книги из ГПНТБ / Штагер В.В. Чебышевские приближения, применяемые в расчетах электрических схем

I

17= 2

I

I

Т а б л и ц а 12.1

1

1

% =

1

1

п

—7. sn

/я — 2v \

L

k

РV

— х sn I

* )

Xh

L

'

D- I

\ П

Pi

Рt

Р3

Р Г 1

1 Р~ 1

xh

*'2

| %

V

| V

V

1 *2

1 3

1

0,95

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

0,95

1,05

2

0,95

0,79

—

—

1,27

—

—

0

—

—

оо

—

—

0,62

1,60

3

0,95

0,89

—

1,12

—

—

0,95

0,61

—

1,05

1,64

—

0,35

2,90

4

0,95

0,92

0,49

—

1,09

2,04

—

0,75

0

—

1,33

ОО

—

0,20

5,0

5

0,95

0,93

0,70

—

1,07

1,43

—

0,85

0,40

—

1,18

2,50

—

0,11

8,9

6.

0,95 0,93 0,79 0,37 1,07 1,27 2,70 0,89 0,61

0*

1,12

1,64

ОО

0,075

13,3

2

(2ч- 1 ) Я X2

L — ■/.'■J”J sn2

(12.40)

v=l

п

Значения функции sn (и, х2)

могут быть взяты из кривых, при­

13. ЧЕТВЁРТАЯ ЗАДАЧА ЗОЛОТАРЁВА

Найти рациональную дробь

У = ? (*)

(13.1)

+ W ’

числитель

и

знаменатель которой

представляют

собой полиномы

степени п

и

которая в промежутке

1

наименее

укло­

няется от—

1,

а в промежутке

наименее уклоняется от

1,

если k удовлетворяет условию 0 <

k < 1.

Функция, к которой должна приближаться дробь у, условно

может быть записана в виде

при х <

— 1

О,

(13.2)

sign X =

при х >

0.

+ 1

Найти

рациональную дробь:

/(О

z =

(13.3)

g (0

которая в

промежутке [—

1,

-г

1] наименее уклоняется от нуля,а

в промежутке

,

1

1

(включающем бесконечность), удовлет­

вореннеравенству

|z [ >

1,

если

0 <

/. <

1.

Для

приведения

этой

задачи к

четвёртой задаче

Золотарёва

следует

ввести

преобразование

at -j- b

(13.4)

ct ■

положив

a = -

V %

ь =

-

(1 +

c =

\ /% —

x,

(13.5)

При этом

d

— У*.

1

1

(13.6)

1

у' X

+

1

и'промежуток

(—

1,

-•

1]

переменного t

переходит

в

промежуток

— V *

<

х

1.

Если

теперь положить

i — / х

k

=

(13.7)

1+ V 1 !

то промежуток

[—

1,

г-

11 переменного t

переходит

в промежуток

- — , —

11 переменного х,

т. е. первый промежуток задачи В пере-

1

- 1 .

1,

1

за-

— ,

-------- также переходит во второй промежуток

X

7.

j

дачи А.

Допустим,

что мы имеем решение задачи В

z = /о (О

(13.8)

go (О

Тогда

f0 (t) — полином степени

п и

min|z| =

1.

(13.9)

5 — В. В. ШТАГЕР

65

Пусть

т < 1.

max|z| =

(13.10)

[-ь

+i]

Рассмотрим функцию

У =

1 — т

z— i / m

(13.11)

----------------->

1 + т

z+ • / т

и подставив вместо г отношение (13.3),

получим

_____ _

f (0 — е (0

У — " i i

----------------— >

}(t) +

g(i)Vm .

где т и Шх— постоянные, a

f (t)

и

g (t) — полиномы степени п.

Таким образом, выражение (13.11) есть

рациональная дробь степени

У т

1 =

2(z + т

у / п

1

(l+ m)(z+ Ут)

и в промежутке

, где соблюдается условие (13.10),

k , - 1

шах

IУ +

2 т + 2 т

У

т

2 У

т

(13.12)

(1

У

т

)

1 + т

[ - Т - ]

Во втором промежутке

выполняется

условие (13.9) и, с

другой стороны,

k

|у _ _ } | _

(1 — т ) ( г -

2

У т

g-)i- z У т )

(1 + т ) ( г+ У т )

( I - \ - т ) ( г ~ \ - У т )

Поскольку здесь |z |>

1,

множитель

1-1- г / т

увеличивается

— 1------ = —

z

-\~

У т

шах |у — 1

2 У т

(13.13)

14- т

— 1 уклоняется о т — 1 на величину,

не превышающую

.,и во

втором промежутке ~Ь 1>

её

уклонение от

+

1 не превыша­

ет той же величины -2- ~ - .

