книги из ГПНТБ / Рвачев Л.А. Математика и семантика. Номинализм как интерпретация математики

Если для предиката существует реализующая его вещь, то предикат будем называть реализуемым.

12* Установим простейшие предложения о п-входовых приборах:

П

Это следует из (22) и понятия реализуемости предиката. Предикаты, удовлетворяющие формуле (23), будем назы­ вать собственными, обобщая тем самым это понятие на слу­ чай многоместных предикатов.

П

Это следует из аксиомы VI, (19) и определения Л.

Утверждение (25) следует непосредственно из (24) и оп­ ределения реализуемости. Отсюда выводятся также следу­

ющие утверждения:

П

50

Легко видеть, что утверждения (22)— (27) представляют собой обобщения соответствующих утверждений для одно­ входовых приборов, доказанных в этой главе ранее.

Согласно аксиоме X появление многовходовых прибо­ ров никак не сказывается на реализуемости одноместных предикатов, так что предикаты типа «х — вещь», «х — одно­ входовой прибор» остаются нереализуемыми. Среди много­ местных предикатов также легко найти нереализуемые соб­ ственные предикаты, простейшим примером которых яв­ ляется двухместный предикат х е= у. Однако предикат «х есть n-входовой прибор» при п > 1 в принципе может

быть реализован, так как для его реализации требуется одновходовой прибор.

4*

Г л а в а IV

ИНТЕРПРЕТАЦИЯ МАТЕМАТИКИ

1. Прежде чем интерпретировать в языке РР математ ку, нужно придать ей вид, удобный для такой интерпрета­ ции. Поэтому первая половина настоящей главы представ­

во-первых, о теоретико-множественных моделях некоторых формальных систем и, во-вторых, будет сравниваться сила двух таких систем.

Рассмотрим непустое множество (в теоретико-мно­ жественном смысле) а, относительно которого известно следующее:

а) а может содержать подмножество а0, элементы ко­ торого не есть множества;

б) кроме элементов а0, а может иметь в качестве эле­ ментов только множества, элементы которых суть упорядо­ ченные наборы из п элементов а (п = 1, 2, 3,...). При этом каждое множество а (а £ а) содержит в качестве своих элементов только наборы одной и той же длины па\

в) никакое множество (элемент а) не содержится в на­ боре какого-либо своего элемента.

Опишем теперь некоторый класс формальных систем, ко­ торые могут интерпретироваться как язык над областью а.

52

вами конца алфавита. Могут употребляться также индиви­

и х есть множество упорядоченных пар и пара уи у2 есть элемент х» обозначен как (уъ у2) £ х;

Предикаты последовательности (Лг) и предикаты, кото­ рые получаются из них по обычным правилам образования формул (включая подстановку вместо переменной индиви­ дуальных имен элементов а) назовем предикатами РР.

Из предикатов РР образуются формулы РР по обычным пра­ вилам образования.

Мы будем описывать а средствами классического ис­ числения предикатов первой ступени, примененного к фор­

мулам РР, плюс аксиомы для индивидуальных предикатов

(Л,); назовем эти средства языком РР.

Внешние кванторы всеобщности в формулах РР обычно будут опускаться.

Будем говорить, что предикат РР Л(хх ...х„) свертывает­ ся на элементе области а, если

63

2. Введем аксиомы, которые назовем первой группо

аксиом:

I. Аксиомы и правила вывода исчисления предикатов первой ступени для формул РР взяты для определенности

(Ех) (Еу) { х £ уЛу £ х ) .

Материалом для создания других аксиом служат любые замкнутые формулы РР, не доказуемые и не опровержимые каждая в отдельности из аксиом первой группы. Если любой набор таких формул добавить как аксиомы к первой груп­ пе, то полученную систему аксиом, если она непротиворечи­ ва, назовем системой РР. Добавленные аксиомы назовем второй группой аксиом.

Системами РР назовем также те системы, которые по­ строены как указано, но на их непротиворечивость можно лишь надеяться, а формально она не установлена.

Таким образом, мы имеем класс систем РР, которые об­ ладают общими аксиомами, обязательными для всех си­ стем (первая группа—аксиомы I, II, III), и дополнитель­ ными аксиомами, характеризующими индивидуальность

54

данной системы (вторая группа), т. е. индивидуальность об­ ласти а.

Каждая из систем РР описывает свою область а, и тре­ бования разных систем, вообще говоря, противоречат друг другу. Опишем некоторую конкретную систему РР, поз­ воляющую строить математику.

3. В качестве а0 возьмем множество объектов нулевой

ступени простой теории типов Рассела, т. е. объекты, ко­ торые считаются в теории типов первоначальными индиви­ дуумами немножественной природы (теория типов берется в соответствии с [3]; назовем эту теорию ТТ). В качестве прочих элементов а возьмем все те и только те множества, которые образуют описанную в работе [3] интуитивную модель теории типов. Это значит, что а есть сумма (по г) множеств объектов типа г (г = 0 , 1, 2, ...), которые образо­ ваны следующим образом: объекты типа 0 суть элементы о0,

модель системы ТТ действительно может быть взята в ка­ честве области а, так как удовлетворяет требованиям п. 1,2

настоящей главы.

Нам теперь предстоит построить для данной области а

систему РР, т. е. нужно сформулировать вторую группу аксиом.

Пусть в соответствии с [31 индивидуальные предикаты

55

системы ТТ обозначены как Xi £ t/t+i, где индекс обозна­ чает тип переменной; тогда из этих индивидуальных пре­ дикатов строятся все формулы ТТ по обычным правилам образования. Эти формулы интерпретируются для облас­ ти а в соответствии с принятой в ТТ интерпретацией пре­ дикатов Xi£yi+1, т. е. переменная с индексом i изменяется

лишь на объектах типа i.

