книги из ГПНТБ / Штагер В.В. Чебышевские приближения, применяемые в расчетах электрических схем

Тп+1 (х) = 2хТп(х) - Тп_ у (х) ( « = 1 ,2 , ... ) ,

( 5. 15)

Т6 (х) =

32л:6 — 48л4 +

18.v2.— I

и т. д.

Кроме приведённых форм записи полиномов

Чебышева

(5.13),

(5.7), (5.8), (5.9) и (5.10)

иногда применяются

и другие

фермы.

Например, часто пользуются параметрической фермой:

Тп (х) =

ccs л 0

(5.16)

х — cos в

из которой непосредственно видно расположение

нулей полиномов

Тп (х), имеющих место при

n 0 = (2v— 1) —

,

т. е. в точках

2

ху = cos —

(v = 1 ,2 ,... л)

•

(5.17)

2п

.

. . (х — х„) (х +

хг) =

22п 1(х2— х2) (х2— Хг). . . (х2— х2),

(5.18)

для

четных л и

Т2п(х) =

22я х (х2-

х2) (х2- х2) . . . (х2— х2)

(5.19)

— для нечётных л.

Нули этих функций,

+ ху

могут быть вычислены по ф-ле (5.17).

X

1

0

. ..0

0

1

2а

1

. . .0

0

0

1

2а

. ..0

0

(5.20)

0

0

0

1 2а

заключены в промежутке [—

1, + 1], называемом

основным.

Как было выше показано,

промежуток |— 1,

1 ] может быть

сует промежуток

[0,1],

то следует ввести переменное z

по формуле

z = -^ (a + 1)

(6.1)

при этом полином T„(z) будет иметь вид

Тп(z) =

-L [(2г -

1

f 2 V z ^ z ) "

+

(2z — 1 -

2 V z ^ z ) n).

(6.2)

Такой

полином,

вне зависимости

от

чётности

п, содержит все

степени

переменного г

(как

чётные,

так

и нечётные) не выше п:

Т0(г) = 1,

ТДг) = 2 г — 1,

Г, (2) = 8z2— 8z [- 1

и т. д.

Для графического оп­

ределение нулей полино­

'Ч

Л*

Л,

0\

а4

а3

Л2J+i

ма Чебышева следует по-

А(

> луокружность с радиу-

s

5

*.

сом / и центром в начале

Рис76.1.^Расположение нулей полиномов

координат (рис. 6.1) раз-

чебышева

Та (х).

делить

на

2п

частей,

ления

справа

налево и спроектировать

пронумеровать точки де­

на

ось а точки с

нечётны­

ми номерами.

Определим

точки

максимумов

и

минимумов из уравнения

Тп(х) = 0 или

sin п arc cos х

п

откуда

xm=

cos

(т =

1,2,... п — 1).

(6.3)

На рис. 6.1

точки хт находятся

в

основаниях

пунктирных ор­

динат. Очевидно,

Тп^cos

—

= cos mтг = (— l)m,

(6.4)

Тп(х)

на бумажной полосе нужно начертить синусоидальную кри­

вую,

чтобы

она

содержала

ров­

но п периодов и

склеить

из этой

полосы

боковую

поверхность

ци­

линдра

(рис.

6.2а). Затем

следует

спроектировать кривую на плос­

кость, проходящую через ось ци­

линдра

так,

чтобы справа эта плос­

кость

прошла

через максимум

(рис. 6.26). При чётном п плос­

кость

пройдёт через максимум и

слева.

Кривые Тп(х) для п от 1

до 6

приведены на рис.

6.3.

Т'п(+ 1) = lira Тп(х) =

п sin п arc cos х

Пт

X^l

JC-1 У 1

Tn( + l ) = l i m

п sin п 9

(6.5)

9 -0

sin в

по весу — 1__ -.

Это выражается равенством

1/1

— х2

+1

Tk(xl ±I

(x) dx = 0 (k, / — 0, 1, 2

кф I).

(6.6)

Г

ь

^ p(x)f(x)g(x)dx-= 0.

(6.7)

а

В случае, когда р(х) = 1, говорят, что

f (х) и g (х)

ортогональ­

ны в промежутке [а, Ь|.

