книги из ГПНТБ / Березкин А.М. Задачи по стрельбе и их решения учебное пособие
.pdfПоэтому
|
|
4 т |
|
|
|
ОС' |
|
СО |
|
|
|
- |
/е~‘! |
1 |
Г е~х‘ dt |
||
|
|
V к |
2 |
|
и |
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Учитывая, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
t е ~х' |
! = |
0 и |
\ |
e~l> |
dt = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т . — т . |
|
|
|
3. Как |
известно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
ОС |
|
|
|
|
о с |
|
|
А ,= |
i |
(v |
m,Vi(x)dx |
| |
x*f( x ) d x - |
|||
|
“ |
СО |
|
|
|
|
|
|
|
ОСг* |
|
|
|
|
|
|
|
—2 /7гх |
j |
х f (х) dx + m* |
J |
f{x)dx —m^~m\. |
||||
|
—00 |
|
|
|
...ОС |
|
|
|
Для нашего примера имеем
т хг = |
х3 е 4 1 1 1 2 dx= |
8 т 1 |
е~'! dt. |
/ 3 |
|||
2 |
т 2 |
о |
|
|
о |
|
Если введем обозначения Л2=*и и te~{1 dt = dv. получим
Ос |
|
ОС |
|
t3e-'‘ d t ~ - ±1 t2e |
+ |
te~l'dt-- |
' |
|
|
2 |
|
0 |
|
о |
|
71
т. е.
|
|
|
|
4 п? |
|
|
|
|
|
|
|
т х» — ----- |
|
|
|
||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
4 /?г3 |
з |
= т |
V/ |
т |
|
|
|
|
|
||||||
Задача |
2.4. |
/ w = |
ал-2 |
при |
0 |
< |
х, |
|
О |
при |
х < |
О и х > 1 . |
|||||
|
|
|
||||||
Найти: 1) |
а : |
2) Р (0,25<л:<0,5). |
|
|
|
|||
Ответ. |
а = 3; Я (0,25<х<0,5) =0,108. |
|
|
|||||
Задача |
2.5. Д х)= й г х!. Найти я. |
|
|
|
||||
Ответ. |
|
а — |
|
|
|
|
|
|
V г.
Задача 2 .6 . Найти вероятность попадания на отрезок, у которого абсциссы концов имеют значения [з = 1 m = —5, а нормальный закон имеет вид
(ХЧ-3)«
1
/(*) =
1 в -
Ответ. Я = 0,81859.
Задача 2.7. Найти длину отрезка /, если вероятность по падания на него равна 0,16133; абсцисса левого конца отрез
ка х, = 1 0 |
м, нормальный |
закон |
задан уравнением |
|
|
|
(х—5)2 |
|
Н х) |
— е |
25 |
|
|
5 У тт |
|
Ответ. |
1 — 5 м. |
|
|
72
Задача 2 .8 . |
Найти |
абсциссы концов |
отрезка длиной |
|||||
0,76 см, вероятность попадания на который |
равна 0,16548 при |
|||||||
£ = 1 см, т = |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
Ответ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
* 1 = 0,57 |
см: |
P i - 1,33 си; |
* 2 = —0,57 см; р2 ——1,33 см. |
|||||
|
|
|
|
|
|
(х—т ) 2 |
|
|
Задача 2.9. |
f(x) = |
|
1 |
|
|
. |
Выразить F (х) че |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
а у 2 ~ |
|
|
|
|||
рез функцию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф ( * > |
|
|
|
_ |
13 |
|
|
|
У 2 |
' |
е |
2 clt. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ. |
|
F(x) = |
1 |
_ |
Ф |
[х — т |
4- 1 |
|
|
|
----- |
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2.2. Нормальный закон на плоскости
Задача 2 .1 0 . Рассеивание траекторий на плоскости харак теризуется величинами Е х = \ 2 м и Е у =7,483 м. Найти сре динное отклонение Е-. в направлении, перпендикулярном пря мой у = х—7,07105.
Ответ. Е-- = 10 м.
Задача 2.11. Дана цель, имеющая форму полосы беско нечной длины*, стороны которой заданы уравнениями
*Бесконечной полосой называется продолговатая цель, длина которой больше главных или сопряженных диаметров полного эллипса рассеи вания.
73
J
у= х—7,07105,
у= х—21,21315.
