книги из ГПНТБ / Афонин А.А. Частицы, поля, кванты

положна по направлению силе, с которой вторая части­ ца действует на первую.

Кроме законов Ньютона, существуют другие законы, так называемые законы сохранения, показывающие, ка­ кие величины остаются неизменными во всех механиче­ ских явлениях. Эти законы в механике являются след­ ствием законов Ньютона. С другой стороны, они являют­ ся следствием основных представлений о пространстве и времени и справедливы в таких областях физики, в ко­ торых законы механики Ньютона уже неприменимы. Их рассмотрение представляет самостоятельный интерес.

Законы сохранения

Закон сохранения импульса. Импульс равен произве­ дению массы материальной точки на ее скорость. Как и скорость, импульс является вектором. О важности поня­ тия импульса можно судить на примере часто встречаю­ щегося в физике явления, называемого столкновением. Оно состоит в том, что два тела, налетающие друг на друга, сталкиваются и снова разлетаются. Проследим, что произойдет, если столкнутся два тела с одинаковыми скоростями, но с разными массами поочередно с третьим телом. От удара телом большей массы движение третье­ го тела изменится более значительно, чем при столкно­ вении с телом меньшей массы. Введением понятия им­ пульса мы и учитываем этот факт. Замечательным ока­ зывается то, что всегда векторная сумма импульсов двух тел до столкновения равна их векторной сумме импуль­ сов после столкновения. При помощи понятия импульса второй закон Ньютона теперь формулируется так: пре­ дел отношения изменения импульса к изменению вре­ мени при стремлении изменения времени к нулю равен

10

действующей на тело силе. Когда на движущееся тело не действуют никакие силы, то тело движется с постоян­ ным импульсом, то есть по инерции. Если на систему, состоящую из многих материальных точек взаимодей­ ствующих между собой, не действуют никакие внешние силы, то такая система называется замкнутой. В такойсистеме полный импульс также сохраняет постоянное значение, то есть не меняется с течением времени, хотя у отдельных материальных точек системы импульс мо­ жет меняться.

Закон сохранения энергии. Энергия является общей мерой различных форм движения. Это определение — просто иная формулировка известного всем закона сохра­ нения энергии: энергия не возникает и не уничтожает­ ся, а только переходит из одной формы в другую. В ме­ ханике энергия, связанная с движением тел, называется кинетической. Она тем больше, чем больше скорость тела. Энергия, связанная с взаимодействием тел, назы­ вается потенциальной. Такое деление энергии на две части условно, но в механике оно применимо.

Если в качестве взаимодействующих тел взять зем: лю и груз, то падающий груз производит работу (напри­ мер, забивает в землю сваю). Способность груза про­ изводить работу и называется потенциальной энергией. Груз, падающий с большей высоты совершает и боль­ шую работу. По величине этой работы мы можем су­ дить о величине потенциальной энергии. Кинетическая же энергия измеряется работой, которую необходимо со­ вершить, чтобы остановить движущееся тело.

При рассмотрении механических явлений (без учета сил трения) полная энергия, равная сумме кинетической и потенциальной энергий, сохраняется. Этот закон сохра­ нения механической энергии является частным случаем общего закона сохранения энергии.

11

Закон сохранения углового момента. Основными ве­ личинами, характеризующими вращательное движение, являются момент силы и момент импульса, который на­ зывается угловым или орбитальным моментом. Напри­ мер, отвернуть гайку тем легче, чем больше длина руко­ ятки ключа, которым мы пользуемся. Но произведение силы, которая необходима, чтобы повернуть гайку на не­ который угол, на расстояние от гайки до места приложе­ ния силы всегда одинаково и называется моментом си­ лы. Именно эта величина является объективной харак­ теристикой того, насколько сильно закручена гайка. Произвольную силу, приложенную к рукоятке ключа, можно представить как векторную сумму двух сил: на­ правленную перпендикулярно и вдоль рукоятки ключа. Но сила, направленная вдоль рукоятки, не может повер­ нуть гайку. Поэтому в момент силы входит только пер­ пендикулярная составляющая. Мерой пройденного пути для вращающегося тела является угол, на который оно повернется.

Материальные точки вращающегося тела, находящие­ ся на различных расстояниях от оси вращения, будут обладать различными импульсами. Это связано с тем, что более удаленная материальная точка проходит дугу окружности большей длины за тот же промежуток вре­ мени, что и более близкая, и имеет поэтому большую скорость. Величина, объективно, характеризующая вра­ щение тела в единицу времени и не зависящая от рас­ стояния до оси поворота, называется угловым моментом и равна сумме угловых моментов материальных точек. Угловой момент материальной точки численно равен произведению перпендикулярной к радиусу вращения материальной точки составляющей импульса на расстоя­ ние до оси вращения. Если поворачивать винт в том же направлении, в котором вращается тело, то угловой мо-

12

Мент изображается стрелкой, направленной по острию винта перпендикулярно плоскости вращения тела. При задании какой-либо оси в пространстве величина углово­ го момента относительно этой оси будет даваться проек­ цией полного углового момента на эту ось. Величина и направление проекции углового момента зависят от на­ правления вращения тела и ориентации плоскости враще­ ния тела относительно выбранной оси. Так как плоскость может быть ориентирована различным образом, то про­ екция углового момента может принимать любые значе­ ния от положительной величины полного углового мо­ мента до отрицательной.

