Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Штагер В.В. Чебышевские приближения, применяемые в расчетах электрических схем

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.10.2023

Размер:

3.41 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

Периоды этих функций не могут задаваться произвольно, мож-

но задавать лишь их отношение				К'	Таким образом,
sn(u -f	АтК +		2т \'К') =		sn и.	(11.17)
Функция sn и получается			в результате обращения эллиптическо
го интеграла первого рода в форме Лежандра
Z
м = {		... —	-	— =	u(z).	(11.18)
,)/(1		-r2)(l — k»P)				к
о

Ввиду (11.17), интеграл (11.18) есть многозначная функция; причём многозначность получается лишь при разных путях интег рирования.

Величина

J / о -/* )(! - " т ~ К

(11Л9)

при условии, что интеграл берётся по прямолинейному пути, назы вается полным эллиптическим интегралом первого рода для модуля k, причём

0 < £ 3< 1 .

(11.20)

При этом т — чисто мнимое число, а К и К' вещественны. Ве личина К' также есть полный эллиптический интеграл первого рода

= / v

- k'b’)

( 11.21)

причём k' называется дополнительным моду лем и вместе с k удо влетворяет условию

k* + k'%= \. (11.22)

		V
- W jw<0	^ * >6 K*w>e
Вт	мним.	Вещ, ти и. .Вещ.
-к	-t	О *1

Рис. 11.2. Плоскость комплексного переменного z.

При k = 0 функция sn и превращается в круговой синус

lim sn(«, k) —sin«,			(11 23i
£-*o			v ' '
а при k = 1 в отношение гиперболических функций
lim sn(w, k) =	e a — e u	_ sn и	(11.24)
k~\	«* -f- e~~“	ch и

в чём можно убедиться, положив

limsn (u,k) = % k-*\

и произведя интегрирование по формуле (11.18)

	1 , 1+£
	— In---— .
о	2	1- е

Рассмотрим более подробно интеграл (11.18). Пусть 2есть ком плексное число, лежащее в верхней полуплоскости переменного г

(рис. 11.2). Знак радикала в (11.18) выберем так, чтобы — — + 1 dz

в точке 2 = 0.
Подынтегральная функция
_ 1
да = [(1 — ?2)(1 — k2t2)]~ 2,	(11.25)

имеет четыре особые точки, которые лежат на вещественной сси,

0-1= --- k , Й2= --- 1» а3 “

1’ — “f“ ^ •

(11.26)

Поэтому функция и (г) является голоморфной1) в верхней полу плоскости г и на вещественной оси за исключением течек (11.26), которые мы будем обходить по полуокружностям с малым радиу сом $, как показано на рис. 11.2. В соответствии с (11.25),

w~l = k (t — \)T(t

\)Т (t — k~1) 2 (t 4 А ТУ -.

(11.27)

При обходе каждой из точек

г = t — аг, arg (t — а(.) не

изме

няется

от 0 до — it,

при

этом arg аП1уменьшается на

arg w

увеличивается на —

. Посмотрим,

как

изменяется . функция

и (г)

при перемещении г вдоль вещественной

оси.

Когда

переме

щается

от 2 = 0 до

2 =

величина и

изменяется от

0 до зна

чения

*dt '

(11.28)

« ( 1) = j /< \ - m

к ,

*) Функция комплексного переменного

называется голоморфной

точке а,

если в окрестности этой

точки

она

разлагается

степенной

ряд

относительно

( г — а).

Функция, голоморфная в каждой

точке

области

голоморфна

в этой

области.

Если функция в каждой точке области однозначна и имеет производную,

т. е. является аналитической, то она голоморфна.

оставаясь вещественной (рис. 11.3). При обходе точки г — I, функ-

ция и приобретает множитель е 2 . При перемещении z вправо

Рис.

11.3.

Образование параллелограмма периодов

функции и (г) в комплексной плоскости

от

1 до

k 1, функция и (г) изменяется

параллельно

мнимой оси

от

значения К До значения К +

где

А-1

К'

(11.29)

V (/2 — 1)(1 — k2i3)

или

■\К =

(11.30)

у (1 -

12)(1 —kb2)

При

перемещении г

влево

от

г = 0

г =

— 1,

и {г)

остаётся

вещественной и изменяется от

0 до — К-

При

обходе точки г =

— 1,

и {г)

получает

—1—

и при перемещении z от

приращение е

— 1 до

k~l ,

и (z)

изменяется

от

— К до

— К + iК'- При

переме

щении г от k~l до — k~l (через точку z = do), и (z) получает ве щественное отрицательное приращение (до < 0) от точки /С + Щ' до точки — /С Н- i/C/- В точке iК' находится отображение точки z = оо. Таким образом, в результате обхода верхней полуплсскссти г, мы получили заштрихованный прямоугольник на плоскости и. Это ото бражение однозначно и конформно1). Если взять два листа пло скости z и, надрезав их на участках от —- k~l до — 1 и от f- 1 до

+ k~l , соединить по линиям надреза так, чтобы точки а,, были точками разветвления, то мы получим двулистную поверхность*)


*) Конформным называется отображение с	помощью	аналитической функции
w = } (г), которое обладает в каждой точке z0	I/'(?„) Ф 0]	свойствами сохранения
(консерватизма) углов и постоянства растяжений. Конформное отображение			яв
ляется отображением подобия в бесконечно малом (вблизи каждой точки,			где

Г(г)фО).

