книги из ГПНТБ / Рвачев Л.А. Математика и семантика. Номинализм как интерпретация математики

у < и ZD х <

и

и далее

(и)

(х <

и ~

у < и).

Пусть

теперь

(и) (х <

и — у < и).

Отсюда

и

из

(9)

следует

х < у /\

у <

.V,

а

из

(10) — (и) (и <

х ~ v

<

у).

Это в

сочетании

с аксиомой V дает х =

у Д

ху.

Х < у А У < X Z D X ^ y .

(16)

Пусть х <

у Л

у <

х, тогда в силу транзитивности <

имеем (и) (и <

л: ~

и <

г/), что

вместе с

аксиомой V дает

х = у-

[2 (ж, у,

г) — 2 (у,

х, г )]Л [Л (* ,

« /)~ A (t/,

х)].

(17)

Это

следует

из

симметрии

правых

частей

определений

(2) и (3).

(£ х )[г /< л :Д 5 (х )].

(18)

Из (6)—(8)

следует, что предикат А (г) ~

zy удовлетво­

ряет посылке аксиомы VII. Применяя к А эту аксиому, по­

лучим существование г, указанного в заключении VII; обо­

значим его через х. Так как по заключению VII (г)

[А (г) Iэ

гз z <

х], то

(г)

(yz зз z < х) и

далее (так

как

xz ZD yz)

имеем (г) (xz ZD

z

<

x), т. e. S

(x);

а так как А (у),

то у < х,

щей,

находящихся

в

одной ситуации:

у <

x z d (u) [ 2 (х,

у ,

и) zd (Ez) [2 (х, z,

и) Д Л(х,

г)]].

(19)

Пусть у < х и пусть и таково,

что 2

(х, у, и).

Отсюда

и из (2) следует х <

и и у < и и далее из (11), (9) и (8) име­

ем ху. Рассмотрим

предикат

A

(v) ~

v <

у /\

Л (v, х)'.

Из ху и аксиомы VIII

следует (Ev) А (v). Из определения

А и (11), (9), (8) следует Л (v) Д

А (w) Z5 vw. Таким обра­

зом,

предикат А

удовлетворяет

посылке

аксиомы

VII,

z

<< у,

тогда в силу аксиомы VIII

существует у такое,

что

v

<

z

Д Л (и,

у).

Так

как

у <

z,

то

из

заключения

VII

получим (Ер) (Eq)

[р <

у Д

р <

q Д

A (q) ],

откуда с уче­

том

определения

А

следует

(Ер) (Eq) (р <

у Л

р <

q А

/\

у <

у).

Из

последнего

утверждения

и

(10)

получаем

(£/?) (р <

у / \

р <

у), что вместе с (3) и (12) дает

Л (у, у).

Однако

ранее

мы

имели Л (у,

у),

что опровергает сделан­

ное допущение, т. е. имеем z

<

у. Так как 2 (х,

у , и),

то

х <

и Д

г/ <

и, что вместе с

(10) дает z < и. Пусть

у та­

ково, что у <

и.

В

силу (2) существует да такое,

что да <

<

w Л (да <

х V

да <

р). Допустим да <

л:,

тогда да <

г/,

откуда и из (11) wy и так как ху, то wx. Отсюда и из аксиомы

VIII следует существование р такого, что А (р,

х) Д р <

да,

а так как да <

у,

то

р < у. Используя это и определение

Л имеем Л (/?), откуда и по заключению аксиомы VII р < 2.

Таким образом, если v < «,

то существует g такое,

что либо

q <

у и <7 <

х(если w

<

л: и взять ю

в

качестве

<7),

либо

q << у

и q

-< 2(если

да

-<

л: и взять /7 в качестве <7). Отсюда

и так как

л;

<

«

и

2 <

и,

согласно

(2)

заключаем,

что

2 (x,Z, и).

_______

Допустим теперь, что Л (х, 2); тогда согласно (3)

суще­

ствуют у , да такие, что у < г Д

й1< г Д

у = да. Так как

ху и yz, toxzw, следовательно,

уда. Так как да <

г, то соглас­

но (15)

у

<

2.

В силузаключенияVII существуют р и

такие,

что

р <

у Д

р < q д

Л (д).По определению Л и

ем Л (9, %) и, следовательно,

(г)

(г <

х ZD р = г).

Но

так

как

у <

х, то р <

л;, откуда

р = /7. Полученное

противо­

речие доказывает, что Л (х, г),

что и завершает доказатель­

ство (19).

(Ех) (Еу) [2 (х,

у,

г) Д Л (*, у)\.

(20)

<

(л:, г, г), то , следовательно, 2 (х, z, z), что вместе

с г <

х позволяет применить теорему (19) (подставляя туда

лу (20).

5 (х) ц> (Еу) [5 (у) Л Л (л:, у)].

(21)

ничего общего.

