книги из ГПНТБ / Штагер В.В. Чебышевские приближения, применяемые в расчетах электрических схем

—

1-

sn3 и

/

— i

\

2

sn*

« )

sn( i + * - 0 - n .

( —

(11.59)

2v_ 1

\

= 1 1 — k1 sn3 ^ --------- K j sn3 и

для четных

п и

sn3 и

п -1

!— .

sn ( — , хЛ =

2

SIT

FI

е

л

(11.60)

\м

)

м 11

/(^ sn3 и

I — k3 sn3 ^ —

для нечетных п, где

2

у\ = £"FIsn2(

„

к)*

(П.61)

"

/ 2 v —

1 \

2

sn3(

К)

м =

. . . .

.

■

(11.62)

п

причём

в

формулах

(11.61)

и (11.62) при

нечётных п

следует

вместо

- у

брать

• Соотношение между

периодами

функции

(11.58)

или (11.60)

и функции sn (и, k) следующее:

К (>-) = ^

=

пМ

(11.63)

л ’

п!Л

К' (> )

= ^м

К

(11.64)

м

4*

51

Найти рациональную

дробь

у = Ро*П-Г Pi*" ~ 1+ •■• + Рп _

( 12. 1)

+

Ях3^1~~' + •••+<?/!

xim + Plx2m- 2 + .

+ Рт

( 12.2)

Я0 х 1т +

• ■ ■+ Я т

или

х (х * т+р, х2т ~ 2 + . ■. + Р-,)

(12.3)

Яох‘гт "Ь

• •• ~\~Ят.

X2

и которые приводятся к виду

П

У = п

(12.4)

для чётных п

или

п—1

(12.5)

для нечетных

п.

заменить х

на х~ 1,

Если в выражениях (12.4) и (12.5)

то вме­

сто функции у будем иметь у~х .

Раскрывая

знак

произведения,

т. е. производя перемножения, после

приведения

подобных

членов

мы придём к выражениям вида (12.2)

и (12.3)

в виде (12.4)

Таким образом, решение задачи следует

искать

( y - l ) ( y + L) = ( ^ - Z * ) = 0,

(12.6)

( y - L - )

(у + £ Г ,) = (у‘ - 1 Г 2)=

0

(12.7)

должно иметь двойные

корни, а на границах

промежутка при

-

с ( ' - f ) 0 + f ) 0 - 4 ) ( ' + f

) (!)'•

<12-8>

где С — постоянная величина.

Произведение в левой части

ур-ния

(12.8)

имеет 2п — 2 двойных

нуля

в обоих

промежутках,

при

которых обращается в нуль

,

и четыре

простых нуля,

при

Путём подстановки

z = X

X

7]

У_

( 12. 10)

=

L

ур-ние (12.9) приводится к

виду

(t,2L2 — L2) (т,2 L\~ L~ 2) = С (z2 х2 — у?) (z3 х2 — х~:2) ~ d- ^

или

________ Mdi\.

dz

12. 11)

} (1 — т*)(1 —

~~

,/

(

’ d z

=

№

) .

( 12. 12)

( 1 - * 2)(1

X4 г2)

Выражение (12.12)

представляет собой полный эллиптический ин­

теграл первого рода для модуля х2.

от 0 до

1 следует

инте­

При интегрировании по z в пределах

грировать левую

часть ур-ния (12.11)

в

пределах от

— 1

до

+ 1 ,

причём если

п — чётное число, то

т) йзменяется

от

— 1

до

+

1 и

от -f- 1

до

— 1

в этом промежутке

раз.

При

нечётном п это

число

равно

.

Тогда

— М Г

dr>

пМ

d f \

пМК{12)-

V

(1 -т 2)(1 -^ д 2)

2

^

( i - V ) ( i - £ « V )

(12.13)

4)

В случае чётного п

при

z = 0 у — l \

.

.

. Р

\

=

L ,

т|=

-J- 1,

следо-

d т]

Т

вательно

а в

случае

нечётного

п при

z =

0,

у

= 0

и

т) =

0, следова-

< 0,

d z

тельно,

dJL >

0.

d z

К (у-2) =

пМК(Р),

(12.14)

или

к

т

=

пМ

(12.15)

/

где К {у2)

и К (L2) — полные эллиптические интегралы первого

рода

для модулей х2 и L2.

