книги из ГПНТБ / Березкин А.М. Задачи по стрельбе и их решения учебное пособие
.pdf
|
|
; |
где з > 0 . |
При а== 0 и о—1 плотность о (х) |
превращается в |
плотность |
'т'о(х) простейшего нормального |
распределения. |
Кривые общего нормального |
распределения вероятностей при |
различных значениях а и |
при а = 0 даны на рис. 0.7. |
|
!/>(*■) |
|
Рис. |
0.7 |
|
|
|
|
Они отличаются от кривой ®0 (х ) только изменением мас |
||||||
штаба вдоль осей. С увеличением о |
кривые распределения |
|||||
становятся более пологими. При а ф 0 кривая |
®(.г) сдвигается |
|||||
вдоль оси х вправо (при а > 0 ) |
или |
влево |
(при а < 0). |
На |
||
рис. 0.8 изображена кривая при а > 0 . |
Эта |
кривая распределе |
||||
ния симметрична относительно прямой х = |
а. |
|
|
|||
Для расчета вероятностей |
попадания |
случайной величи |
||||
ны X на интервал (хь х2) |
также используется функция |
Ф{/) |
||||
в следующем виде: |
|
|
|
|
|
|
Р(хх< Х < х 2) = Р |
^ ----- < |
X < |
Х2 — а |
|
||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0.33) |
|
21
где
4 х} — a |
t |
хг — а |
• |
|
П — |
-------О |
5 Г2 -- |
5 |
|
|
|
|
||
Кроме симметричных .распределений, существует множе ство несимметричных. Примером несимметричного распреде ления может служить распределение Релея:
|
С 0 |
|
при х |
О, |
|
ср(лг) = |
^ |
|
(0.34) |
|
I Схе |
|
при ж > 0 , |
|
где |
х |
так, |
чтобы |
выполнялось условие |
С1 = — (выбирается |
||||
|
G“ |
|
|
|
0.25).
Рис. 0.8
Кривая распределения приведена на рис. 0.9.
Расчет вероятностей и в этом случае производится с ис пользованием специальных, таблиц.
22
Функция распределения вероятностей, или интегральная функция распределения случайной величины
Выше мы уже встречались с этим понятием при рассмот рении видов законов распределения случайных величин. Те перь дадим ее определение. С математической точки зрения функцией (интегральной функцией) распределения случай ной величины X называется вероятность того, что величина X примет значение, меньшее некоторого числа х. Эту функцию обычно обозначают F(x) —P(X < х).
Рис. 0.9
Для дискретной случайной величины функция распреде ления равна сумме вероятностей всех ее значений (,vK< x ):
|
В Д = |
2 рк- |
(0.35) |
|
хк< х |
|
|
Например, |
|
|
|
хк |
1 |
2 |
3 |
Як |
0.8 |
0,16 |
0,04 |
F(x) |
0,8 |
0.96 |
1.00 |
Для непрерывной случайной величины |
|||
|
|
X |
|
|
F ( x ) = |
| |
(0. 36) |
|
— 00 |
|
|
23
ч
Например, для простейшего нормального распределения (0.26) функция F (.г) выражается через интеграл вероятностей
Ф (0 :
F(x) = ГФ0(ОЛ |
1 |
[Ф(х) - Ф( - аз)] = 1- [Ф(А') + 1]. (0.37) |
J |
z |
z |
— OG |
|
|
Из оп-ределвния F (х) следует, что она является возраста ющей функцией, изменяющейся от 0 до 1. График этой функ ции показан на рис. 0.10.
Из |
правила сложения вероятностей |
при х 1Х х 2 следует |
|
Р(Х < |
х2) = Р(Х < |
лу) + Р(хj < X < х2), |
но Р(Х < х2) = Р(хя) |
и Р(Х < х^) — F(x1). |
Поэтому вероятность попадания случай |
||
ной величины в интервал (хи х2) равна приращению инте гральной функции
P(xl< X < x 2) = F(x2) — F(x2). |
(0.38) |
24
Функции от случайных величин
Пусть I(х) — однозначно определенная функция на сово купности всех возможных значений х случайной величины X.