(21)

Для доказательства достаточно установить, что в

доказуемо заключение. Каков бы ни был х, по аксиоме VI

существует z такое, что z

<

х Д х < z . Это z удовлетворяет

(если его подставить вместо х) посылке аксиомы XI, откуда

получим существование z',

v, w таких, что 2

(z',

v,

ш)Д

Д S (w) Д z'

=

z Д

Л (х,

v). Допустим, что

w <

v,

но

так как 2 (г',

и, w),

то v <

w, что вместе с (16) дает v =

w.

В силу (9) и (11) имеем

vw,

откуда,

учитывая аксиому V

и z' <

до, получим, что z'

<

V. Однако это,

учитывая z' = z

и г <

х, противоречит тому,

что А (у,

х) (см.

(3)).

Таким

образом, допущение неверно,

т. е до <

v. Это вместе с v <^w

позволяет применить аксиому

XI, откуда следует сущест­

вование v', q, у

таких,

что

2 (г/,

q,

у) Д 5 (у)

Д

v'

=

=

о А

Л (х, q).

Допустим теперь, что

Л (х,

у),

тогда

по

определению Л существуют и и и' такие, что и <

х,

и'

<

у

и «

=

ы'. Так как 2

( v',

q,

у),

то по

определению

2

суще­

ствует р' такое, что р'

<

и’ Д

(р' < v'

V р’ <

q)- Из v'

=

=

и следует,

что

Л(л:,

&). Так как и =

и', то существует р,

такое,

что р == р' Д р <

и. Но так как и <

х, то р <

х.

Таким образом, (Ер) (Ер')

[р = р' Д

р <

х Д

(р'

<

и’

\ /

V p' < р ) 1, что противоречит тому.чтоЛ (х,

q)

Д Л (х,

и')-

Таким образом, Л (х, у),

что вместе c S

(у)

доказывает

(21).

7.

Рассмотрим предикат времени «х раньше т (см п. 3).

Вот аксиомы этого предиката:

XIII.

х / у ~ (и) (v) [и < л: Д v < у иэ (Ew) ( ® < » Д u/w)\.

XV.

ху Л x / z / \ (и) {u < yzD х / и ) zd у / 2.

XVI.

х = и A y = v A (E z) (Ew) [2 (х, у, г) Д

Д 2 (и, v, ю )Л г = ш ] э ( х / ( / - н / в ) .

XVII. (Ех) (Еу) [2 (х, у, г) А х / у ] .

х / у — ( « ) И ( « < х Д v < y z i u / v ) .

(22)

Эта эквивалентность справа налево следует из утвержде­

ния (9). Пусть теперь х /

у

и рассмотрим произвольные

ы, v

такие, что и < х и v <

у.

Возьмем произвольные s , t

такие, что s

< и и t < у .

На

основании утверждения

(10)

К

х и /

<

у, а по аксиоме XIII

существует w такое,

что

w <

/ Л

s /

w. Следовательно,

(s) (t) [s < и Д / <

v гз

id (Ew) (w <

t Д s / w) ],

что в сочетании с аксиомой

XIII дает и /

v, откуда в силу произвольности и, v следует

правая часть (22).

(Еу) А (у) Л (г/) [Л (у) и х /

t/] id (£*/) [(г) [Л (г) id г < у\

Д

Л (z) [z < у id (£■«) (£и) [ и < г Д м < и Д / 4 (u)]J Д * /г /].

(23)

еще нужно доказать х / у .

Возьмем произвольные и, v та­

кие,

что и < х и

v <

у. Из доказанной части

заключения

в (23) следует существование s и t таких, что s <

v и s < t,

и А (/). Из посылки в (23)

следует х /

t, откуда и из теоре­

мы (22) получаем и /

s. Следовательно,

(и) (v) [и < х Д v <

у id (Es) (s <

w Л и /

s)],

что согласно аксиоме XIII

дает х / у .

У /

х д (Ег) (г <

х Д у /

z) id (Ей) (Ev) [X (и,

v,

х) Д

Л y

/ v

Д ( z ) ( z / u z i y / z ) ) .

(24)

у < х .

На основании посылки в (24), аксиомы XIV и (11),

(8) имеем ху и, так как у /

у, то xv. Аксиому VII

можно при­

менить к предикату В (г) ~

(г =

х

V г =

у)

Д

гх , откуда,

учитывая В (х) и В (у )

(В (х)

следует из х у ),

получим суще­

ствование до такого, что

x < w A v < w A ( P ) \ P < w z d (E q ) (E r ) [q < p Д

A

q <

г Л В (г)]].

Отсюда по определению В и в

силу аксиомы V получим

x < w f \ v < w

/\{р)\р

(Eq) [q < p A

A

( q < x \ f q < w)]],

что согласно (2) дает 2 (x,

у , до).

Допустим

у <

х,

тогда

согласно теореме (19) существует р такое, что

2

(х, р,

до)

Л

Л Л (х,

р) и по определению 2 р

<

до. Из определения Л

и утверждения (12) следует (Ez) (z <

х А

2 <

р);

допустим

Л (р,

у),

тогда

аналогично

имеем

(Ez)

(z <

р

А

2 <

у).