Римана и функция и (,г) будет однозначной. Воспользовавшись принципом аналитического продолжения Шварца, можно отобра жать заштрихованный прямоугольник относительно его сторон. В частности, отображение заштрихованного прямоугольника относи тельно вещественной оси соответствует продолжению нижней полу плоскости верхнего листа г относительно участка — 1 < z < -f- 1. Продолжению верхнего листа плоскости z на нижний лист отно


сительно участка — 1 < z < k~l					' соответствует отображение пря
моугольника		К - f iK',	— К Hr iК', — К — iК', К — iК'					относитель
но стороны К —■iК',			К +	iК'- Таким образом, двулистная римансва
поверхность однозначно и конформно преобразуется							в прямоуголь
ник периодов		функции sn и (рис. 11.3).				Если вместо		двулистной
взять	бесконечнолистную			риманову поверхность z с			точками		раз
ветвления —		, — 1, +		1, +	1, то можно однозначно отобра
зить её в плоскость и, которая					будет покрыта сеткой			прямоуголь
ников	рассмотренного		вида. Из		такого	отображения		видно,	что

z(u) обладает свойством двоякопериодичности. Действительно, пря

моугольник периодов (рис. 11.3)	имеет	два нуля	и два полюса
первых порядков. При продолжении	прямоугольника		периодов от
носительно его правой стороны эти	нули	и полюсы	повторяются
через 4/(, а при продолжении его	относительно нижней стороны

— через	2\К'■	полуплоскость на прямоугольник,
Функция и {г), отображающая		полуплоскость на прямоугольник,
является	частным случаем функции
	г
	w =.= ClJ(£ — яj)"1“ 1. . . (t	— a.nf n ^ ldt f C2,	(11.31)
	о

с помощью которой верхняя полуплоскость z отображается на внутренность многоугольника. В выражении (11.31) ах, . . . , ая есть точки действительной оси, соответствующие вершинам много угольника, а С[ и С8- некоторые комплексные числа. Выражение (11.31) называется формулой Христоффеля— Шварца.

Если переписать (11.18) в виде

г	1	1	1	1 ,
U = k T l \{t— I ) 2		(М I) 2 (t	k~Y {t + k ~ y	dt, ( 11.32)

то видно, что это выражение представляет собой частный случай формулы Христоффеля—Шварца.

Трактовка интеграла (11.18), которую мы привели, позволяет лишь убедиться в том, что обращением эллиптического интеграла (11.18) является эллиптическая двоякопериодическая функция Яко би sn (и, k), имеющая в параллелограмме периодов два простых нуля, два простых полюса, и периодами которой являются 4X и 2iX', если К и К’ определяются формулами (11.28) и (11.29).

Первое главное преобразование п-й степени эллиптической функции Якоби sn (и, к)

Рассмотрим эллиптический интеграл

W = J		Mdr		(11.33)
W = J				(11.33)
	Uk (i - t,*)(i -		x v ) ’
где М — вещественное постоянное. Подстановкой
приведём его к виду		Мт, = Z		(11.34)
приведём его к виду
, \	Г	dZ-	,	(11.35)
u(z)=	\	. ---------	,	(11.35)

где С = — , £ = — , причём 0 < £ < С.

ММ

	Интеграл (11.35)		отличается	от	интеграла		(11.18)	двумя	пара
метрами		С и £ вместо одного к.			Обращением интеграла				(11.35)
является		функция	Z — F (и),	которая		отличается		от функции
z =	sn и масштабом в плоскости			и (см. ниже) и тем,				что функция
£ (и) допускает свободный выбор					обоих	периодов:		вещественного
4	и мнимого 2^2- При данных периодах						и 2о>2 функции z =
=- sn и можно всегда подобрать				такие значения М и >. (или С и £),
при которых
			fii =	Q, = ш2,					(11.36)
			п
где	п — целое вещественное число.

