книги из ГПНТБ / Березкин А.М. Задачи по стрельбе и их решения учебное пособие
.pdf
|
|
Вероятнос |
Вероятности |
Вероятности |
сложного |
||
Гипотезы |
ти гипотез |
событии |
при |
события, что осуществи |
|||
лась i -я гипотеза и при этом |
|||||||
|
|
Pi |
данном гипо |
имело место интересующее |
|||
|
|
|
тезе р\ |
|
нас событие |
||
Ракета |
|
|
|
|
|
|
|
выбрана |
0,4 |
0.5 |
|
|
0,20 |
|
|
из первой |
|
|
|
||||
группы |
|
|
|
|
|
|
|
Ракета |
|
|
|
|
|
|
|
выбрана из |
0,5 |
0,6 |
|
|
0,30 |
|
|
второй |
|
|
|
||||
группы |
|
|
|
|
|
|
|
Ракета |
|
|
|
|
|
|
|
выбрана |
0,1 |
0,8 |
|
|
0,08 |
|
|
из третьей |
|
|
|
||||
группы |
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, средняя вероятность |
поражения мишени |
||||||
равна |
0,58. |
|
|
|
|
|
|
В |
этой |
схеме вероятности |
|
=(0,4; 0,5; 0,1) есть вероят |
|||
ности |
гипотез, вычисленные |
до |
опыта. |
После |
проведения |
||
опыта вероятности гипотез изменяются, становятся другими. Покажем это на простом примере. Пусть имеются два патро на: один обыкновенный, а другой с трассирующей пулей. Ве
роятность выбора обоих патронов до опыта равна 0,5. Осу ществим опыт. Выстрелим один из них. Допустим, что при этом появилась трасса. После опыта стало ясно, что был выбран второй патрон, т. е. вероятность выбора первого пат рона стала равной нулю, а второго — единице.
Задача теоремы гипотез как раз и заключается в том, что бы определить, как перераспределяются вероятности после опыта.
Применительно к нашей задаче вопрос можно поставить так: после выстрела мишень была поражена, какой же груп пе ракет принадлежит выбранная ракета?
Приступим к решению этого вопроса. Прежде всего
.вспомним теорему умножения вероятностей зависимых собы тий, которая формулируется так: вероятность сложного собы тия, состоящего из нескольких простых зависимых событий Ай А2; А3,.., /4„, равна произведению вероятности первого события на условную вероятность второго события, вычислен ную в предположении, что первое событие произошло, на ве роятность третьего события, вычисленную в предположении, что первые два события произошли, и так далее, т. е.
/> 0 М а Л а .. А ) =
-Я И,) Р (-VA) Я(4/А A t)... P {AJA, A 2... An-i).
Для двух зависимых событий эта формула |
перепишется |
так: |
(1.28) |
Р{А\А2) = Р ( А 1) Р (А 2/Р \) . |
|
Вероятности зависимых событий обладают |
свойством |
переместимости. Действительно, пусть появлению события А\ благоприятствует число случаев от, а появлению события А2—
число случаев п. При этом пусть т |
п --N будет |
числом все |
|
возможных случаев. |
Тогда |
|
|
т |
т |
|
п |
P (A t): |
N ’ Р И Д ) |
( т — 1) + п |
ТГ- т |
т + п |
|||
или
п т
Р { А ,) Р ( А 2/А,)
N(N— \)
Аналогично
п |
п |
т |
т |
Р (Л 2) |
N |
и Р(Д,/Л2) = - |
Л /1 ? |
tnAr'i |
т ( 0 —1) |
6 ?
т. е.
rnn
P(A2)P{Al/At) =
/V(A/— 1)'
Следовательно,
P(Ai) P ( A 2/Al) = P ( A 2)P(A1/A2). |
(1.29) |
Запомним это и вернемся к нашему вопросу о теореме ги потез. Событие (поражение мишени) обозначим А, а гипо
тезы (выбор ракеты) — Nlt N2 |
Nn. |
Вероятность того, что |
событие Л осуществится при гипотезах |
Д',, W2!..., Na, запи |
|
шется |
|
|
Р ( ^ ) Р ( Л / , У {).
Для нашего примера
Р(Л/,) Р(Л/Лу) = (0,4-0,5; 0,5 -0,6; 0.1.0,8).
Сдругой стороны, вероятность того, что появилось собы
тие А (вероятность события Л.определена безразлично к кон-
II |
|
кретной гипотезе, в нашем примере Р (Л )— "V |
Р ^ 0,58) |
i ! |
|
и при этом имеет место i -я гипотеза, запишется, |
как |
P(A)Q(Nl),
где Q(Ni) — вероятность гипотезы после испытания. По су ти дела Q(/Vj)- Р (Д0/Л)— вероятность появления г-й гипотезы при условии, что событие Л уже произошло. Вероятность совместного появления событий Л и f -й гипотезы можно за писать в виде
Р(Л/Дб)-Р(Л)Р(ДуЛ).