Н о 4 К, (v) есть период эллиптической функции

Яксби

sn (и, v),

поэтому соотношение

(12.15)

можно рассматривать как соотноше­

ние между периодами двух эллиптических функций Якоби

sn(u, *2)

-■и sn (и, L2).

вторыми перио­

Для того чтобы получить соотношение между

дами (мнимыми) этих функций, следует проинтегрировать правую

часть ур-ния (12.11) в пределах

изменения г

от

1

до

х“ 2.

При

этом

функция

т] изменяется

монотонно

от

ц =

- f 1

до

*») =

-f- L” 2

или от 7j = — 1

до

Tj= — 1Г2 • Тогда

при интегрирова­

нии получаем:

х

‘

dz

= К ' ( Л

(12.16)

У

(1 — г 2) (1

— х 4 г 2)

—2

1

Md т)

= MK'(L%

(12.17)

у (1-T]2)(1 _ L

' - f )

следовательно,

К' (v.2) = МК' (L2)

(12.18)

или

"(Т2\ _

М

(12.19)

у

П

(2 v — 1)К (у-2)

М =

7 sn2

,X2J

п

(12.23).

2 7 К (х 2)

. sir

С2„ =sn*

2 v/C (x«)

, 2

(12.24) :

«

*•

n

( 2 v - l ) / C ( x 2)

•

(12.25)

C2v- , = ЗП2

n

> *

получим

x =

x sn (и, xa),

y Lr‘

П 2 C^-> X П ' 1 -

X2 C,2v— 1

X 2 C2,_, *2

v=l

*-l

Значения sn (и, у)

для разных у.2 при изменении и в пределах

•от 0 до

К [вместо К (у-2) можно для простоты писать К] приведены

на рис.

12.1. Из этих

кривых видно, что большим значениям v

будем производить нумерацию параметров Рчот х =

у влево (в сто­

рону

начала

координат), а

нумерацию параметров

Р у1 вправо

от

х = у - 1

(в сторону -fe e ).

Тогда в ф-лу

(12.30)

вместо v сле­

дует

поставить

1,

а в ф-ле (12.31)

v

заменить на ^—

5—

— v +

1.

^

2

Тогда как для чётных, так и для

нечётных значений п

справедлива формула

Р v

у sn

п — 2ч + 1

.2

(12.33)

п

причём

при чётных п ч — 1, 2

при

нечетных

п

v = 1,

2 .

. . —

.

Z = F (и)

(рис. 11.5.) видно, что этими точками являются

точки

u=2vW1=

2ч К при чётных п и и — 2vQ1- f Qx :

2v +

1К при нечёт-

ных п. Заменяя ввиду принятой нумерации v на ~

v при чётных

п или на

1— v при нечетных п,

получим

для

первого

промё-

жутка

^v = xsn(!L~

К ) ’

(12.34)

причём при чётных п

v =

1, 2

при нечётных п

v =

1, 2 . . . ------ - »

а отсчёт точек

xt следует

2

вести от х = х к х = 0, т. е.

\ > xh >

(12.35)

2

—

<

—

—

(12.36)

2

и отсчитываются от

точек

+ —

к

+ со.

х

Таким образом, третья задача Золотарёва решается

при помо­

щи следующих формул. Для

чётных значений п

П

г/ =

П

Pl — x2

(12.37)

1—Р^х2

При нечётных значениях п выражение для у отличается только тем,

что

вместо

— ставится - ■ 1.

2

2

в первом промежутке и нахо­

Нули функции у

сосредоточены

дятся в точках

Р

=

xsn (

n ~

2J

+ 1-

К, *2)

,

(12.38)

а узлы (значения

у — ± L)

в точках х 1о = +

х и

х^ =

xsn(^= -^K ,

**),

(12.39)

причём при

чётных

п

v = 1, 2 . . . - j-

и при нечётных п

v =

1, 2 .

. . -

- (в

этом случае нулём также

является точка х = 0).

промежутка

имеют значения, обратные

Узлы и полюсы второго

нулям и узлам первого

промежутка. Сама функция у

также при

этом

принимает обратные

значения.

Величина х,

обычно

называется