Рис. 11.4. Параллелограммы периодов функции 7,— F (и)

При этом Z = F (и) является вполне определённой функцией						от
г = sn и. Рассмотрим	параллелограмм периодов функции				Z — F (и).
Если при и = 0 и Z — 0 —		> 0,	то при	этом Z = 0	и — >	О
	d u .				du
(рис. 11.4). Если при	и — 0	и Z =	d,Z,		1	=
(рис. 11.4). Если при	и — 0	и Z =	0, — <	0, то при этом Z = —		=
			du		С

= М и —

< 0

(рис. 11.4).

В последнем случае все нули

полю-

первому

случаю

на

2 ,

вместо

сы смещаются по отношению к

F (и) надо

брать F (и +

На основании

свойства

эллипти

ческих функций можно написать следующие равенства:

п=3

и =

— s:i ( — •и ),

( 1 1 .3 7 )

sn (иц - f и) = sn (а>г — и), ( 1 1 .3 7 ')

sn (К-г и) = sn (К — и), ( 1 1 .3 7 " )

так как левые и правые части этих

равенств имеют одинаковые нули и

полюсы и совпадают

при

и — «ц,

и = К

или

и — 0.

Если

в равен

стве (11.37) заменить и на н +

«ц,

2w,

то получим

З и ,

4Ы ,

sn (и

2иц) =

— sn и.

(11.38)

Рис. 11.5. Параллелограмм пери

На

основании

(11.36),

перио

одов функции z=sn (п), содержа

щий п параллелограммов перио

ды 4«i

2ч)2функции sn и будут

дов Z =

(и).

также,

периодами

функции

= F (и),

причём в одном периоде 4и>;

содержится п примитивных периодов 42 1

4wi

= -—, каждый из которых

имеет два простых нуля и

два простых

полюса

функции

F (и).

Следовательно, в параллелограмме функции

sn и,

функция

F (и)

имеет 2п простых нулей

и 2п

простых

полюсов (рис. 11.5)

для

п = 3.

Эти нули расположены в

точках

и =

2vo),

а полюсы в точ

—

ках и

2vti

+ ш*

где v =

1,2 . . . (2ц -

1).

Покажем, что F(u) может

быть представлена в виде

П sn («

F(u) = П—1	Ф(ц)	(11.39)
F(u) = П—1	>	(11.39)
	р
П Ч	т 1 )

’ ) В решении третьей задачи Золотарёва, при исследовании уравнения (12.11)

будет показано, что случаи, когда при z = 0, -— < 0 соответствует чётному п, du

а случаи, когда при Z == 0, ■— > 0 соответствует нечётному п. du

2 (л — 1) 0»!

г д е Ф (и) = /' ( u )f ( п +

/ ( и + ^

П—1

Действительно, функция Ф(ы) имеет в параллелограмме периодов

функции sn и 2п простых	нулей в точках и —	и 2п простых
		п
полюсов в точках и = —^	-f- <»2, где v = 0,1,2,	. .. (2п — 1).	Каж
дый из множителей функции Ф(«) имеет два простых нуля			и два

простых полюса,	причём вершины параллелограммов этих множите-
лей сдвинуты на	2 v
лей сдвинуты на	— «ц. Очевидно, что параллелограмм периодов

функции sn и является также параллелограммом периодов для функ ции Ф(ц). Таким образом, функции Ф(и) и F(u) могут отличаться лишь

постоянным множителем. Множитель р~1 выбран так, чтобы равен ство левой и правой частей (11.39) выполнялось для ы =±= 0. В этом можно убедиться, если раскрыть неопределенность отношения

		Р 1 Ф (и)				(11.40)
		sn и	и —0			(11.40)
		sn и	и —0
полагая,	что	и-*0. При этом	f' (0)->1, р	1ФД0) =	-’г 1	и К,(0) =
= + 1,	т. е.	отношение (11.40)	при « ^ 0	стремится	к	единице,

а функции р~1Ф(ы) и F(u) принимают одинаковое значение. Выражение (11.39) определённо для нечётных значений п и

представляет собой формулу деления первого периода функции sn и

на п частей. Определим	модуль	функции			F(u), ~к=	Е М = — .
Из рис. 11.4 видно,	что при нечётных				значениях	С
Из рис. 11.4 видно,	что при нечётных				значениях	п,
			) - 7 Г			(11.41)
И			) - 7 Г
И
F(9.1 + Q,) = f ( ^		+	« « , ) =		- j	(11.42)
Тогда, применяя формулу (11.39), получим
	п—1
_Е	п - С -	^	‘ 0
_Е	^=0					(11.43)
Л	п • 1					(11.43)
С	п • 1	- f	1
	2 v	- f	1	)
	П s n (		' Ш1_Г Ш2	)
	П s n (		' Ш1_Г Ш2

v = 0

	С другой стороны, справедливо				равенство
		Sn U Stl (и -f- <о2) = Sn u>i Sn (u)x + (u2)						=			(11.44)
	Действительно, функция			(11.44)	не		имеет		нулей и полюсов,
так	как	там,	где sn и имеет	нуль, sn (и + и>2) имеет						полюс	и на
оборот,		и кроме того, обе части равенства						(11.44)		совпадают при
м =	иц. Применяя равенство			(11.44)	к	выражению (11.43), получим
		гг—1
	х =
		п ч	М‘	2" ^'	- )
		V = 0
			1/Х = Vk" П sn ( 2-			^		*)•			(11 -45)
	Учитывая,		что периодом функции sn ( — \						является —		в про-
						\	п	I		п

