Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Определенные и неопределенные интегралы учебное пособие для студентов Н. А. Фролов Министерство высшего и среднего специального образования РСФСР, Московский ордена Ленина энергетический институт. 1960- 4 Мб

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.10.2023

Размер:

4.16 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1413 14 > Следующая >>>

Из второй формулы (X') следует:

у ds = yl.

Умножив обе части этого равенства на 2л,	получим:
i
2п Jyds = 2яу/,
о
ИЛИ
S = I-2лу,	(XI)

где S есть площадь поверхности, образуемой вращением кри

вой АВ вокруг оси ох. В правой части 2п,у равняется длине

окружности, описываемой точкой С(х, у) при вращении во круг оси ох.

Отсюда видно, что формула (XI) служит доказательством

следующей теоремы.

Теорема Гульдена. Площадь поверхности, образуемой вра щением плоской кривой вокруг не пересекающей ее оси, ле


жащей в плоскости кривой, равна про-				xz"‘	X
взведению	длины	данной кривой на
длину окружности, описываемой при				X С"	\
вращении кривой ее центром тяжести.				/	\
Пример. Найти			центр тяжести	I----------- ----------- J
однородной	массы,	распространенной		О	37.
вдоль полуокружности			радиуса г.	ЧеРт-

Решение. Искомый центр тяже

сти С, очевидно, находится на радиусе, перпендикулярном к диаметру полуокружности (черт. 37). Если h—расстояние от центра полуокружности до центра тяжести, то по теореме Гульдена

лг • 2лЛ — *4яг

(пг—длина данной полуокружности, а 4 *«г — площадь по верхности шара, образуемой вращением этой полуокруж ности вокруг диаметра).

Следовательно,

119

Упражнения

56. Найти центр тяжести однородной массы, распростра

ненной: ~ а) вдоль дуги гипоциклоиды

3	L	2
3	з	з

— а

расположенной над осью ох;

б) вдоль 1-й четверти окружности

х=а cos t, у—a sin t.

ГЛАВА V

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

1. Интегралы с бесконечными пределами

Понятие определенного интеграла связано с функцией, рас сматриваемой на некотором отрезке.

Таким образом,		область интегрирования, являясь отрез
ком, всегда ограничена.
Однако часто приходится иметь дело с функциями в неог
раниченных	областях:		в	бесконечных	полуинтервалах вида
[а, +<») или (—оо,		/>]	и в	бесконечном интервале (—оо,-фоо).
Поэтому	понятие		определенного		интеграла	следует

распространить и на случаи неограниченных областей интег

рирования.	Но для этого		нужны новые определения,				точно
устанавливающие, что понимать под
	+оо		b		+оо
	J f(x)dx,	^f(x)dx и			^f(x)dx.
	а	—оо			—оо
Пусть функция f(x)		определена и			непрерывна	в	облас-
ти х > а.	ь		при	b -+4~°° имеет		конечный
ти х > а.	Если J f(x) dx		при	b -+4~°° имеет		конечный
	а
предел, то этот предел и			будем	понимать под интегралом
+оо
J f (х) dx.
а
Таким образом, по определению
	+00			b
	f f(x) dx=lim С/ (х) dx.
	J		**+ooJ	a
	a			a

121

	-i-oo						существует,		или, как
Если	J f(x) dx в этом смысле						существует,		или, как
говорят,	а
говорят,	сходится, то его называют несобственным интегралом,
Если при				ь
Если при		интеграл j			f(x) dx не			имеет	конечного
	*4оо			а
предела,	*4оо		имеет			смысла.		В этом случае
предела,	то J /(х) dx не		имеет			смысла.		В этом случае
	а
говорят,	4оо*
говорят,	что J f (х) dx расходится,
	а
Аналогично		определяется				несобственный			интеграл
		ь				ь
		j /(х) «Zx=lim				f (х) dx.
		J		а->—оо J		а
		—оо				а
Наконец, по определению, полагают
	+оо с			+оо
	J f(x) dx =			f(x)dx± J f (				x) dx.
	—00		—00				с
где с — любое число.
Это же означает, что
		+00				b
		f f(x) dx=[im Cf (х) dx.
		J		i->+oo J
		—oo		a-» —oo a
						+0O
В качестве примера рассмотрим I							—,	где a>0.
						J	X
По определению						а
По определению						b
		+оо				b
		С dx				frfx
		J Xе		Zj-»+ooJ Xs
		a				a
Пусть a =# 1.		Тогда				,
	b	,		b		,	____,al—*
	Гdx _ ■?—			I			____,al—*
	J x“ “ 1 - a					1 - a	1 -— a
	a			0