Таким

образом,

уклонение функции у,

1+ т

определяемой

выражением

(13.11),

от

функции

sig n *

составляет

!» =

•

(13.14)

Величина

т находится

в

пределах

0 <

т <

1,

при

которых у

есть монотонно возрастающая

функция от т. Следовательно, зада­

Таким образом, с помощью

преобразования (13.4) и (13.5), имея

решение

задачи В

(13.8) или

решение третьей задачи Золотарёна,

можно,

используя

выражение

(13.11), получить решение задачи А

или решение четвёртой задачи

ЗолотарёЕа. Очевидно, что получен­

применения

ф-л (13.4)

и (13.5),

не

изменяет числа узлов в ре­

шении задачи, очевидно,

что при

том

же значении п этот способ

обеспечивает сохранение наилучшего приближения.

Решение

четвёртой задачи ЗолотарёЕа имеет вид

5*

67

У

Ф ( х )

(14.1)

где Ф(х)

и Ф (х) — полиномы степени п,

найти ту, которая в проме­

жутке

1,

—

(0 <

/г <

Г) наименее уклоняется от единицы.

L

&2

речь

идёт

о

наилучшем

приближении функции

Таким образом,

у х посредством

рациональной дроби —— , степень числителя и зна-

менателя которой равны п.

4 (*)

1,

2^

Подстановкой х =

г3 промежуток

преобразуется в два

/г2

промежутка

-

-

5 ' 1 ,

- i - 1

При

этом

■ т

1_

k

У =

г Ф (г2)

''

(14.2)

а величина уклонения

Ф (г2)

max

\

- у *

т

H J

Ф м

приводится

к величине

z Ф(г2

шах

Sing 2

(14.3)

М -.1' Ы

Ф (г2)

Н

Таким

образом,

подстановка

х = г2 приводит рассматриваемую

задачу к задаче А,

разобранной

выше.

Решение этой задачи Чебы­

шева в параметрической

форме имеет вид

X =

sn2(и,

k)

(14.4)

У =

(14.5)

и sn i — ,

/.) имеют место соотношения:

\м

)

к

и =

К'

(14.6)

м

(2п + 1)М

п 1

sn2(и, k)

Y =

2\ sn (и, k) пт

(14.7)

1+ А

М

* * _

sn2(и, k) ’

v=l 1

где

С =

2n + 1

K'.k'

K'.k'

2n + 1

или

21

_

n 1+ -p.—

Y

=

л

п -

4

(14.8)

1 + к

M

■i i +, '2v-l

Посмотрим, как изменяется разность

1— Y, если

х

пробегает

промежуток 1,

k2

Пусть

и = К +

in.

(14.9)

Тогда, применяя формулу для соотношения между эллиптичес­

кими функциями Якоби [Л2],

sn (К Я- in, k) =

сп (i и, k)

1

получим

dn (i v, k)

dn (v, k')

l

x =

sn2(К + in, k)

(14.10)

dn2 (v, k')

Когда v увеличивается от 0 до К',

функция dn2 (и, k') убывает

от 1 до 1— k12= /г2,

а следовательно,

х

возрастает

от

1 до — •

k2

Это

и есть интересующий нас промежуток изменения х. Посмотрим,

какие значения принимает при

этом разность (1 — Y).

Из выраже­

ний

(14.5) и (14.9) следует

1 — К = 1—

2/, -sn

(14.11)

1+Х ~

или, учитывая (14.10) и полагая

— '=

до,

М

1— Y = 1 -

2Х

1

(14.12)

1 +

X

dn (w, 7,')

При увеличении и от 0 д о

К',

до возрастает от 0 до (2п + 1)L',

а значение функции dn (до, а')

колеблется

между 1 и | / 1 — а12 = X.

В

точках

до = 0, L', 2L',

. . ■2nL',

(2п + 1) L'

функция dn(w, )/) принимает значения

•1,

X,

1,

,

а

разность 1 — Y принимает

при этом

значения

1 — X

_

1 — X

1 4- X ’

1 4 - х ’ ' ' '

х0•= 1, хг =

%2

промежутка j^l ,

.