Теорема о циркуляции вектора электростатического поля. Понятие потенциала.

Из механики нам известно, что гравитационные силы являются консервативными. Работа консервативных сил по замкнутой траектории равна нулю. Учитывая аналогию между законом Кулона и законом всемирного тяготения, можно утверждать, что электрические силы также являются консервативными. Следовательно, работа электрических сил по замкнутой траектории равна нулю:

.

Так как , то:

.

Интеграл от по замкнутой траектории называется циркуляцией вектора.

Мы получили математическое выражение консервативности (потенциальности) электростатического поля: циркуляция вектора электростатического поля равна нулю.Это утверждение составляет содержание теоремы о циркуляции, физический смысл которой заключается в том, что работа по перемещению единичного электрического заряда в электростатическом поле по замкнутой траектории равна нулю.

Следствием теоремы о циркуляции являетсянезависимостьработы по перемещению электрического заряда из одной точки поля в другую от формы траектории. Выделим на траектории какие-либо две точки и разобьем круговой интеграл на сумму двух интегралов:

.

Перенесем второе слагаемое в сумме в правую часть и поменяем направление интегрирования:

.

Теорема о циркуляции вектора электростатического поля позволяет сделать ряд важных выводов, не прибегая к расчетам. Например, что силовые линии электростатического поля не могут быть замкнутыми или, что невозможна следующая конфигурация электрического поля (см. рис.).

Понятие потенциала.

Описание электростатического поля с помощью вектора не является единственным. Существует другой способ описания с помощью скалярной величины, называемой потенциалом.

Следствие, что линейный интеграл , не зависит от формы траектории и определяется только началом и концом позволяет утверждать, что в электростатическом поле существует некоторая скалярная функция координат, убыль которой равна:

,

где и- значения функциив точках 1 и 2. Так определенная величина называется потенциалом электростатического поля.

Так как рассматриваемый интеграл равен работе по перемещению единичного положительного заряда между точками 1 и 2 , а работа консервативных сил равна убыли потенциальной энергии:

,

ясно, что потенциал – это величина, численно равная потенциальной энергии единичного положительного заряда в данной точке электрического поля:

.

Потенциал является энергетической характеристикой и определен с точностью до постоянной. Поэтому потенциалу любой точки можно условно приписать любое значение. Точканазывается полюсом. Тогда потенциалы всех остальных точек определяется соотношением:

.

Потенциал и равность потенциалов измеряется в вольтах (В):

.

Для конечного пространственного распределения зарядов полюс выбирают на бесконечности. Тогда можно положить равным нулю. В таком случае потенциал определяется линейным интегралом

.

При этом потенциал равен работе по перемещению единичного положительного заряда из данной точки поля в полюс, находящийся в бесконечности. Естественно выбрать , где нет поля.