122

Поэтому, если а> 1,				то	,
..	ь			..	,	а1	“	а1	0
..	Cdx			..	b1 "	а1	“	а1	0
lim	I	—	= hm		-------------------=-------
+	а	х	ft->+ool—а			1—а		а — 1
если же а<Г 1,	то				ь
				1-	ь
				1-	Cdx
				11Ш	I— = ао.
				&-»+ooJ X
Пусть а = 1.		Тогда			а
Пусть а = 1.		Тогда
		b		b ь
										ь
откуда видно,	что		и	в этом случае			интеграл			Cdx
откуда видно,	что		и	в этом случае			интеграл			-а- стремит-
ся к бесконечности,				когда /?->4-оо.						а
ся к бесконечности,				когда /?->4-оо.					+оо
									+оо
Следовательно,			несобственный интеграл						(	dx	сущест-
Следовательно,			несобственный интеграл						I	-1—	сущест-
									J
вует, если а >> 1, причем					в этом случае				а
вует, если а >> 1, причем					в этом случае
				+<ю ■	.
				Г dx_ _ а‘~а
				J Ха ~«-1		’
				а
.			+ 00
.		то	f dx
если же а< 1,		то	I	— расходится.

Эти результаты имеют простой геометрический смысл. Рассмотрим область D, которая слева ограничена прямой


х—а, снизу — осью ох, а			сверху — кривой у— —				(черт. 38).
Вправо эта область простирается без конца.
Условимся, что		вполне естественно, под					площадью
всей .бесконечной области D				понимать		предел	площади
конечной ее части до			прямой х — b		при		что	Тогда
полученные выше результаты				будут	означать,			если
область D	сверху	ограничена		кривой,		соответствующей
а>1 [расположенной справа				от 7И(1,1)		под гиперболой
у — — ],	то область D		имеет	конечную		площадь,		если

123

же верхняя граница области D есть гипербола у —— или

кривая, соответствующая а <’1 [расположенная справа от

Л1(1,1) над гиперболой у — —j, то область D бесконеч

ной площади.

2. Абсолютно сходящиеся интегралы

Пусть функция f(x) определена и непрерывна в облас ти х > а.

	+со
Интеграл j f (х) dx называется			абсолютно сходящимся
	а	+ оо
	сходится
если		интеграл J \|f(x)\| dx.
		а
Это определение учитывает тот			факт, что из	сходимос-
ти	интеграла	+СО		интеграла
		J [ f(x)\ dx вытекает сходимость и

+оо

J /(х) dx.

124

В самом деле, пусть существует I \f(x)\dx — К.

Так как

- |/(х)| < f(x) < |f(x)|,

то,

0<f(x) + l/(x)| < 2|f(x)|.

Отсюда следует, что интеграл j [f (х) 4~ )I/G*	I ] dx при
а

Ь-у-\-оо возрастает, как интеграл от неотрицательной функции, и ограничен сверху, так как

	J[/(x)4- lf()l]*		dx< 2j\|f (x)\|rfx<2 j \f(x)\dx =»2K-
	a			a		a
					b
Поэтому при b -►4-00 интеграл j [/(x) 4- \| f (x) \| ] dx								имеет
конечный предел.			Но		a
конечный предел.			Но
		f(x) = [/(X) 4-1			ftx) I	] — I *K)	I
					b
и, следовательно,			интеграл		(x) dx при		d->4-°°	также
					a	+oo
				то	есть	+oo
имеет	конечный		предел,	то	есть	j /(х) dx сходится.
						а
Аналогичным образом определяется абсолютная								сходи-
мость			Ь		+00
мость	интегралов j f (х) dx и J f (х) dx.
			—00		—со
Пример,		рассмотренный		в	предыдущем параграфе, поз
воляет	нам	сформулировать следующий признак абсолютной

сходимости интеграла

4-о°

j f (х) dx.