изведении (11.45) все множители можно объединить попарно,

причём,	если	п— число	нечётное,		то		оставшийся		необъединённым
средний	множитель вида sn ^ —				j	равен единице.			Тогда выраже
ние (11.45) примет вид				ГС—1
				ГС—1
				2
		1/Х =	]/(Т у г Р\|			sn2 J ^ -—- к ) •				(11.46)
				»=о
Для преобразования формулы (11.39) к более									удобному	виду,
можно воспользоваться			равенством1)
		sn (и 4- v) sn (ы		У)		=	- ^	= ^ Г .		(11.47)
						1 — k2sn2 и sn2u
Учитывая (11.38), формула				(11.39)			может быть записана			в виде
			ГС—1
F(u) = (		1) 2 р~хsn и (^[ sn ^ «4- —						sn	1	(П-48)
			*=i
1) Для доказательства			этого равенства достаточно убедиться в том,							что ле
вая и правая его части совпадают для и = 0 и имеют простые нули в										точках
и = + и +	2 ficoj 4- 2>ш2 и простые полюсы в точках и = + о 4- 2 [J.m,4- (2 ■» -J- 1)
где р и v — целые числа.

Действительно,

выражение

(11.39) содержит п множителей и

после вынесения sn и за знак произведения

под этим

знаком

оста

нется п— 1 (чётное

число)

множителей,

из

которых

первые ~~~

имеют вид sn

м +

— - + 2j>x

вторые

-------

множители—

------—

+ 2 и ) ^ .

силу

(11.38)

они

приводятся к

виду

— sn ^ п—

. Тогда, применяя

равенство

(11.47), получим

п—1

/2 ма-Д

sn 2

( ^ г ) - 8ПМ

F (и) = р

1sn и Л

(11.49)

/ 2

v ( o , \

>=1 1— X2s n ( ------ J sn2 и

где

множитель р~1, с

учётом соотношения

(11.37)

имеет вид

Л—1

/ Г 1 =

[ ] s n * ( ^ p ) .

(11.50)

V -1

Возвращаясь к переменной ?]=

—

обозначая

новую эллипти-

ческую функцию tj

через зп

означает

уменьшение

масштаба в плоскости и в М раз^, получим формулу деления пер вого главного периода на п частей для нечётных п в виде

			п-Л	1-	sn* и
			2		sn- ( т * )
sn (— , х ^ = — sn и П					sn- ( т * )	(11.51)
\ М	)	М			, 2 v \	и
			= 1	1 — к2 sn: \ т кГ		и

Величина М может быть учесть, что

М
П—1
М - р~' П sn (-^-+
»=0
*) И ногда п и ш ут sn ( —	, X	).
V М	;

найдена по формуле (11.39), если

'1 Ь п ( — *»,) (11.52)

v= 0 \ п /

4— В. В. ШТАГЕР

или, подставив вместо р 1 его значение, согласно (11.50), и объеди нив одинаковые члены в соответствии с (11.38),

П—1 ~~2

		п	- ( ^ )
м	=	v — 1
			п— 1

~2~

v=l

При чётных значениях и вместо

(11.53)

F (и) следует рассматривать

F ( и -f

и в этом

случае ф-ла

(11.48)

имеет вид

= F ( “ +

7 ” )

(— 1)2 Р- ' n

, 2v — 1

s n ( u - \

-------- o)]. )X

V =

2 v — 1

(11.54)

X sn C“— — ш4

Тогда,

применяя

равенство

(11-47)

и полагая

= — =

= sn

/Cl*-),

можно получить

sn2( п р ч

sn2«

(11.55)

s n (

+ ^

)

“

1— /г 2sn2

sn2 и

V = 1

Из рис. 11.46 видно, что

F(0+ т

)

=Р П 5П ( ^

“>1

)

(1Т56)

ИЛИ

v=Q

-1

__ /Ъ +

__ =

F I sn

(s r i ' ) - n

iri,(sr

1- >

<11'57)

I I

Тогда

v=0

sn2 U

/ 2v — 1

1—fe2 sn! (Ъ —1

(11.58)

( —

K r

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