Но так как 2 (х, у, до)

и р <

до,

то по определению

2

по­

лучим,

что (£z)

[г < р

А (г < х V

г <

у) ] ,

а это противо­

речит

допущению в

предыдущей

фразе.

Следовательно,

Л (р,

у),

т. е. существуют q и г такие, что q <

р

Л

г <

у

и q =

г. Согласно 2 (х,

р,

до) и

определения 2

получим

хр и,

так как х у , то vp,

откуда и из (11)

следует qr и далее

согласно утверждению (15) получим q <

у. Из заключения

в теореме (23) следует существование s и t таких,

что s

<

< q A

s

t /\

А (t).

По определению А имеем t <

х

и,

следовательно, s

< х,

а так как s <

q и q <

р,

то s

<

/?.

Таким

образом,

(£z)

(г <

р А г <

х),

откуда

согласно

Следовательно,

х <

v.

Отсюда, учитывая

2 (у, х,

х),

по

теореме (19) получим существование и такого, что 2(у, и,

лг)Д

/\ Л(н, и)

и согласно

(17) 2 (и, v,

х) Д

Л (и, v).

Возь­

мем произвольное z такое,

что 2< м ,

тогда,

так как 2 (и, v, х),

то z

< х.

Допустим

у /

г, тогда

А (г) и по заключению

в (23)

г <

v. Следовательно (Ez) (г <

и Д

г <

v), что про­

тиворечит

Л (и,

v),

поэтому (г) (г <

и ZD у /

г).

Таким

образом, полученные и, v

удовлетворяют заключению тео­

ремы

(24).

8.

Перейдем теперь к предикату х -> у

(см.

п. 3), т.

понятие

необходимости в природе. Как уже говорилось

в гл. I,

класс ситуаций включает в себя все априорные воз­

того,

для

каждого из предикатов-----

» должны быть запи­

саны

(в

конкретных теориях) дополнительные аксиомы,

характеризующие индивидуальность

данного предиката.

конкретной

теории у потребляется один фиксированный

предикат----- ».

Перечислим аксиомы, общие для предикатов

XVIII.

л: -> у ~ (z) [г = х Л (и) (о) [иг Д Л (и, v) Д

д м - > о г ^ м ] з (Ер) (рг А Р = у)]-

В чистом

виде идея этой аксиомы следующая: х -> у

смысл

того понятия, которое формализуется. Именно,

язык

естествознания

вполне допускает, что х существует

и предопределяет у,

но у ъ данной ситуации не возникает,

ситуациях, где

х является единственным первоисточником

необходимости,

т. е. если кроме пары х,

у предикат -*

вы­

полняется и на других

парах вещей и,

v, то все эти и пре­

допределяются

х.

Эта

оговорка относится ко всем и,

за

исключением тех,

где

(о) [и

v z? А (и, v), так как

это

х = ыДг / =

ц 1э ( х - » г / ~ ц ^ ц ) .

(25)

Это следует из аксиомы

XVIII и транзитивности

тожде­

ства.

x ^ y z D ( z ) ( z < y i D x - > z ) .

(26)

Пусть х

у и z

<

у, тогда в силу аксиомы XVIII

для

всякого

w

такого,

что

w =

х и

(и) (у) [uw Д

Л (и, v)

Д

/\ и

v ZD w

и] существуетр

такое, что р w Д

р = у.

Так как z < у,

то по аксиоме V получим существование q,

удовлетворяющего

условие

q <

р Д

q = z,

откуда сле­

дует qw Д

9 =

2. Таким образом,

(w) \w =

л: Д (и) (у) [uw Д Л (и,

v) Д и -> v zd w

и] zd

(Eq) (qw A q = г)],

что вместе с аксиомой XVIII дает х

г.

(Ez) [г == х Д (и) [х

и zd (Ev) (и = v Д га)]].

(27)

z =

x /\(p)(q)\pz /\ А{р, q) /\ р

q ZD z

р\.

(28)

Пусть х -> и. Отсюда и из аксиомы XVIII,

учитывая

(28), получим (Ev) (vz Д v =

и), что доказывает (27).

x < , y z i y ^ x .

(29)

Согласно аксиоме

III и х е н х имеем

x < ( y / \ y = z z ^ >

ZD (Еv) (v

< z A v =

x). Поэтому если х <

у, то выполне­

на правая

часть аксиомы XVIII, откуда следует у -» х.

х -> у л (Ez) (z < * Л У /

г) ZD (Ей) (Ev) [2 (и, и,

х) Д

Л г / / и Д

( z ) ( z < u ^ y / z )

Л

у].

(30)

Это утверждение означает, что если лг —^ у, то у предопре­

деляется той частью х, которая раньше

последнего

момен­

А(х, у ) ^ х - > у ,

(31)