Найти вероятность |
попадания |
в эту цель, если |
|
|||||
|
|
|
|
Ях = 12 дг, |
Яу—7,483 |
м. |
|
|
Ответ. |
Р =0,21213. |
|
|
|
|
|||
Задача |
2 .1 2 . |
Определить вероятность |
попадания |
в парал |
||||
лелограмм, если известно: |
|
|
|
|
||||
1. |
Ях = 20 м, |
Яу —10 м. |
|
|
|
|
||
2. |
Угол |
у между Ях и Е\ |
составляет 330°. |
|
||||
3. |
Стороны |
параллелограмма заданы уравнениями |
||||||
|
|
|
|
i/= 0,4331 х—8 , |
|
|
||
|
|
|
|
у = 0,4331х—32, |
|
|
||
|
|
|
|
■ г/= —0,5774х+ 15, |
|
|
||
|
|
|
|
у = —0,5774л:+ 45. |
|
|
||
|
|
|
|
Р е ш е н и е |
(рис. 2 |
.2 ) |
|
|
Воспользуемся |
известными |
из аналитической |
геометрии |
|||||
формулами: |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
El 4- / ф = Я2 • E l |
. |
|
|||
|
|
|
Ях Еу —Е~- ЯТ] sin (0 —7 ), |
1 |
(2.4) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~~2 — ~ t&!) lg 7>
Ях
где
Т = ЯХЯ? ; О= ЯХЯ, .
Подставляя в уравнение единичного эллипса
Г |
1 |
|
Е 2 |
||
|
74
СЛ
значения х = Е: cos 7 и у = Е- sin 7 , получим
h\ cos'2 7 |
г 2 . |
|
b- |
sin- 7 |
|
рЛ |
|
1 . |
|
*1 |
|
откуда
F~ F 2
е ь
£ y cos2 7 ; £x sin2 7
Для нашего примера будем иметь
£= = |
/ |
40000 |
|
228,57 = 15,119 м. |
|
7 |
754 |
100 |
|
||
|
|
|
|||
Еп = | / £* + £у - £? |
= |
| / 271,43 =16,475 |
|||
|
tgO---- 7 ; ^ — |
; |
fj= 23'25'. |
||
|
|
|
tg 7 |
|
|
Исходя из того, что arctg (—0,5774) = —30° и arctg0,4331 = = 23°25', убеждаемся в параллельности сторон заданного па
раллелограмма сопряженным полуосям Рг и |
ЕТ[ . |
|
Уравнения границ полос в направлениях |
; и |
соответст |
венно будут иметь вид |
|
|
у = —0,5774*, |
|
|
// = 0,433 lx. |
|
|
Совместное решение уравнений |
|
|
г/= 0,4331 х—8; у = —0,5774*
и |
|
у = 0,4331 х—32; |
у = —0,5774х |
дает значения |
|
х, = 7,917; |
//= —4,571; |
х2 = 31,668; |
//= — 18,285. |
76
Откуда
^ = V х 1 + у1= У, 13■4 ; ?а = | х2 + у\ = 36,568.
Следовательно, вероятность попадания в первую полосу оп ределится
РХ= Р $ Х< Ч < у - Р (9,134 < * <36,568) =
1_ Ф f 3 6 ^ 6 8 |
_ ф / ^ 1 3 4 |
0.29048. |
|||
2 |
V15,119 у |
115,119 |
|||
|
|||||
Определяя аналогично значения |
и т(2, получаем |
||||
P2 = P(y,1 < ti< |
y,2) = - |
[Ф (2,9461— Ф'(0,982)] =0,23079. |
|||
Окончательно будем иметь
Ядвсо = р, р г= 0,29048 • 0,23079 = 0,06704.
Эту задачу можно решить в другом варианте (рис. 2.2) Найдем сначала суммарные вероятные отклонения в направ лениях, перпендикулярных.заданным полуосям, а затем рас стояния до сторон полос от центра рассеивания:
|
Ес = |
у |
El sin2 |
3 + |
£у cos2 |
= |
|
|
|
]/"202 |
• 0.397+ |
|
102 |
• 0,9176* = 1 2 ,14 лс. |
|||
|
Ещ= |
}/ |
Е; sin2 |
с? + |
Еу cos2 |
о = |
|
|
|
= у 202 -0,52+ |
10Ч),8662 --13,25 м; |
|
|||||
|
8 |
|
7,341; |
>■ |
|
3 2 |
=29,360; |
|
|
У 1+0,4331* |
с-2 |
|
|||||
|
|
|
|
У 1 + 0,4331* |
|
|||
V |
15 |
|
12,990; |
|
У |
45 |
=38,970; |
|
У 1 + 0,57742 |
|
У 1 + |
0,5774* ~ |
|||||
|
|
|
|
|
||||
77
Таким образом,
1
РA B C D '
2
U f 29’360! |
ф ( 7’,]4,“ ) |
Г , / 38,970 \ |
4 2 ,1 4 0 / |
V12,140 / |
Ф | , Й 5 о ) |
/ 12,190 |
I [Ф ('2,419)—Ф (0,604)] [Ф (2,946)— |
V13,250 |
4 |
|
- Ф (0,982)] - 0,06704. |
Главные полуоси эллипса рассеивания — также сопряжен ные полуоси, которые расположены перпендикулярно друг другу. Такая сопряженная пара полуосей единственная в эл липсе рассеивания. В этом случае вместо вероятности попа дания в параллелограмм рассматривают вероятность попа дания в прямоугольник, стороны которого параллельны главным полуосям эллипса рассеивания.