63
Или, согласно (1.28), будем иметь
P ( A ) P ( N 1/A) = P ( N l) P ( A / N l)
Откуда
Р(ЛУЛ) = |
р ( д д |
р м / . у р |
(1.30) |
|
|
Р(А)
т. е.
Р(ЛуЛ)=--: ^ ( д/0 P W N y) = |
^ [ P i — _ ( j.31) |
S P i N J P i A I N , ) |
V PiA |
.A n d |
4швяш |
i-1 |
i 1 |
Задача 1.54. Та же, что и задача 1.53. Найти вероятности гипотез после испытания (мишень поражена).
Ответ.
N{ P(Ni) P(A/Ni) P(A'i)P(/l .Vi) P(NuA)
1 |
0:4 |
0,5 |
0,20 |
0,20 |
Ш |
|
|
0T a I |
29 =0;345 |
||||||
|
|
|
|
||||
2 |
0,5 |
0,6 |
0,30 |
0,30 |
15 |
л |
|
(Оба |
29 |
°'"llT |
|||||
|
|
|
|
||||
3 |
|
0,8 |
0,08 |
0.08 |
4 |
|
|
0,1 |
0,58 |
= 29 ^ |
° ' 138 |
||||
|
11 |
tl |
|
И |
|
|
|
|
AVm,iJ P (Ай)—! |
V |
P(Ni)P(A/Ni)= |
V |
P(Nj/A)-—1. |
||
|
1=1 |
i=l |
|
i= l |
|
|
|
|
|
|
=- 0,58 |
|
|
|
|
Ц.
Как показывает решение, вероятнее всего, что ракету для стрельбы инспектирующий выбрал из 2-й группы. Как видно, после осуществления опыта вероятности гипотез изменились
(сравните 0,4 и 0,345; 0,5 и 0,517; 0,1 и 0,138).
В частном случае, если |
гипотезы |
равновероятны, форму |
ла примет вид |
|
|
Р(ЛУЛ)= ... |
|
(1.31) |
i I |
i=l |
i2I * |
Задача 1.55. Имеются Два ящика с патронами. В первом ящике находится 1 0 обыкновенных и 1 0 трассирующих пат ронов; во втором — 2 обыкновенных и 18 трассирующих пат ронов. Из одного ящика наугад вынут патрон, который ока зался трассирующим. Из какого ящика вынут патрон?
Ответ.
Для первого ящика |
P{Ni/A)— —• |
Для второго ящика |
18 |
Р(ЛД/Д)= ^g- |
Задача 1.56. В части 20 подразделений. Из них отлично подготовленных 6 , хорошо подготовленных 8 , удовлетвори тельно подготовленных 4 и плохо подготовленных 2. Вероят
ности выполнения зачетных стрельб имеют значения р 0тл=0,9; Рхор~0,7; руд=0,5 и рП1 =0,3. Вызванное наугад подразделение стрельбу выполнило. Какой группе оно принадлежит?
Ответ.
О — — • 0 — — ■ 0 = — • Q — ^ |
||||
Чотл |
CQ1 |
VxoP— CQ' V yi |
g g ) Viu |
6 8 ’ |
|
68’ |
6 8 ’ |
|
|
где (^ = Р(ЛуЛ).
о. Зак. .Ns 57!) |
65 |
Г Л А В А 2
НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
2.1.Непрерывная случайная величина
Впункте 1.1 первой главы дано определение случайной величины и ее распределение для дискретного случая.
Это определение остается в силе и для непрерывной слу чайной величины. Разница между случайными величинами дискретного и непрерывного типа заключается в том, что если дискретная случайная величина может принимать от дельные, изолированные друг от друга численные значения, которые можно перечислить, то сделать это для непрерывной случайной величины невозможно.
Как бы близко ни стояли два возможных значения друг к другу, между ними, при наличии непрерывной случайной ве личины, стоит бесчисленное множество возможных значений. Другими словами, если для дискретной случайной величины можно назвать два соседних возможных значения, то для не прерывной случайной величины ни одно возможное значение не имеет соседнего возможного значения ни слева, ни справа.
Это значит, что в данном случае возможные значения случайной величины непрерывно заполняют некоторый от резок.
Выше говорилось, что чем больше возможных значений входит в совокупность дискретной случайной величины, тем меньшая часть единицы падает на долю каждого из них. Если случайная величина имеет непрерывный характер, то говорить о возможности появления ее конкретного значения
не имеет смысла. В этом случае от понятия вероятности пе реходят к понятию плотности вероятности — /('•')• Для не прерывных случайных величин существуют две формы закона распределения: дифференциальная f (х) и интегральная (функция распределения) F {х).
