книги из ГПНТБ / Березкин А.М. Задачи по стрельбе и их решения учебное пособие
.pdf
|
|
|
\l I |
|
|
|
N |
|
|
P ii, N |
Л- |
|
p'g"-'; |
V |
|
||
|
|
|
/! (Л' — г)! |
|
|
|
|
|
Вынося за знак суммы |
N р |
и |
разделив г на г!, получим |
|||||
|
|
|
(i l)=0 |
v |
' |
4 |
' |
|
= л/р |
N-1 |
|
(/V — |
П! |
|
|
p'/-yN 1)—(i—I) _ |
|
у |
|
|
|
|||||
|
(i= l)=0 |
( i - |
1)![(Л /- |
1) — (/— 1)]! |
||||
Обозначив |
N — 1 = |
s и i — 1 = к, |
будем |
иметь |
||||
|
|
|
|
|
|
s! |
|
|
|
|
ЩХ) = Np 2 Й Д = Т ) ! 4 |
||||||
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s! |
p Kq s~ K= |
1, |
|||
|
|
|
|
|
||||
|
|
к=0 Kl(S — K)l |
|
|
|
|||
то окончательно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M(X) = Np. |
|
(1.7) |
|||
Дисперсия случайной величины определяется по формуле
D(X) = M {[Х -М (Л ')р ). |
(1.8) |
Для дискретной случайной величины имеем |
|
D ( X )= У] (xi - m*)*Pr |
(1.9) |
i=0 |
|
41
Из формулы (1.8) можно получить более удобный для применения вид дисперсии
D(X) = M [ [Л' /И(Л')]2} =Д1 [Л'*—2 X М (Х )—М1(Л')] =
= М ( А ' 2) — Л1 [2 X .1/ ( Л ) 1— /VI [Л/- (Л')] =- Д /(Л '-) |
ЛГ- ( А ) ( 1 . 1 0 ) |
||
НЛП |
|
|
|
0 ( A ) - V А |
Pi |
( 1. 1 1) |
|
|
i=0 |
i-0 |
|
Учитывая |
1.11, дисперсия |
биномиального |
распределения |
определится, |
как |
|
|
^Л/1
|
|
Л1(Л')= |
V |
i * ----p 'q K -'- W f fi , |
(1.12) |
|||
|
|
|
|
ГГ? |
г! (Л |
- г)! |
|
|
но |
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
N1 |
|
р' qN~i = |
V |
( - |
/V! |
|
V r |
|
|
- p'qn- i=, |
|||||
i-i |
|
г! (.V - |
г)! |
|
i- О |
(/-1)! |
(A - /)! |
|
- .V p V |
f(t—П +1] ■ — |
(У — 1)! |
|
pi-1 ^((N—D—(i—1)1 = |
||||
|
|
|
|
(/-1 )! [(/V—! ) - ( / —l)j! |
|
|||
= Np |
V |
( . - l ) _______ ------------------- |
pi—1q l(N—1)—(i 1)1 -|- |
|||||
|
irj |
|
( < - l ) l |( W - l ) - ( / - ! ) ] ! |
|
||||
|
|
N |
|
|
(У— 1)! |
|
pi-i g\[N~i)—(i in |
|
|
|
V |
|
|
|
|||
|
|
( i - l ) ! f ( / V - l ) - ( i - |
l)j! |
|
||||
Первая сумма в скобках, согласно (1.6), есть математи ческое ожидание, т. е. в данном случае сумма равна (У— 1) р ,
42
а вторая сумма равна единице. Поэтому, учитывая (1.12). можно записать
D (X) — Np [(N—1 )р -И ]-Л *р * =
= N p —Npi = Np (1—p)=Npq.
Итак,
D(X) = Npq. |
(1.13) |
Следовательно, |
|
У Щ Х ) = 1 W q . |
(1.14) |
Рассмотрим случай, когда имеет место система двух слу чайных величин X и У, каждая из которых подчинена бино миальному распределению. Здесь уже, кроме характери стик М (X), М (У), D{X),D (У), нужно находить характеристику,
учитывающую взаимную связь между X и У. Такой характе ристикой является смешанный корреляционный момент K{X,Y), который определяется по формуле
К (Х,У) = { \ Х - М (X)] [Y - M (У)]} =
= М { X Y - X M (У) - У М (Х )+ М (X) М (У)} =
= M{XY)—M{X)M (Y)—M(Y)M (X)-f М (Л)А)(У) =
= /М (ХУ)-М (Х)М (У ) |
(1.15) |
/<(А ',Г)- V |
2 |
X,Y, Р „ - V Х , Л V |
y jPj. |
(1.16) |
||
|
i - 1 j - I |
i 11 |
j “ I |
|
|
|
Так |
как корреляционный момент |
K (X ,Y ) |
характеризует |
|||
не только степень |
связи между X и У,, но и степень рассеи |
|||||
вания, |
то в качестве |
характеристики |
степени |
связи |
X и У |
|
43
пользуются коэффициентом корреляции, представляющим со бой нормированный корреляционный момент:
г ( Х , У ) “ - К ( Х ’ У - • |
( 1 . 1 7 ) |
H X ) i ( Y )
Задача 1.17. По мишени производится три независимых выстрела. Вероятность попадания при каждом выстреле рав на р. Найти значения М(Х)\ М (У); D(A'); D (У); з(А ); -(К); К (Х,У): г(Х,У). если X — случайная величина числа попада ния и У — случайная величина числа промахов.