Таким образом, движение тела вокруг какой-либо оси (или точки) необходимо характеризовать угловым мо­ ментом и моментом сил, действующих на тело. Если момент сил равен нулю, то угловой момент при вращении тела остается постоянным.

Линейный гармонический осцилятор

Типичной постановкой задачи в классической механи­ ке является определение последующего поведения систе­ мы по начальным положениям, импульсам и моментам тел, составляющих систему.

Применим рассмотренные нами законы движения Ньютона к изучению механических колебаний. Законо­ мерности, которым подчиняются колебательные движе­ ния, очень общи, хотя физически они могут быть раз­ личной природы. Эти закономерности проявляются в том, что величина, характеризующая данное движение, может через некоторые, вообще говоря, не равные интервалы времени принимать первоначальное значение.

13

Если она принимает одинаковые значения через равные интервалы времени, то такое колебательное движение называется периодическим. Наименьший интервал вре­ мени, через который данная величина повторяет свое первоначальное значение, есть период колебаний. За это время колеблющаяся система совершит одно полное колебание. Если за пять секунд физическая величина, характеризующая колебание, десять раз повторила свое первоначальное значение, то период колебаний равен 0,5 секунды. Величина, показывающая, сколько полных колебаний происходит за одну секунду, называется час­ тотой колебаний. В вышеприведенном примере она равна двум.

Мы рассмотрим самую простую колебательную сис­ тему: отклонение материальной точки от положения рав­ новесия. Моделью такой системы может служить грузик, подвешенный на пружинке. Если потянуть грузик вниз и отпустить его, то грузик начнет колебаться вверх-вниз около положения, которое он занимал в покое. Колеба­ ния такого грузика можно рассматривать как колебания материальной точки около положения равновесия, если считать, что вся масса грузика сосредоточена в одной точке и заменить действие пружины силой, притягиваю­ щей грузик к точке равновесия. Если сила, действующая на материальную точку, всегда пропорциональна откло­ нению, то такая система называется линейным гармони­ ческим осцилятором.

Пусть колебание совершается с какой-то определен­ ной частотой. Будем отмечать отклонения от положения равновесия как вверх, так и вниз через малые интерва­ лы в течение длительного времени. Оказывается, величи­ на отклонения изменяется с течением времени по очень простому закону, так называемому закону синуса

(рис. 1).

14

Такие синусоидальные колебания называются гармо­ ническими. Наибольшее расстояние, на которое отклонит­ ся точка от положения равновесия, взятое с положи­ тельным знаком, называется амплитудой колебаний, а частота, с которой колеблется материальная точка,— собственной частотой осцилятора. Полная энергия осци-

Рис. 1. Зависимость отклонения материальной точки от положения

равновесия х = зтсо(:.

лятора (сумма кинетической и потенциальной энергии) сохраняется во времени и равна

Е ~ т А ^ \

где гп — масса материальной точки,

15

Ь механике молчаливо предполагалось, что силы дей-

°сгвуют мгновенно, то есть взаимодействие передается

сбесконечно большой скоростью. В электродинамике законам взаимодействия неподвижных электрических и магнитных (полюса магнитов) зарядов, а также двух проводников с постоянным током можно было придать такую форму, чтобы силы, входящие в эти законы, пони­

мались как мгновенные. Это рассматривалось как под­ тверждение теории дальнодействия, которая господство­ вала вплоть до середины XIX века. Наряду с представ­ лением о дальнодействии существовала другая точка зрения о том, что силы не могут передаваться мгновенно от одного тела к другому, что происходит этот процесс последовательно, через некоторую среду, заполняющую все пространство. Эту среду назвали эфиром. Так как взаимодействие осуществляется через последовательный ряд точек, то оно передается не мгновенно, а через неко­ торый интервал времени, то есть с конечной скоростью. Такое представление получило название теории близкодействия. Однако громадное большинство физиков про­ должало придерживаться концепции дальнодействия, так как механика была построена на этой концепции и давала очень хорошие численные результаты, в то время как концепция близкодействия могла говорить только о качественном согласии. И только тогда, когда новой кон­ цепции была придана математическая форма и экспери­ ментально подтвердились удивительные следствия, вы­ текающие из нее (существование электромагнитных волн, электромагнитная природа света и т. д.), эта кон­ цепция получила всеобщее признание.

18