книги из ГПНТБ / Определенные и неопределенные интегралы учебное пособие для студентов Н. А. Фролов Министерство высшего и среднего специального образования РСФСР, Московский ордена Ленина энергетический институт. 1960- 4 Мб

или

(3)

(Ра + *р) ' *

Пример 4. Найти радиус кривизны спирали Архимеда

р = аО

в любой точке. Решение.

р' — а, Р" = 0.

Воспользовавшись формулой (3), получим кривизну дан­

ной кривой в произвольной точке:

Следовательно, радиус кривизны спирали Архимеда в

любой точке выражается формулойз

D__ (Р2 +Д2) 2 ,

Р2 + 2«2

Чтобы отметить практическое значение понятия кривизны, укажем, что изменение кривизны кривой приходится учиты­ вать, например, при прокладке железных дорог.

Дело здесь в том, что при движении поезда по криволиней­

ному пути возникает центробежная сила, причем большая для тяжелого состава, идущего со значительной скоростью. По­ этому, когда железнодорожная линия должна на одном участ­

ке идти по прямой, а на другом — искривляться, чтобы из­ менить свое направление, тогда эти два участка должны быть соединены переходной кривой, имеющей нулевую кривизну в точке стыка с прямолинейным участком пути и кривизну кри­ волинейного участка в точке стыка с этим участком.

Если бы прямолинейный участок сразу переходил, напри­ мер, в дугу окружности, то в точке стыка этих участков центро­ бежная сила возникала бы мгновенно, создавая сильный тол­ чок, опасный для поезда и вредный для пути.

В качестве переходных кривых удобны дуги кубических па­ рабол (см. пример 2),

109

УПРАЖНЕНИЯ

50. Переходная кривая на железнодорожной линии имеет форму кубической параболы

бу = х\

С какой скоростью вагон на этом участке пути изменяет свое направление, когда он проходит через точки А ^2, -y'j и

/i \

В11, -g-1 ? (За единицу длины принять километр).

51.Найти радиус кривизны гипоциклоиды

х •=« a cos’ t, у = а sin’t

в точке, где t = — .

4

52.Найти кривизну кардиоиды

р= а(1 — cos 6)

влюбой точке.

6. Площадь поверхности вращения

Рассмотрим спрямляемую кривую АВ, расположенную над осью ох (черт. 34).

[0, /].

Если данную кривую вращать вокруг оси ох, то получится некоторая поверхность, называемая поверхностью вращения.

Чтобы определить площадь поверхности вращения кривой АВ, поступаем следующим образом.

110

Разобьем отрезок [о, I] на части точками

О = s0 < s, <. . . < s„ < . . . <sn = I.

Обозначая через Мк точку кривой, соответствующую

s = sk, мы получим разбиение кривой АВ на элементарные дуги Mk Mt+i .

му (учитывая, что площадь боковой поверхности усеченного конуса равняется произведению полусуммы длин окружностей

Поэтому

Л—1

5=2 к Um Sy(^)ds,.

Л-0

111

Я—1

Сумма есть интегральная сумма для непре-

k-0

рывной функции y(s) на отрезке [О, ZJ. Поэтому

Следовательно, площадь S поверхности, образуемой враще­ нием вокруг оси ох кривой АВ, выражается формулой

i

Формулу (IX) здесь мы получили, исходя из интуитивного

представления о площади поверхности вращения. При строгом выводе этой формулы исходят из определения площади

поверхности вращения кривой как предела площади вращения вписанной в кривую ломаной.

Соединяя последовательно точки деления кривой хордами

(А“0, 1........... л—1), образуем вписанную в кривую АВ ломаную.

Если вращать вокруг оси ох вместе с кривой АВ и построенную ло­ маную, то получится поверхность, площадь которой можно вычислить по правилам элементарной геометрии, так как она состоит из боковых поверхностей усеченных конусов, образуемых вращением звеньев лома­

112

нием вокруг оси ох спрямляемой кривой, есть предел площади поверхно­ сти, образуемой вращением вокруг оси ох ломаной, вписанной в дан­ ную кривую, когда длина наибольшей из дуг, соответствующих звеньям ломаной, стремится к нулю, причем

или в общей параметрической форме

х = ^(Z), у == ф(^), tQ < t < Т,

прерывными на соответствующих отрезках, из формулы (IX)

получим:

о

Из уравнения окружности находим:

откуда

114

Следовательно,

Гг

■S =а.4тсгj dx ~ 4кгх I == 4№.

оо

Пр им е р 2. Найти площадь поверхности, полученной вра­ щением вокруг оси оу дуги параболы

4у = Xs

от вершины до точки М (2|/ 3, 3) (черт. 36).

Решение. Искомая площадь S выразится формулой з__________

о1

Из уравнения параболы находим:

2х — — 4, — = — ,

откуда

УПРАЖНЕНИЯ

53. Найти площадь поверхности тора, производимого вра­ щением круга

х’ -{-(у—(Ь > а)

вокруг оси ох.

54. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси ох одной ветви циклоиды

вокруг полярной оси.

7. Центр тяжести

Многие приложения определенных интегралов в механике основаны на следующем подходе к решению задач.

Пусть та или иная задача механики решена для системы

конечного числа материальных точек, а требуется решить по­ добную же задачу для сплошной массы, например тела. Тогда данную массу разбивают на части; рассматривают эти части

как материальные точки и применяют правило решения задачи для конечной системы точек; затем переходят к пределу, раз­ бивая данную массу на все более и более мелкие части. Это обычно приводит к интегралам, которые и выражают реше­ ние данной задачи.

Рассмотрим задачу об отыскании центра тяжести массы.

Если на плоскости хоу в точках У1). М2(хг, у2), ■ ■ , М„(х„, уя)

сосредоточены массы соответственно

тх, т3, . . . , тп,

то центр тяжести—точка С(х, у) — всей массы

т ■= тх т2 -j- • • • -|- т.п

данной системы материальных точек определяется формулами:

А —1

Пусть требуется найти центр тяжести массы, распростра­ ненной вдоль спрямляемой кривой АВ

X= a(s),

У= У(5)>

116

где s—длина дуги, отсчитываемая от точки А, и x(s) и y(s)

непрерывны, когда s изменяется от 0 до числа I, равного длине кривой АВ.

Для решения этой задачи поступаем следующим образом. Разобьем отрезок [о, I] на части точками

s — sk, мы получим разбиение кривой АВ на элементарные дуги Mk Mk+\. Массу дуги Mk Alk+i обозначим через ДтА. Длина дуги Mk Mk+i равна Asa = s*+i — sk. Наибольшее из

обозначим через As.

Массу bmk будем считать сосредоточенной в точке Мк. Тогда мы получим систему п материальных .точек

Мй, Mt> . . . , Мк, . . . , Mn-t

с массами соответственно

Эти же числа мы можем принять за приближенные значения

координат центра тяжести массы кривой АВ, причем, тем бо­

117

ц можно вынести за знак интеграла и сократить. Следователь­

но, в этом случае

i $xds

j’ ds

о

или

j'48

118