книги из ГПНТБ / Рвачев Л.А. Математика и семантика. Номинализм как интерпретация математики

Пусть теперь в ТТ имеется такое применение правила

где среди переменных хх, ..., zz и ии, ...,ww могут быть оди­

наковые. Нужно доказать, что в РР должно иметь место следующее правило вывода:

60

Это позволяет применить к (7') нужное число раз соответ­ ствующее правило вывода из I; в результате получим

(Ех) (Еу)... (Ez) [а* (х) Д ау (у) Д ... Д аг (г) Д а« (и) Д

д аДи) Л ... Л аш(ш)] ^ Ф г (и , v, w),

что вместе с аксиомами (4) дает

аи (и) А й« И А ••• А И =dФг («, v, ..., w),

откуда следует

аш(и ;)о [ ...= з [а а(у )зз [а и (ы )^ Ф 2(и, v, ..., ш)]]...],

так что в РР действительно справедливо правило вывода (6).

Пусть теперь имеем в ТТ аксиому

{хх)Ф{хх, ии, ..., ии): з Ф (ух, ии, ..., vv).

где Ф' получено применением правил Ь), с) к формуле Ф (по­ сле того, как свободные переменные Ф лишились индексов).

Но формула (8) выводима средствами I из формулы РР

61

Она переходит в следующую формулу РР:

aw(u)z3 [ - id [au (ы) id la* (*) гэ [Ф '(*. и, .... о) id

id (Еу) [а* {у) Л Ф' (у, и, ..., г»)]]]]...].

А эта формула выводима из доказуемой средствами I фор­

Пусть теперь имеем в ТТ применение правила вывода

где некоторые из переменных ы„,..., vv и хх,...,уу могут быть одинаковыми, но zz отлично от ии,..., vv. Нужно доказать,

что в языке РР имеется такое правило вывода:

ау (у) D [... =э [ах (х) ZD [az (г) D [av (v) =>... =3 [a„ (и) и

62

Пусть имеем в ТТ применение правила вывода

собственно аксиом ТТ (г. е. аксиом экстенсивности, бес­ конечности и свертывания), мы будем рассматривать как искомую вторую группу аксиом. Тем самым определяем

некоторую систему РР, в которой выводимы формулы (4). Действительно, при любом i в ТТ имеются аксиомы свер­ тывания вида (£г/;) Ф (у,), где Ф не содержит свободных переменных, отличных от г/г. Эти аксиомы перейдут в сле­ дующие аксиомы второй группы:

(Еу) [аг {у) А Ф ' (г/)1,

63

откуда средствами I выводятся формулы (4). Это значит, что система РР, о которой идет речь, по доказанному в и. 4 настоящей главы дедуктивно не слабее теории типов. Остается только установить, что можно надеяться на непро­ тиворечивость этой системы.

Предположение о непротиворечивости системы ТТ ос­ новано на том, что ТТ имеет интуитивную модель, которая не вызывает особых сомнений. Чтобы с такой же достовер­ ностью можно было говорить о непротиворечивости систе­ мы РР, достаточно доказать, что модель ТТ является мо­

делью и для РР.

В п. 3 уже установлено, что аксиомы II и III истинны при интерпретации определений (At) для области а, ко­ торая и есть модель ТТ. Поэтому достаточно доказать истинность при упомянутой интерпретации для области а второй группы аксиом. Рассмотрим, как происходит один шаг перевода формул по правилам a) — d). Исходная формула А принадлежит, вообще говоря, смешанному языку, в ней заменяется, вообще говоря, часть В (являющаяся формулой) на В', а остальная часть не меняется; формула А', получен­ ная в результате, принадлежит, вообще говоря, смешанному языку. Замена В на В' происходит по правилам b)—d). Как уже указывалось, при этом истинность или ложность В и В' одинакова (при интерпретации смешанного языка для области а). Этот факт имеет место при каждом значе­ нии не указанных явно в b)—d) свободных переменных фор­ мул В, В', если такие переменные есть. Рассмотрим теперь два случая:

А совпадает с В (и, следовательно, А' с В'), т. е. заме­ няется вся формула. Поэтому если А истинно, то истинно

иА';

Весть часть А . В этом случае замена В на В' может про­ исходить лишь по правилам Ь) или с). Но в этих правилах

64

речь идет о таких В, В', наша оценка истинности которых служит оценке истинности А, А' (в отличие от правила d), где речь идет о таких формулах, которые, будучи частями формулы А, для оценки истинности А интерпретировались бы не так, как у нас, а как предикатные функции). Поэтому,

что аксиомы ТТ истинны для области а получим, что ак­ сиомы второй группы истинны для области а.

6. Системы РР отличаются от наивной теории множеств:

аксиомами III первой группы; равноправием (по крайней мере, в принципе) систем аксиом второй группы. Например,

если система РР содержит некоторую аксиому свертыва­ ния А, то имеется и такая система РР, где истинно А.

