4. Законы постоянного электрического тока Основные формулы

Сила тока J по определению

,

где dQ – электрический заряд, проходящий через сечение проводника за время dt.

Плотность j тока при равномерном распределении тока по сечению проводника

где J – сила тока в проводнике; S – площадь сечения проводника.

Закон Ома для участка цепи, не содержащего источника тока

где U – напряжение на проводнике, R – сопротивление проводника.

Для однородного проводника

где ρ – удельное сопротивление материала проводника; l – длина проводника с площадью сечения S.

Закон Ома для участка цепи, содержащего источник тока,

,

где φ₁, φ₂ – потенциалы начала и конца участка; – электродвижущая сила источника тока, которая берется со знаком «+», если ток встречает вначале отрицательный полюс источника, и со знаком «-», если ток встречает первым положительный полюс. R, r – внешнее и внутреннее сопротивления потока тока.

Закон Ома для замкнутой цепи

.

Напряжение на зажимах источника тока

.

Ток короткого замыкания

.

Сопротивление R_посл при последовательном соединении проводников

.

Сопротивление R_пар при последовательном соединении проводников определяется из равенства

,

где – сопротивление проводника с номером «i».

Работа А тока

,

где t – время прохождения тока через произвольное сечение проводника, не содержащего источника тока.

Мощность Р тока

.

Закон Джоуля-Ленца

при J = const,

где J – сила постоянного тока, проходящего по проводнику сопротивлением R за время t; Q – количество теплоты, выделяющееся в этом проводнике за время t.

Закон Ома в дифференциальной форме

,

где – удельная электропроводность; – напряженность электрического поля внутри проводника; – плотность тока.

Удельная электропроводность

,

где Q – заряд иона; n – концентрация ионов; и– подвижности положительных и отрицательных ионов.

Примеры решения задач Пример 1

Два сопротивления R₁ = 12 Ом и R₂ = 4 Ом соединены параллельно. Последовательно к ним включено сопротивление R₃ = 3 Ом. Найти силу тока, идущего через сопротивление R₁, если напряжение на сопротивлении R₃ равно 9 В.

Дано: R1 = 12 Ом R2 = 4 Ом R3 = 3 Ом U3 = 9 В

J1 - ?

Решение

По закону Ома для участка цепи

А.

Ток J₃ разветвляется на токи J₁ и J₂ , поэтому

. (1)

При параллельном соединении проводников R₁ и R₂ :

U₁ = U₂, или .

Отсюда

. Подставим это выражение в формулу (1):

, отсюда .

А.

Ответ: А.

Пример 2

ЭДС источника тока равна 2,17 В, внутреннее сопротивление 1 Ом. К источнику подключено сопротивление 2 Ом, последовательно соединенное с амперметром сопротивлением 0,1 Ом. Найти показания амперметра.

Дано: = 2,17 В r = 1 Ом R = 2 Ом RA = 0,1 Ом

J - ?

Решение

Через амперметр и сопротивление R, соединенные последовательно, проходит одинаковый ток. По закону Ома для замкнутой цепи

А.

Ответ: А.

Пример 3

К источнику тока подключен реостат. При сопротивлении реостата 4 Ом и 9 Ом выделяется одинаковая полезная мощность. Вычислить внутреннее сопротивление источника.

Дано: R1 = 4 Ом R2 = 9 Ом P1 = P2

r - ?

Решение

Полезная мощность, то есть мощность, выделяемая во внешней цепи, в каждом случае равна: ,.

По закону Ома для замкнутой цепи

, .

Тогда ,.

По условию P₁=P₂:

,

отсюда

Ом.

Ответ: r = 6 Ом.

Пример 4

При замыкании на сопротивление 5 Ом источник дает ток 1 А. Ток короткого замыкания источника равен 6 А. Какую наибольшую полезную мощность может дать источник тока?

Дано: R1 = 5 Ом J1 = 1 А Jк.з. = 6 А

Pmax - ?

Решение

Полезная мощность или. Будем рассматривать мощностьP как функцию силы тока J:

,

.

Условия максимума функции P(J): или

. Тогда .

По закону Ома для замкнутой цепи .

По условию 6 А ,

тогда Ом.

Следовательно, В.

Получим Вт.

Ответ: Вт.

Пример 5

Найти потери мощности электроэнергии на нагревание проводов линии электропередачи, если суммарная мощность потребителей энергии 3000 МВт при напряжении 400 кВ, а напряжение на проводах 100 В.

Дано: Pнагр. = 3000 МВт = 3.109 Вт U = 400 кВ = 4.105 В Uпров. = 100 В

Pпров. - ?

Решение

Суммарная мощность потребителей энергии

сила тока .

Мощность потерь электроэнергии в проводах Вт.

Ответ: Вт.

Пример 6

Батарейка для фонаря имеет ЭДС 4,5 В и внутреннее сопротивление r=3,5 Ом. Сколько таких батареек надо соединить последовательно, чтобы питать лампу, рассчитанную на напряжение U=127 В и мощность P=60 Вт?

Дано: = 4,5 В r = 3,5 Ом U = 127 Ом P = 60 Вт

n - ?

Решение

При последовательном соединении источников тока общая ЭДС равна сумме ЭДС отдельных источников, а внутренние сопротивления источников также складываются. Закон Ома для замкнутой цепи, в которой действуют «n» одинаковых источников, запишем в виде

. (1)

Сопротивление лампы R_Л выразим из соотношения

.

Силу тока J – из равенства . Тогда уравнение (1) имеет вид

;

.

Ответ: .