой	точки	йк	;
					П	- число особых точек внутри контура
						интегрирования			с .
		На основании (1 .34) формула обращения примет вид
		х (ьт)=Щ г ф х № *								J -(1 .35)

Пример 1 .4 . Z - преобразование сигнала на выходе дискретной системы имеет вид:

0,5ж		(1 .36)
(z-l)(z~0,5)		(1 .36)
(z-l)(z~0,5)
Требуется найти значения выходного сигнала x(lT)
как функции времени.
Используем формулу (1 .35):
2	0 ,5 г	L-i
x (ltU 1 & ы г	0 ,5 г	L-i
x (ltU 1 & ы г	(*-\)(z -о,5)
' 1 кч	(*-\)(z -о,5)

Рассматривая выражение (1 .3 6 ), убеждаемся, что подынтегральное выражение имеет простые полюсы в точках н = I и н - 0 ,5 . В случае^если особая точка ак есть полюс 1-го порядка, то

b u t

“л

Используя

/ / г ) - / М ( н - и к)

z«a *

эту формулу, находим вычеты:

0,5 z	_L-4	= У
Выг<^ (г-<)Ы-0,5)	г “ М
		2-У

0,5г

=-0,5 ;

r (z-0(z-0,5)

2= 0,5

x (L T )= B u tJ (z) +ё>нгв5 f (г) = j -0,5

Значения выходного сигнала х(1Т) в функции време ни представлены на рис.1 .9 .

§ 3. Модифицированное Z - преобразование
Рассмотренное в			§ 2 обычное Z - преобразование
позволяет	определять / ( t l ) по изображению			Г(г) (	или
яаоборот)	только	для	дискретных моментов	времени	0 ,
Т t 2Т	LT	, . . .	В системах управления оружием

широко используются импульсные системы, включающие как импульсные элементы, так и непрерывные части. В таких системах при воздействии последовательности импульсов возникают непрерывные процессы; поэтому для полного ис следования системы возникает необходимость определять значения выходной величины непрерывной части системы

не только в моменты времени			LT ,	но и в	промежутках
между ними.
	Рассмотрим последовательность			значений функции
yt)	в дискретные	моменты времени taLT*6T			, где
L *	0 ,1 ,2 ,3 , ... ;	0<6'<<	. Для последовательности

значений §(п+6Т) ,	смещенных относительно	дискретных
моментов времени IT	на величину, 6Т (рис.1*10), мож
но применить операцию	2. - преобразования.	В результан
те получим функцию комплексного переменного,		зависящую

Рис.1.10

как от z = e	ST	£■
как от z = e	, так и от параметра смещения	,

которую называют модифицированным Z - преобразованием

функции	f [ i T		+ 6Т) .
Итак,		модифицированным 2 - преобразованием Функ
ции $(i T+GT)			называется функция комплексного пере
менного	н	,	определяемая выражением
	ze {HiTsT)}=gf(iT6 т ) г- ; .			(U 37)

Для модифицированного Z - преобразования ис пользуются и другие наименования: 2S - преобразование,

Z ~ преобразование с запаздыванием, упреждающее

<<< < Предыдущая 1 23 / 153 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