Неубывающая и положительная функция F (х) есть вероят
ность того, что случайная величина X не превзойдет некото рое выбранное значение х, т. е.
F(x) |
P(X<x). |
(2.1) |
Если на числовой оси задан отрезок хи х2 (рис. 2.1), то |
||
событие X < х2 состоит из двух несовместных |
событий: |
|
|
X .V, |
|
и |
|
|
A'l |
|
|
f(x,) |
Р(х,<Х<Хг) |
|
(ХгJ
Рис. 2.1
Поэтому
Р (Х < х2) -Р ( Х < х 1) f Р {\\< А' < хг),
откуда интересующая нас вероятность попадания на отрезок
Ах = х2 —Xi найдется, как
Р(х1< Х к х 2) = Р (Х ^.х2)— Р (Х < х 1),
или
P(*i<X < * , ) = /■’ (xt)—F (* ,) . |
( 2. 2) |
67
Из выражения (2.2) можно найти связь между дифферен
циальным |
и интегральным законами |
распределения. Если |
|
Р(х\ < X < |
х2) есть вероятность |
попадания на отрезок |
|
Дх = л- 2 —л'ь то при a'i ->x2 (Дл;-н*0) |
будем |
иметь |
|
P ( X i < X < x 2) = 0 .
Поэтому, используя предельный переход, получим
f ( x) = iim |
P(X,V-X<A'2) |
= lim |
F{X [~X x ) ~~F -i x ) = F '( x ) . |
Ax- > 0 |
\ x |
z\x- > 0 |
A * |
С другой стороны,
F(x) =F[X<Cx) = P ( —c o < X < x ) = |
/ (.v) dx. |
— 3 0
Итак,
f(x) = F'(x),
(2.3)
F ( x ) = |
f (x)dx. |
■ 00
Задача 2.1. Дано Z7 (;) —/•’ [<?(*)]. Найти его выражение через дифференциальный закон.
Ответ.
<ГIX) |
х |
\ |
*■’ (&) = ( / ( а-) dx — |
Г |
( а ) / [? (*)J d *. |
—00 |
” 00 |
|
Задача 2 .2 . Е (И = Е (.г*-)-*)• Связать это выражение с диф ференциальным законом.
68
Ответ.
х'+х
г (с) = | / (Л-) dx - |
\ (3 х24-1)/ (*» 4 л ) dx. |
—00
Задача 2.3. Дано
|
/( х) = |
ахе |
4 1,12 при х > 0 , |
|
|
О |
при |
х < О, |
|
|
|
|||
где т > 0 . |
|
|
|
|
Написать |
выражение для |
функции |
распределения F (х) |
|
найти М(Х) |
и П(Х). |
|
|
|
Ре ш е и и е
1.Находим коэффициент а из соотношения
|
|
|
|
”о1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОС |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
‘1 |
ш2 |
dx ■ |
|
|
||
Пусть |
- х‘1 |
|
|
1 |
2 |
m |
, |
|
х - |
2 |
т |
|
|
- = t2, тогда |
dx— — |
dt; |
|
|
|||||||
|
4 пг2 |
|
|
|
V к |
|
|
|
У |
^ |
||
1 |
4 т- |
00 |
|
|
|
|
СО |
|
, |
|
|
|
Г/ е~15 |
dt |
= |
2 |
т 2 |
Г |
д |
„ |
|
2 rri1 |
|||
|
|
|
|
и |
12 |
d( |
|
: й 2 ш* |
||||
|
|
о' |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Д (*) = |
2 т 2 |
|
хе |
|
4 m 2 dx, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
69
или
|
m x |
|
|
2 m |
|
|
J_L |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
m |
||
F(x) = 2 |
o |
|
= - |
I e - ^ d {~ t*) = |
|
|
||
|
|
|
|
дха |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 m* |
|
|
|
|
Окончательно |
получим |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
- X- |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 ma |
при |
|
|
|
|
F{x) = |
1 — e |
x^>0 |
|
||||
|
|
|
0 |
|
пои |
x < |
0 |
|
2. Определим математическое ожидание. |
|
|
||||||
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
т к = М ( Х )= |
xf(x)dx, |
|
|
|||
то можно |
записать |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
00 |
_ - X» |
|
|
|
|
mv — |
rri2 |
х-е |
4m* dx = y L |
(’ |
Fe-^dt. |
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
‘ 00 |
|
|
|
|
|
Обозначим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t e ~ [2 |
dt — dv\ |
t —u, |
|
|
|
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
v — l |
t e ~ v' d t |
|
e~v‘d ( — t1) = |
---- e- ‘2; |
d( — du. |
|||
70