Первая особенность сужает, а вторая — расширяет воз­ можности наивной теории множеств. Эти две особенности представляются довольно произвольными, во всяком слу­ чае, не менее произвольными, чем существующие аксиома­ тические теории множеств. Кроме того, системы РР пред­ ставляют собой частный случай систем Бочвара, которые по существу, сформулированы в цикле работ, начиная с [11

(класс систем Бочвара шире, так как нет ограничений в виде аксиом III). По этим причинам формулировка систем РР сама по себе вряд ли представляет интерес.

Однако для целей семантики важно другое — системы

РР имеют, как мы увидим, непосредственную интерпрета­

цию в псевдофизическом языке (в системах РР с прибора­ ми). Это подтверждает тезис номинализма для математики.

из системы аксиом убрать формулу С. Поэтому доказуема

также формула РР:

Мы будем интерпретировать каждую формулу РР с именами,

где С' и Л' получены из С и Л уже описанной заменой эле­ ментарных предикатов. Очевидно, формула (13) есть интер­ претация в языке РР также для формулы (12). Поэтому, если формула (И) доказуема в системе РР, то формула (13) доказуема в РР — интерпретации этой системы РР.

Вопрос о совместности аксиом второй группы и аксиом гл. III для предикатов х (уи ..., уп) перекрывается более об­ щим вопросом: если даже эти аксиомы совместны, то значит

аксиомам РР, потому что, как указано выше, следуют из

аксиом гл. III. Аксиомы второй группы Р Р в РР-интерпре­ тации не противоречат обязательным аксиомам по опреде­

лению систем РР. Однако мы знаем, что в гл. II, III не полностью формализовано представление о вещах во­ обще и о приборах в частности. Пусть теперь мы доказали относительно некоторой системы аксиом, что это есть систе­

ма РР и что эта система интерпретируется как система РР. Но если в будущем более тщательный анализ представле­ ния о приборах создаст дополнительные обязательные ак­ сиомы для приборов, то где гарантия, что эти дополнитель-

ные аксиомы не будут противоречить интерпретации аксиом второй группы данной системы РР. В случае такого проти­

воречия данная система РР, имея интерпретацию как си­ стема РР, не будет иметь псевдофизической, т. е. номинали­ стической интерпретации.

Это затруднение преодолевается на интуитивном уровне следующим образом.

Очевидно, что для каждой формулы псевдофизического языка, не содержащей иных индивидуальных предикатов, кроме х (t/i, ..., г/л), возможна обратная интерпретация —

как формулы языка РР. Таким образом, модель языка РР, о которой идет речь, это совокупность всех тех и только тех псевдофизических формул, которые построены только из предикатов х (г/ь ..., уп).

Постулируем тот факт, что эта модель не содержит до­ полнительных обязательных аксиом по отношению к ин­ терпретации аксиом II, III. Иначе говоря, пусть мы рас­ сматриваем интуитивное представление о приборах — ве­ щах и хотим записать те свойства приборов, которые могут быть выражены только с помощью предикатов Р Р х (у ъ ....

...,г/л) и логических средств. Тогда нам кажется очевидным,

что это интуитивное представление в самом общем виде может указать лишь на следующие обязательные свойства приборов:

а также, разумеется, на выводимые отсюда свойства. Этот постулат, собственно говоря, имеет такой характер, как и ак­ сиомы гл. II, III, и его можно было бы ввести в гл. III; одна­ ко там у нас не было причин отделять предикаты х (ylt ...,

68

• ,уп) от прочих предикатов псевдофизического языка. Уве­ ренность в этом постулате основана на том, что речь идет об обязательных аксиомах, общих для всех предикатов Q

и необходимости, т. е. о чисто умозрительном представлении

оприборах, которое потому и чисто умозрительно, что не принимает в расчет опытных данных (см. гл. I). Любые же опытные данные, полученные когда-либо в прошлом или будущем, по определению могут оказать влияние лишь на выбор аксиом второй группы.

Из этого постулата следует, что каждая непротиворечи­

вая система РР действительно имеет модель в области вещей.

8. Для установления такой интерпретации, казалось бы,

достаточно иметь в псевдофизическом языке только преди­ каты х (уI , ..., уп) и аксиомы для них. Однако в настоящее

время не существует сколько-нибудь принятого понимания области вещей и однозначного употребления соответствую­ щих терминов. Поэтому, если просто сказать, что «предикат» интерпретируется как «прибор» (или ограничиться лишь аксиомами для предикатов х (г/х, _, у„)), то откуда мы узнаем о возможности номиналистического понимания приборов и вообще о возможности языка над областью вещей? Таким образом, нужно, чтобы понятие о приборах возникло само­ стоятельно в языке о вещах; а для описания приборов в этом языке (и вообще для создания языка) нам потребовались РР-предикаты ху, х < у, х = у и др. Это дает и некоторый эффект сверх ожидания — теоремы типа (х) х (х) (аксиома

III в языке РР), которых нет в языке с абстрактными объек­ тами.

9. В приборной интерпретации истинность математиче­ ских утверждений имеет двоякий характер;

1) если формула относится к аксиомам первой групп

или выводима из них, то она обладает истинностью, которую

69