125

Пусть функция /(х) определена			и непрерывна		в области
х> а. Если существует такое а>1,			что	для всех достаточно
больших х
					(1)
				4-оо
где М не зависит от х,		то интеграл		J f (х) dx сходиЛся
абсолютно.				а
абсолютно.
В самом деле, пусть		условие (1)	выполнено		для всех
ь	f(x)\dx, возрастающий при Ь-►-(-<х> ,				ограничен
x>atyO. J\|	f(x)\dx, возрастающий при Ь-►-(-<х> ,				ограничен
а,	как
сверху, так	как

и поэтому при &-+-+00			он имеет конечный предел.		Отсю-
да следует, что			ь	равный	сумме
да следует, что		интеграл J \|f (x)\dx,		равный	сумме
а,	b		а
а,	b			имеет конечный
Jl	+Jl f(x) \dx, при d->-{-co также			имеет конечный
a	а,	+oo
предел, то есть		+oo
предел, то есть		J \f(x)\dx сходится.
		а
	Пример, рассмотренный в предыдущем параграфе, позво
ляет нам сформулировать и признак расходимости
			+00
			J f (х) dx .
			а
	Если для всех достаточно больших х
		fW > X ,			(2)
	М > 0 не зависит		+оо
где	М > 0 не зависит		от х, то j /(х) dx расходится.

126

В самом деле, пусть	условие (2)			выполнено			для	всех
Х> О4>0.
Тогда
ь			ь
Jf (х) dx > М				.
От			а{
Но		ь
		ь
lim			ия-f-oo.
+ooJZ>* -		X
		а,
			h			вместе с
Поэтому при д->-\|-оо	интеграл J/(x)rfx,				а	вместе с		ним
b			О,			+оо
b						+оо	J f (х) dx
и р (л) dx не имеет конечного предела,					то есть		J f (х) dx
а						а
расходится.
3. Интегралы от неограниченных функций
Выше было доказано,		что	необходимым			условием		суще-
ft			является ограниченность					функ-
ствования интеграла аf f	(x)dx		является ограниченность					функ-
ции /(х) на отрезке [а,	Ь].	Однако при помощи новых опреде

лений понятие интеграла распространяется и на такие случаи,

когда подынтегральная функция оказывается неограниченной на отрезке интеграции.

Эти определения следующие.

Пусть функция f(x) непрерывна в полуинтервале				[а, д]
и неограничена в	интервале	(Ь — г, Ь), где е>0 как уГОД-
но мало. Если	ft—е
но мало. Если	интеграл	^f(x)dx при е->0 имеет		ко-
	а
нечный предел, то по определению полагают
*	f (х) dx ■— lim		ft—s
	f (х) dx ■— lim		f f (x) dx.
a		«—>o	J
a			a

127

Если	b	этом	смысле существует, или,				как
Если	Jf (x) dx в	этом	смысле существует, или,				как
	а
говорят, сходится, то его			называют несобственным				ин
тегралом.			Ь—Е
Если	при s -> 0		Ь—Е			конечно-
Если	при s -> 0	интеграл		J/(x)dx не	имеет	конечно-
	b			а
	b
го предела, Tojf(x)dx не			имеет смысла.		В этом	случае
	а
	b
говорят, что J/ (х) dx расходится,
	а
Аналогично определяется несобственный интеграл
	ь			ь.
	I f (х) dx = lim			f (х) dx,
	J		«-»o	J
	a			a-f-s

когда функция f(x) непрерывна в полуинтеграле (а, b] и не-

ограничена в интервале	(a, a-J-e).						Ь) и
Если функция f (х)	непрерывна				в	интервале (а,	Ь) и
неограничена в интервалах (a, a -f- г') и (b—s", b), то							'по
лагают
bob						dx,
J/(x) dx=		(x) dx-j-)*(•				dx,
a		a			c
где c — любая точка интервала (a,					b).
Это же означает, что
ь			b —e'
\ f (х) dx ==■ iim			J		dx.
J		s'-0	J
a		»"-»0	a+s"
Пример. Вычислить несобственный интеграл
	('dx		.	n
	l	—, a	>	0.
	0

128

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1413 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