Р е ш е н и е
Составим ряд распределения случайной величины ХУ
X |
. |
л |
0 |
1 |
2 |
3 |
Yi |
X |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
0 |
0 |
Р3 |
|
1 |
|
0 |
0 |
3 Р2? |
0 |
|
2 |
|
0 |
з p q 2 |
0 |
0 |
|
3 |
|
<7:i |
0 |
0 |
0 |
N |
|
|
|
|
|
|
Л 4 ( Х ) = ^ |
^ |
P I = |
0 - ? 3+ l - 3 p < 7 2+ 2 - 3 p s < 7 + 3 p 3== |
|||
i=-U
= 3 рф -+6 р 29 + 3 р 3 = 3 р (^ 2 + 2 р ^ + р г) =
= 3 Р ( р + д ) 2= 3 р.'
44
Аналогично
|
M{Y) = Zq. |
|
Находим дисперсию |
|
|
D (Х) = М (X*) -ЛК (Х)=.-- М (X2) -9 р\ |
|
|
или |
|
|
М (X2)= |
V .г'] Р[ = 02- q»+ Г2• 3 р <?*-{-22 • 3 р1q +- |
|
|
1=0 |
|
|
+ З2 р3 —З р д 2-\-12 р2 q \-9 р'-\ |
|
т. е. |
|
|
D (Х) = 3р q"--{-12 р- q+ 9 р3—9 р2 = 3 р q2 + Зр2 (4 д+ З р — 3) |
||
= 3 pql-1- 3p2 [4<H-3(l—fl)-3j = |
|
|
- Зр р-+ 3 р2 (/-- 3 p q ( p + q ) = 3 p q . |
|
|
Аналогично |
|
|
|
D(Y) = 3pq. |
|
Следовательно, |
|
|
з |
(X) = | ' З р 7 , |
з (К) --= ] / 3 р q . |
Корреляционный момент найдется, как |
|
|
К (ХУ) = М (Х У )-М (X) М (К) = М (Х У )-9 |
ргу = |
|
=1- 2-3 р<72~г2- I - 3 р2q—9 рс/=
=6 рс?2 6 р- с/—9 /? <7 -= 3 р с/ (2 р-г 2 <7 —3) = —Зр<7 .
Следовательно,
/• (ХУ) =•- - /<(ЛУ ) |
--г== ^ |
- ^ |
= = - 1. |
з(Х )0 (У) |
V 3 р q |
■ ]/ |
Зрд |
Как известно, равенство единице нормированного коэффи циента корреляции означает, что случайные величины X и Y связаны между собой чисто функциональной связью, т. е. если будет названо какое-нибудь значение X, значение Y можно определить достоверно. Действительно,
|
|
х + у = 3. |
|
|
И поэтому будем иметь |
|
|
|
|
T'i |
0 |
l |
2 |
3 |
m |
3 |
2 |
i |
0 |
|
|
|
|
|
Знак минус у r(XY) означает, что при X f К | или при
K f .
Математическое ожидание и дисперсию числа поражен ных целей можно отыскать еще проще при следующем рас
суждении. Случайная величина числа пораженных целей (X) при обстреле групповой цели может быть представлена в ви де суммы
X = V X b |
Д.18) |
i = [ |
|
где X j— случайная величина числа пораженных |
целей при |
обстреле одной цели. |
|
Действительно, если P t — вероятность поражения Хмелей, то ряд распределения будет иметь вид
Xi О 1
Pi ■<7i Pi
Поэтому |
|
Или, учитывая (1.18), запишем |
|
М (Х )= 2 ^ ( X i ) = |
(1.19) |
i =l |
i _i |
Так как |
|
D(X) = M (X*)-M »(X),
то по аналогии
0(Х ,) = М ( Х Ь - М *( Х ,) .
Далее имеем
М (Х П -0 2 ^r f l 2-Pi -pv
Следовательно,
D {X i)-^pl~p°r^pi ( l - p l) = p 1q.v
Учитывая, что
N |
N |
N |
D У |
Х . = V 0(ХЛ |
и Х - = V X., |
i = l |
i = l |
i = l |
получим |
|
|
D ( X ) = V M l .
i—I
Если pi —p2 =... =jU}}, то будем иметь
M ( X ) ~ N p и D(X) = N pq.