Определим, кроме языка РР и языка ТТ, еще смешанный

язык РР и ТТ над областью а. Индивидуальные предикаты этого языка суть следующие: предикаты (At) (а практиче­

мент множества у» и «объект х есть элемент множества yL типа г» соответственно, причем по-прежнему переменная с индексом изменяется лишь на объектах одного типа. Пра­ вила образования формул смешанного языка обы шые с обыч­ ной оговоркой, что квантор с индексом относится лишь к объ­ ектам одного типа. Интерпретация формул смешанного языка происходит в соответствии с описанной интерпрета­ цией индивидуальных предикатов этого языка.

Аксиомами ТТ мы в соответствии с [3 ] будем считать ак­ сиомы исчисления предикатов первой ступени, записанные для переменной каждого типа отдельно, а также аксиомы экстенсивности, бесконечности и свертывания.

На основании аксиом свертывания в ТТ при каждом i истинны следующие утверждения:

(Ezi+2) (yt+l) I^A'+l £ zi+2— (xi) (xi£l/i+\)]-

В интерпретации для области а это означает, что среди объектов типа i + 2 существует множество всех пустых

множеств типа i + 1. Очевидно достаточно, чтобы в модели существовало не более одного пустого множества типа г + 1.

56

То, что одно такое множество должно существовать, сле­ дует опять-таки из аксиом свертывания

(Eyi+,) (xt) [xi£yi+1~ {Ezi+,) (xi£zl+] Д x ;£ z,+ ,)].

Множеству пустых множеств каждого типа i присвоим в языке РР индивидуальное имя Ьслi; хотя мы получим таким образом много индивидуальных имен, в системе РР

они дедуктивно неразличимы, так как для них может быть записана лишь одна и та же аксиома

Далее, в силу аксиом свертывания в ТТ истинно следую­

щее утверждение:

{Еуг) (х0) [*„£ г/i ~ (EzJ (х0£ z}) \у (Ez^x^z,)].

В интерпретации для области а это означает, что среди объектов типа 1 существует множество всех объектов ти­

па 0, т. е., что существует множество о0Этому множеству в языке РР присвоим индивидуальное имя аг.

Определим в языке РР рекурсивно предикаты щ (х),

которые в интерпретации означают «х имеет тип i»:

ft+i (х) ~ х £ bi+2 V i(Ey) (у£ х) Л {у) [у£ х zd си (у)]].

По определению области а при любом i могут быть вве­

__Опишем теперь некоторый перевод формул ТТ в формулы

РР, который будет происходить по этапам через формулы смешанного языка РР и ТТ.

Введем символ Ф ( ) как метаобозначение формул (во­ обще говоря, смешанного языка) со свободной переменной,

67

обозначенной в скобках; например, Ф (х) может иметь вид (Eyi) («/,■£ х). Правила упомянутого перевода формул суть следующие.

a)Любое из последующих правил Ъ) — d) применяется

кформуле ТТ или смешанного языка; одноразовое приме­ нение этих правил избавляет одну переменную с индексом типа от индекса (во всех ее вхождениях). Если к формуле применимо более чем одно правило, то предпочтение от­ дается правилу d), которое применяется (для определен­ ности) к самой левой свободной переменной с индексом типа. Если правила Ь) — d) неприменимы к формуле, то

правила Ъ) или с) применяются (для определенности) к самой левой ее части, к которой это возможно, а осталь­ ная часть формулы не меняется. Формула, полученная в ре­ зультате применения правил a)—d), есть объект для после­ дующего применения этих правил и т. д. до тех пор, пока это возможно. Результат последнего применения этих пра­

вил есть искомая формула РР.

b) Формула (Exi) Ф (xi) заменяется на формулу

(Ех) [а/ (дг) Д Ф (*)].

c) Формула (xi) Ф (xi) заменяется на формулу

(х) [щ (*) Ф (*)].

d) Формула Ф (xi) заменяется на формулу а; (х) zd Ф (х).

Заметим, что в правилах b)—d) исходная формула и фор­ мула-результат интерпретируются в смешанном языке либо обе как истинные высказывания, либо обе как ложные (в последнем правиле формулы имеют интерпретацию все­ общности). Эта оценка истинности верна при каждом значе­ нии не указанных явно свободных переменных формул в Ь) — d), если такие переменные есть.

58

4.По правилам a)—d) переведем все выводимые фор

мулы ТТ в формулы РР. При этом аксиомы исчисления пре­ дикатов первой ступени для переменных ТТ перейдут в фор­ мулы РР, выводимые из аксиом I, а правила вывода ТТ после перехода к формулам РР останутся правилами вывода как метатеоремы исчисления предикатов с аксиомами (4). Докажем это.

Пусть в ТТ имеется аксиома исчисления высказываний 0) (хх, уу, .... гг). Здесь и далее везде Ф не содержит иных свободных переменных, кроме указанных в скобках, т. е. в данном случае хх, уу, ..., zz (случай, когда Ф не имеет сво­ бодных переменных, окажется частным случаем). Малые латинские буквы как индексы переменных означают со­ ответствующие этим переменным номера типов. Применяя к Ф нужное число раз правило d), получим следующую фор­ мулу, вообще говоря, смешанного языка:

и с) и, так как Ф есть аксиома исчисления высказываний, то ее кванторы не распространяются на всю ее длину, так что Ь), с) будут применяться лишь к частям Ф (которые пред­ ставляют собой высказывания, элементарные относительно структуры Ф как аксиомы). При этом структура Ф как аксиомы не изменится и она в конце концов перейдет в фор­

которая, очевидно, доказуема средствами I из первой груп­ пы аксиом (так как Ф' — аксиома).

59