Задача 2.13. Нормальный закон на плоскости задан урав нением
|
|
|
|
|
|
(У |
г 2)* |
|
|
|
|
|
|
|
/(*.*/) = |
|
|
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти |
P(X,Ycz D), |
если Х \ = 2\ х2 = 4; у i = —4; г/ 2 = 2. |
|
|
||||||
|
Ответ. |
P (X ,Y a |
D)-=0,0505. |
|
|
|
|
|||
|
Задача 2.14. Производится стрельба по воздушной цели. |
|||||||||
Снаряд поражает цель, если |
разрыв происходит в пределах: |
|||||||||
а) |
квадрата |
в картинной |
плоскости |
со стороной |
1 0 0 м; |
|||||
б) |
прямоугольного параллелепипеда со сторонами |
ZiX= |
Кц = |
|||||||
= |
100 |
м: А'ц--200 м. Рассеивание характеризуется |
Н^= |
Еу -- |
||||||
= 50 |
м; |
E z —'200 м. |
Систематическая |
ошибка равна |
нулю. |
|||||
Определить вероятность поражения цели при одном и шести независимых выстрелах.
|
Ответ. |
|
а) |
Р = 0,25; |
W=0,826; |
б) |
Р = 0,066; |
W=0,340. |
78
Задача 2.15. Самолет производит бомбометание железно дорожного полотна, ширина которого 20 м. Направление по лета самолета перпендикулярно железнодорожному полотну. Прицеливание производится по средней линии полотна. Сис тематическая ошибка равна нулю. Ел =25 м. Найти вероят ность попадания одной бомбы в цель.
Ответ. Р = 0,213.
Задача 2.16. Самолет производит обстрел колонны войск противника, ширина которой 4 м. Прицеливание производит ся по средней линии колонны. Вследствие скольжения име
ется систематическая |
ошибка |
Z = 1 м. Рассеивание по боко |
||||
вому направлению |
В6 = 5 м. |
Найти |
вероятность |
попадания |
||
при |
одном |
выстреле. |
|
|
|
|
Ответ. Р = 0,211. |
|
|
|
|
||
Задача 2.17. Найти вероятность попадания в цель — пря |
||||||
моугольник A B C D , координаты вершин которого |
относитель |
|||||
но |
центра |
эллиптического |
рассеивания |
следующие: |
||
Л (— 10; 5); ^ (4; 15); |
С(4; 2); |
П( —10; 2 ); £, = 5 л ; £ у= 3 м. |
||||
£ х |
параллельна большей стороне цели. |
|
||||
|
Ответ. Р = 0,1875. |
|
|
|
|
|
Задача 2.18. Найти вероятность |
попадания |
с помощью |
||||
сетки рассеивания в цель, имеющую форму квадрата, сторо на которого равна 2 0 м, а центр удален от центра эллипса в направлении большой оси на 24 м. Диагональ квадрата па раллельна большой полуоси единичного эллипса £ х, равной 16 м. Малая ось £ у = 6 л.
Ответ. Р = 0,1372.
2.3.Вероятность попадания в эллипс заданных размеров
ив круг радиусом R
Эллипс, у которого полуоси равны К вероятным отклоне ниям, назовем эллипсом Вк. Вероятность попадания в такой эллипс найдется ио формуле
79
P (X,Ycz Вк) = j j |
f(x,y)dxdy |
|
|
или |
Вк |
|
|
|
|
|
|
|
0- |
Z i' |
, Л |
Р (X.Y С = Вк) |
Е2) |
||
|
> |
dx dy. |
|
- Е х Еу
Обозначим
ОX-= и И з>У _ У.
Тогда
P (X ,Y c z Вк) - -
- О 2 r V ) d u d V t
Переходя к полярной системе координат
|
u— R cos a, |
v--Rsit\7. |
|
|
и учитывая, |
что d ad v = R d R d а, |
получим |
|
|
|
* |
к Р |
|
|
Р (X .Y а |
Вк) = ~ 1. |
Re |
* 2dRd'j. = \ ~ е - * 2*2. |
(2.5) |
|
о |
о |
|
|
Задача 2.19. Найти вероятность попадания в эллипс |
|
|||
9 а2 -М //'-’= 576, если £ х = 4, £ у = 6 .
Р е ш е н и е
Разделив левую и правую часть заданного уравнения на
144, получим |
|
|
т2 |
и2 |
2, т.с. « = 2 . |
— + — = 2 |
||
42 |
6 2 |
|
8 0