47
Задача 1.18. Обстреливается поток из четырех целей. Ве роятность поражения каждой цели равна Р. Найти матема тическое ожидание числа пораженных целей с использова нием ряда распределения.
|
|
Р е ш е н и е |
|
|
|
XI |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
Pi |
|
4 f p |
' 6 q*p* |
4 q P3 |
P1 |
М (X)=^0'94+ l |
-4q3 p+2 -6q* р2 I 3 • 4 q р3-\-4 р4= |
||||
= 4 p(q3 Jr 3 q2р + 3 |
q р2 + ря) ='i p{q\- pf = Ap. |
||||
Задача 1.19. Обстреливается поток из 6 целей. Найти ма тематическое ожидание числа пораженных целей, если ве роятности их поражения имеют значения
P i= p 2 = /?3 = 0,6; /?4 = /?5 = 0,7; р6 = 0,5.
Ответ.'М (X) =3,7 цели.
Задача 1.20. Найти вероятность поражения одной цели, если математическое ожидание числа пораженных целей при обстреле четырех целей равно 1,2 и цели поражаются с оди наковой вероятностью.
Ответ. Р —0,3.
Задача 1.21. Найти математическое ожидание числа пора женных целей, если обстреливается поток из 4 целей с веро ятностями поражения = 0,6; Р2 = Ря= 0,7; р4 = 0,4. Однако в силу некоторых обстоятельств одна из'этих целей (любая) пропускается.
Ответ. М (X) —1,8 цели.
48
Задача 1.22. Из четырех целей, которые поражаются с ве роятностями 0,3; 0,7; 0,6 и 0,8, обстреливается только одна. Найти математическое ожидание числа пораженных целей.
Ответ. Л4(Х)=0,6 цели.
Задача 1.23. Из групповой цели, состоящей из 5 отдель ных целей, для обстрела наугад выбираются 2. Вероятности поражения целей имеют значения:
P i= p 2 = 0,5; lh = P4= 0,6; р5 = 0,3.
Найти математическое ожидание числа пораженных целей.
Ответ. М (X) = 1 цель.
Задача 1.24. Даны две случайные величины X й Y. Ряды их распределения заданы таблицами:
|
1 |
2 |
3 |
Vi |
0 |
2 |
4 |
Pi |
0 ,2 |
0,3 |
0,5 |
Pi |
0,1 |
0,5 |
0,4 |
Найти M(X);M(Yy,M(X-\-Y)-M(XYy,D{X+Y)\r(XY)-, D (X):
D (Y). Написать распределение X + Y. |
|
|
|
||||
Ответ. М{>0 = 2 ,3 ; |
М (К) =2,6; D (X) —0,61 \ D(Y) = 1,64. |
||||||
Распределение X-\-Y |
будет иметь вид |
|
|
||||
X i+V j |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
P-n |
0 ,0 2 |
0,03 |
0,15 |
0,15 |
0,33 |
0 ,1 2 |
0 ,2 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, математическое |
ожидание |
суммы Х + У |
|||||
найдется, как |
|
|
|
|
|
|
|
M (X + Y ) = l |
(xr 'r ydPij = l -0,02 + 2-0,03+ ...+7 -0,20=4,9 . |
||||||
Зак. № 579 |
49 |
Действительно, М (X-\-Y)=M (X)-j-М (У) = 2,3-| 2,6 = 4,9.
Находим
D ( X \ Y ) = И-0,02+22 • 0,03-К.. + 72-0,20--4,92 =
=26,26 —24,01 =2,25.
Осуществим проверку и получим
D(X + Y) = D{X)-\-D(Y) = 1,64 + 0,61 =2,25.
Вычислим К (ХУ):
К (X Y) — M (AY)—/И (X) M(Y)~=\ - 2 - 0,1 -| 2 2 -0 Л 5+ ...Д
-!-3-4-0,20-2,3-2,6 = 5 .98 -5,98=0 .
г |
_ K ( XY ) = |
0 |
----- ,= 0 |
|
з ( Х ) » ( К ) |
у 0 ,6 1 |
- 1,64 |
Это значит, что случайные величины X и Y независимы. Задача 1.25. Даны случайные величины X, Y и их ряд
распределения
0
—4 0
0 0
1 2
о 0,25
0,50 0
4 0,25 0 0
Найти значение K(X,Y) и r(X,Y).
Ответ. К (ХУ) = 2; r(XY) = 1.
Задача 1.26. Найти математическое ожидание числа по раженных целей при обстреле потока из 5 целей. Известно,
59