книги из ГПНТБ / Рвачев Л.А. Математика и семантика. Номинализм как интерпретация математики

Г л а в а V

ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ПАРАДОКСОВ

1. В гл. III показано, что независимо от области при­

боров не все предикаты псевдофизического языка реали­ зуются на приборах. Возникает вопрос, в какой мере это ка­ сается предикатов, служащих средствами языка математи­

ки. Этот вопрос, в силу отношения между языками РР и РР (гл. IV), удобно поставить в языке РР : могут ли некоторые

предикаты РР не свертываться на элементах а независимо от выбора а?

Утвердительный ответ следует из аксиом III систем РР, из которых легко вывести отрицания формул свертывания тех предикатов А, которые удовлетворяют условию

Чтобы удовлетворить (1), предикату достаточно выпол­ няться всюду на области о, так как тогда истинно заключе­ ние в (1). Другой класс предикатов, удовлетворяющих

71

(1)—предикаты из парадоксов, так как для них при любом у

ложна посылка в (1). Впрочем, для этих последних пре­ дикатов и так ясно, что, поскольку их свертывание при­ водит к противоречию, то они не свертываются.

Рассмотрим примеры.

а) . Предикатны (х) ~ х £ х есть предикат из парадо Рассела и поэтому не свертывается. Это можно установить

(«быть а или множеством, содержащим а») при любом а не свертывается. Действительно, пусть для некоторого р име­ ем (x) be £ р ~ А (х)]. Так как А (а), то а £ р и поэтому

А(р), т. е. А удовлетворяет (1).

2.Как мы видели, системы РР достаточны для построе­ ния основных разделов математики. Однако для общности

разрешим расширить язык РР следующим образом: можно употреблять в качестве исходных средств языка, кроме пре­ дикатов (гд...г/n) £ х, некоторые другие, также определен­ ные на области а и не входящие в эту область (в языке РР они интерпретируются как соответствующие простейшие предикаты над областью вещей). Для этих предикатов вво­ дятся свои аксиомы, где, разумеется, предикаты ие должны стоять на местах аргументов предикатов или попадать в сферу действия кванторов. Определение свертывания пре­ дикатов на элементах а сохраняется прежнее.

72

Это позволяет ввести, например, предикат «х есть трансфинит» (обозначение Тр (х),) удовлетворяющий, в частности, аксиомам

(Ех) Тр {х),

Тр (х) — (У) Iу £ х ZD Тр (у) Л (г) (z£ y z D z £ x ) Д х£у].

Здесь отношение порядка на трансфинитных элементах а задано двухместным предикатом у £ х.

Продолжим примеры:

д) . Поскольку предикат Тр есть предикат из парадок Бурали—Форти, то он не свертывается. Это можно уста­ новить также другим способом. Пусть а таково, что х£ а ~

откуда Тр (а), т. е. Тр удовлетворяет (1) и поэтому не сверты­ вается. В традиционном парадоксе рассуждение нужно ве­ сти дальше: из Тр(а) следует а £ а и далее

а £ а з > Т р (a) A (z)(z£ a z dz £ а) А а £ а л

т. е. а£ а и а £ a zd а £ а.

е) . Если предикат удовлетворяет аксиоме Тр(х) ~ {у) [y£xzDTp {у) А (г )(г £ г /з> г £ х )],

то он удовлетворяет (1); доказательство аналогично преды­

дущему примеру.

ж) . Если предикат удовлетворяет аксиоме

Л(х) ~ (у) [у£ х zd А (г/)],

73

то он удовлетворяет (1); доказательство аналогично преды­

дущему примеру.

3« Итак, не все средства языка РР могут быть объектами этого языка в том смысле, что в результате аксиом сверты­ вания эквивалентные элементы а можно подставлять на места аргументов формул РР. К несвертываемым средствам языка РР относятся, в частности, парадоксальные пре­ дикаты.

Мы не будем заниматься аппаратной природой несвертывания, которая сходна с неразрешимостью некоторых урав­ нений или с несовместностью некоторых систем уравнений.

Справедливы -следующие утверждения:

термин «предикат» не дает никаких интуитивных ука­ заний на то, что одни предикаты могут быть объектами раз­ говора, а другие — нет;

в математике самым широким образом употребляется превращение средств языка в его объекты (что повторено

всоответствующих системах РР).

Вэтом и усматривается парадоксальность парадоксов — почему же конкретный записанный по всем правилам на бумаге предикат не может быть объектом разговора?2 С на­

шей точки зрения, ответ прост — предикаты вообще не

• Собственно говоря, для нас равноправны все примеры несвертывания, но есть смысл говорить о парадоксальности только тех, которые признаны парадоксальными; прочих примеров в математике нет, так как там нет аксиом III гл. IV.

2 В этой связи легко возникает подозрение, что предикаты, которые не могут быть объектами языка, не могут быть и его средствами. В ре­ зультате, за исключением систем Бочвара, все прочие системы ограни­ чивают формализм настолько, что нельзя моделировать парадоксальные рассуждения.

74

могут быть объектами разговора, говорить можно только о вещах (и, может быть, об эмоциях). Точнее, говорить мож­ но для удобства и о других системах объектов, если знать, что можно иметь в виду их модели в области вещей.