Если система функций

fz (х) , . . . (а < х < 6)

(6.8)

такова, что любые две из них взаимно

ортогональны в \а, Ь] по

весу р{х), то такая система называется

ортогональной системой

веса р(х).

>1

7С

Г

l

— х2

dx — Г cos k0 cos / 0 d 0 = 0 (к ф [).

. I l

'

J

_i

о

Если k — /,

то

(6.9)

—l

Г

т> )

dx

|cos2k 0 d 0 =

(k = 1,2, . . . ) .

(6. 10)

J

V1- *

о

Ортогональная система функций (6.8)

называется ортонсрмаль-

Ak = ^p(x)f\{x)dx =

1.

(6. 11)

а

Если

(6.8) — ортогональная

система

функций,

но Анф 1, то

система

ш =

Ш = ^

,

. . .

(6. 12)

г Ф

Г Л2

будет ортснормальнсй, а переход от (6.8) к (6. 12)

называется

нор­

мированием функций системы.

Произведя нормирование функций системы полиномов Чебышева,

получим:

Т0 (де)------ 1= Г 0 (х) -------(6.13)

у

7Z

у

7Z

Тп (х)

=

V — Тп(х) =

Л/—

cos п arc cos х (п =

1,2, . . . ) .

(6.14)

* 7С

’

Т .

Таким образом, ортонормальная система полиномов Чебышева

удовлетворяет равенству:

+i

л

л

0 при

k ф I

Ть(х)Т,(х) dx =

1 =

0, 1,

2, . . . ) ,

(6.15)

1 при

(k,

—1

у

k = /

Наряду с системой полиномов Чебышева в основном промежут­

ке

[— 1, + 1

следует рассмотреть также

систему полиномов

Un (х)

с

весом У 1—х2,

определяемую по формулам:

^

w

-

~

n

+1w

(6-16)

или

и п (х) =

9 |- 4 =

,-

К* +

r +l ~ ( х - У ^ = л )"+1 ].

(6.17)

2\

х* — 1

Ввиду

того, что

[0

к ф I

.*

при

f

sin (к +

1) в sin (/ + 1) в d0 =

| К

(k, I = 0,

1,

2, ... ),

I

п р й к =.1

лосле подстановки cos0 =

х, получим

+i

_____

(О

при

k ф I

и

{к, 1 = 0, 1, 2 , . . . ) ,

j Vк (х) и 1 (х) V l—x2 dx=\jK_

при

k = /

г. е. система полиномов U„(x)

(6.18)

ортогональная Производя

нормирова­

ние системы Un(x),

получим

У

I

Uа(х) = ] / —

Un(х)

(п =

0, 1, 2 ,...) .

(6.19)

Рекуррентное соотношение для полиномов Un(х) имеет вид

Un+1(x)=,2xUn( x ) - U n_ l (x)

(п = 1, 2,.....).

(6.20)

Производя последовательное вычисление этих полиномов можно

получить:

U0(x)=\,

U1(x) =

2х,

U2(x) =

4х2— 1,

U3(x) = 8х8— 4х,

UА(х) = 16х4 — 12х2 +- 1,

и ъ(х) = 32х5 — 32х3 + 6х,

£/6(х) = 64х6 — 80х4 +- 24х2 — 1

и т. д.

Нули полиномов’£/л(х) располагаются в точках

хт■= cos————— (т = 1,

2,1. . . , п — 1).

т

п +

1

.

Un{x )<

I

(6. 21)

У 1- х 2

Максимальное значение |Uп (х) |достигается

на границах основ­

ного

промежутка, т.

е. при х = + 1_и не

превышает величины

in +

1). На рис. 6.4 приведён

график функции Ue(x).

-7 -г

' 4? Среди

всех полиномов

С

Р (х) степени л, имеющих коэф­

фициент при

хп, равный еди­

5

нице,

полином

? « ( * ) = - ф г Т „ ( х )

(6.22)

шах гп (х) I = Тя (cos

( - 1)”

(6.23)

1 Рп W I < 2п- 1

( —

1 <

х

<

+

1),

то разность R (х) = Тп (х) — Р (х)

была бы полиномом степени п — 1

и удовлетворяла бы условию

cos

—

)

>

0.