Под функцией / (х) случайной величины X понимают та кую случайную величину У, которая всякий раз принимает значение у =/(х). когда X принимает значение х.
Существует связь между законами распределения вероят
ностей случайных величин |
х и y —f(x). |
||
Случай, когда X — дискретная случайная величина |
|||
|
*1 |
Х 2 |
* 3 |
р |
P i |
Р 2 |
Р з |
Если в результате испытания случайная величина X при мет значение хь то случайная величина г/=/(х) примет значе
ние / (Xj), согласно определению |
функции. Однако вероят |
|
ность, например, события у = / ( х 2) |
может быть больше зна |
|
чения р2, события Х = х2, если среди |
значений / (xj |
встре |
тятся числа, равные /(х2). Ибо |
по правилу сложения вероят |
|
ностей в качестве вероятности |
события |
у = /(х 2) принимается |
вероятность, равная сумме всех Р и для |
которых числа /(xt) |
|
равны /(х2). |
|
|
Поэтому на практике для получения таблицы распреде ления у функции / (х) строят следующую вспомогательную таблицу //(=/ (Xj):
/ И х ) |
« X » ) |
P i |
Р з |
а затем объединяют одинаковые значения / (xt), складывая со ответствующие вероятности. Если во вспомогательной табли це все значения f(x{) различны, то она и будет готовой таб лицей функции y —f(x) дискретной случайной величины х.
25
Случай, когда X — непрерывная случайная величина
Будем считать, что функция f (х) непрерывна вместе с пер вой производной в интервале возможных значений х величи ны X.
Необходимо установить связь между плотностями рас пределения вероятностей у (х) и ф (у) случайных величин х и
у -/(■ *)•
Способ решения зависит от характера поведения функ ции / (х) в интервале (хи х2) : возрастает, убывает или колеб
лется.
Наиболее простые,решения получаются для монотонно возрастающей или убывающей функции. Д1тя определенно сти возьмем монотонно возрастающую (рис. 0.11) функцию в интервале (хь х2) .
I V
Для такой функции каждый интервал (хь х2) однозначно отображается на соответствующий интервал (уи у2) , и поэто му вероятности попадания случайных величин X и Y в соот ветственные интервалы равны. Если взять малые прираще
ния ДхцЛу.то получим малые соответственные |
интервалы |
||
(х, |
х+ Л х ); (у, у-\-\у), |
для которых будет иметь место равенст |
|
во |
дифференциалов |
(приращений) вероятностей: |
|
|
|
сs(x)dx = ’b(y)dy. |
(0.39) |
26
Откуда
|
Щ ) |
= Ф ) ^ - = 9 \ Я ( У )\ Ш , |
(0-40) |
|||
|
|
|
ау |
|
|
|
где х = ц(у) есть функция, обратная функции |
г/= /(л). |
|||||
Для монотонно убывающей функции будем имет отрица |
||||||
тельное значение йу. Поэтому |
|
|
|
|||
|
Цу) = -<?{g(y)]g'Uj) |
(0.41) |
||||
или для монотонной функции |
можно записать одну формулу |
|||||
|
,[ЛУ) = |
<p[g(#)]|g'(j/)l- |
(0.42) |
|||
Двумерные случайные величины и их функции |
||||||
Двумерной |
случайной |
величиной |
(A', Y) |
называют пару |
||
чисел, дающих |
точку |
(х, |
у) |
на плоскости, |
распределенную |
|
случайным образом. |
Распределение |
вероятностей задается |
||||
дифференциалом вероятностей |
|
|
|
|||
|
|
dPxy — <?{x,y)dxdy. |
(0-43) |
|||