Указанная парадоксальность формального аппарата ис­ чезает при его псевдофизической интерпретации, хотя сам аппарат сохраняется практически полностью. Действитель­ но, средства псевдофизического языка не ограничиваются, среди них по-прежнему могут быть, например, предикаты Ru и Тр и модели парадоксов. Объектами же языка являют­ ся вещи и вопрос о том,“для всякого ли предиката сущест­ вует равнообъемный ему прибор, решается отрицательно независимо от парадоксов (гл. III)1. Таким образом, может итти речь лишь о том, ^парадоксальна или нет нереализуемость данного конкретного предиката; но это в каждом случае решается отдельно и зависит от того, каков предикат. Например, было бы весьма странным, если бы априори был невозможен прибор, положительно реагирующий на каждый из двух данных шаров и только на них.

Рассмотрим с этой точки зрения пример а), т. е. предикат

Ru (х) ~ х £ х (стр. 73). Очевидно, невозможен прибор, реагирующий сам на себя, потому что одна и та же вещь не может находиться в различных местах пространства—време­ ни. Поэтому Ru выполняется на всех приборах и, если пред­ ставить себе прибор, реализующий Ru, то он должен реаги­ ровать сам на себя. Поэтому нереализуемость Ru не только не парадоксальна, но почти очевидна. Сходные рассуждения можно провести для псевдофизической интерпретации лю­ бого примера несвертывания из п. 1 , 2 настоящей главы.

*В приборной интерпретации может ожидаться также несовмест­ ность некоторых приборов. Примером может служить теорема о не­ счетности множества частей натурального ряда, которая в Р Р - интерпре­

тации доказывает лишь несовместность приборов, реализующих пре­ дикат 1— 1 соответствия и некоторый арифметический предикат.

75

4. Однако, чтобы не проверять эти рассуждения для каждого конкретного примера, поступим следующим образом.

Тот факт, что некоторый предикат А■удовлетворяет (1), может быть установлен различными способами; выделим два

реализующий А, должен реагировать сам на себя, невозмож­ ность чего представляется очевидной. Между тем несвертывание предикатов в примерах а)—>&)" устанавливается имен­ но способами 1), 2). Для парадоксов Рассела и Бурали— Форти эти способы даны как дополнительные. Таким об­ разом, по крайней мере эти два парадокса не содержат стран­ ного в'своей псевдофизической интерпретации.

5. : Возникает вопрос, дает ли что-нибудь для других терпретаций парадоксов отсутствие парадоксальности в их псевдофизической интерпретации. Другие интерпретации (предикатная, теорети ко-множественная) представляют со­ бой языки над абстрактными объектами. Если принять те­ зис номинализма, то абстрактный объект языка порождает­ ся только вещами и не может обладать свойствами, которыми не обладает ни одна вещь—прообраз.

Поэтому нужно иметь в виду следующее. Пусть, на­ пример, вещи аг, а2, ... обладают свойством А и мы абстраги­ руемся к одному объекту а со свойством А. Тогда нет смысла говорить, обладает или нет а свойством В, если некоторые cti обладают свойством В, а другие — нет. Но если все воз­ можные (и обладают свойством В, то В должно быть припи­ сано а. Это будет бесполезно, если в процессе рассуждений В будет игнорироваться; но зато если мы когда-либо

76

столкнемся с В, то не сможем предполагать бессмысленное в интерпретации В (а).

Если теперь считать, что математические объекты абстра­ гировались от вещей, то прежде всего замечаем, что свойст­ ва, записанные в аксиомах для предикатов ху, х < у, х = у, х / у, х -> у и Q (х, у, z), являются общими для всех вещей. Однако эти свойства могут быть отброшены потому, что в формулах математики нет имен данных пяти предикатов. Далее, все вещи, на которых определены предикаты х(у1...,уп), обладают общими свойствами, записанными в аксиомах для этих предикатов. Однако, мы теперь не можем отбросить,

например, свойство (х)х(х), потому что предикаты х(у1...,уп) (как предикаты уп) £ х) употребляются в математи­ ческих формулах. Это свойство практически не используе- 1

тся и поэтому может игнорироваться, но разумеется, не в теории множеств. Аналогично, так как свойство некоторых предикатов, заключающееся в том, что они не могут быть объектами языка, возникает еще на уровне вещей (где это свойство очевидно), то должно быть очевидным, что ив дру­ гих интепретациях парадоксы (по крайней мере, рассмотрен­ ные) лишены парадоксальности — при условии, что принят тезис номинализма.

6. В заключение заметим, что номиналистическая ин

терпретация математики, чтобы наиболее приблизиться к принятому в настоящее время смыслу терминов, должна быть комбинированной — употреблять как приборы-пре­ дикаты, так и псевдофизические множества и приборы-функ­ ции. Действительно, современное изложение математики — теоретико-множественное, и поэтому нужно для множествабстракций ввести максимально много множеств-моделей среди вещей; по этой причине, а также в соответствии с при­ нятым смыслом терминов следует даже перейти к номинализ­ му точек. И обычно лишь тогда, когда множеств-моделей

77