(6.24)

5.

Среди всех

полиномов Р(х) степени п, имеющих коэффицие

при хп, равный единице, полином Тп (х) = —

Т„ (х) обращает в

минимум интеграл

Г 1

Рг (*)

J

yi-x2dx.

(6.25)

—1

Допустим,

что

полином Р (х) разложен

по полиномам Тт(х)

р { х ) ^ ^ с тТт{х).

(6.26)

•т=0

Учитывая,

что

Т

(х) =

у — 2п~х f (х),

получим

Р„(х) = c e У ± . 2- 1Т0 (х) + Ci y rA

2o f 1(x) + . . . +

Д С „ ] / А

2"“ ' Тп(х).

(6.27)

Чтобы Рп{х) имел коэффициент при хп,

равный единице

[как и

Тп (х) ], необходимо положить

:„ = ] / — г’ - 1 = 1

или

С'. = V t

Ф ? ( " >

' ) •

(6.28)

у

С2 .

(6.29)

771

т =0

Очевидно, минимум интеграла (6.25) будет обеспечен, если поло-

жить

(6.30)

Св = Сг =

. . . = С„_! = 0,

т. е. если

Р„(х) = СпТп(х) = Тп(х)

(6.31)

или

Р п ( х ) = ~ = г Т п(х).

(6.32)

ТС

7С

(6.33)

2•22п~ 2

22п~

1 '

ЧЕБЫШЕВА

Задача 1. Найти

полином

степени п, наименее

уклоняющийся

от

нуля в промежутке [— 1,

1] и принимающий заданное значение

В вне этого промежутка.

Искомый полином может быть записан в форме

Р(х) = В +

(х — t)Q(x) (; > + 1 или <

— 1),

(7.1)

где Q (х) — полином степени п — 1, а %— точка на оси х, в которой

полином Р(х) принимает значение В.

Таким образом, необходимо обратить в минимум величину

max I Рх |= птах

|х — $ | -----------Ь Q U) .

[~ 1. -И]

[- 1 .+ 1 ]

х — $

т.

В

посредством по­

е. найти наилучшее приближение функции

Задача 2. Найти

полином

степени п, который в промежутке

{— 1, + 1] наименее

уклоняется

от функции —-— ■, где а > 1.

Рп (х)

-------- /?(* )=

1

2ап+2

V ^

у —п 1 —а V

— -----------V"

\—aV

— V

где

х — а

х — а

(1 — а2)2

а = а — Y а2— 1

(7.7)

(7.8)

V = x + Y ^ l \

Ввиду того, что R(x) есть рациональная функция от х, причём

числитель R (х) есть полином степени п +

1 и

Пт {х — a) R(x) .— 1,

(7.9)

я—а

можно утверждать, что Рп (х) есть полином

степени п с веществен­

ными коэффициентами.

При

изменении х от -f- 1 до

— 1,

точка V описывает

верх­

нюю

полуокружность |V| = 1 в

комплексной плоскости (рис. 7.1).

При

|VJ =

1, т. е., когда х

изменяется в промежутке

[ — 1,

выполняется равенство

Рис.

7.1 График переменного V = х +

Vя j __ ау

V _п 1—я V

+ i |/1— х2 при

изменении х в про­

a ^ V

(7.Ю)

межутке (— 1,4-1')

и величина R(x)

численно не превышает значения

I —

4 а"+2

(7.11)

~

( 1— а2)3

Это экстремальное

значение

R(x)

принимает в случае,

когда!

аргумент функции V"------—обращается

в 0

или

г..

-aV

Очевидно, R(x) =

L при arg

Vя 'i—*v

=

0 и

R (х) == — L, при

arg

а — V

]/п[

\—а V

■V

Функция Vn

имеет в круге

|1/( < 1 кратный нуль в точке

V= 0

1— а V

и простой

нуль V — а.

1, V описывает верхнюю поло-

Когда х изменяется от 4- 1 до —

вину

окружности Vj =

1, a arg \Vn ? - V

увеличивается от

-к да

1—aV