Функция ?(*,«/) называется двумерной плотностью рас пределения вероятностей. Вероятность попадания точки (X,Y) в некоторую область (D) определится двойным ин тегралом по этой области:
P[{X.Y) i(D)\ = f f v(x,y) dxdy. |
(0.44) |
(D) |
|
Плотность cp (x,y) может выражаться любой неотрицатель ной функцией, удовлетворяющей условию
ОО. |
|
И v(*-,y)dxdy = 1. |
(0.45) |
27
Координаты X,Y двумерной случайной величины являют ся одномерными случайными 'величинами с плотностями рас пределения J(x) и f(y), связанными с двумерной функцией плотности распределения формулами:
*
f(x) = |
I |
v(x,y)dy, |
(0.46) |
— CO |
|
|
|
|
ОО |
|
|
/(;/) = |
j f{x,y)dx. |
(0.47) |
|
—ОО |
|
|
|
Случайные величины X и |
У независимы, если выполняют |
||
ся условия: |
|
|
|
dpKy = <р(x,y)dxdy = f { x) dxf ( y) dy |
(0.48) |
||
или |
|
|
|
9 (x,y) = |
f{x)f(y). |
(0.49) |
|
Числовые характеристики распределений
,случайных величин
Числовыми характеристиками распределений случайных величин являются математическое ожидание и дисперсия случайной величины.
Математическое ожидание, |
или среднее |
ожидаемое зна |
чение случайной величины определяется по формулам: |
||
|
П |
|
М(х) = |
2 X; Pi |
(0.50) |
|
i—Г |
|
для дискретной случайной величины и |
|
|
|
со |
|
М(х) = |
| х ф (*) dx |
(0.51) |
_ С С
для непрерывной случайной величины.
28
Математические ожидания функций 'от дискретных и не прерывных случайных величин соответственно определяются по формулам:
М[Нх)] |
= |
'Snxi) Pi, |
(0.52) |
|
|
|
|
Xi |
|
00 |
|
оо |
(0.53) |
|
M \f(x)\ ^ |
I t(x)<?(x)dx= §yb(y)dy . |
|||
— |
0 0 |
|
— ОО |
|
Для двумерных случайных величин |
|
|||
|
|
|
|
<0.54) |
|
|
U |
|
|
|
|
00 |
|
|
M\f{*,U)\ = |
j j |
f{x,y)<p(x,y)dxdy. |
(0.55) |
|
|
|
— СО |
|
|
Дисперсии случайных величин характеризуют рассеивание значений случайных величин относительно их математи ческих ожиданий и определяются для дискретных и непре рывных случайных величин соответственно по формулам:
зг(*) |
= |
2[ ('vi — а У Pi> |
(0.56) |
|
|||
|
|
00 |
|
з2 (*) |
= |
1* (х—а)2 <р(х) dx. |
(0.57) |
—Q0
Для двумерных случайных (величин
А х -.у) |
a)(Ui — Ь)р -Ф |
(0.58) |
|
i,i |
|
оо |
|
|
° 2(х,у) = § j ( x — a)(y — b)<?(x, у) dxdy. |
(0.59) |
|
— СО
29
Г Л А В А 1
БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
1.1.Общие сведения о биномиальном распределении
иего приложениях
Биномиальное распределение широко используют при решении различных задач, связанных с распределением дис кретных случайных величин, например, при вычислении ве роятностей комбинаций возможностей осуществления требу емого результата, а также распределения числа сбитых це лей и т. д.
Как известно из теории вероятностей, случайной величи ной называется величина, которая п.ри осуществлении опыта (проведении измерения) может принять любое, заранее не известное значение. Случайная величина дискретного типа может принимать только отдельные, изолированные значе ния.
Примерами дискретной случайной величины в приложе нии к стрельбе могут служить:
—число пораженных целей при обстреле групповой цели;
—число осколков, попадающих в самолет при подрыве боевой части ракеты;
—число пусков ракет, необходимых для поражения цели,
идр.
30