§16. Плоское движение. Энергия плоского движения

Опр.

Плоским движением называется такое движение, при котором все точки тела движутся в параллельных плоскостях.

Пример плоского движения: качение цилиндра (шара, диска) по горизонтальной и наклонной плоскостям.

Любое плоское движение всегда можно представить как совокупность поступательного и вращательного движения. Причем разбиение такого движения можно осуществить бесконечным количеством способов, как поступательное движение некоторой оси О и вращения вокруг нее с угловой скоростью . При этом при любом разбиении угловая скоростьбудет одна и та же. И скорость любой точки можно представить как сумму поступательного и вращательного движения

, где

Наглядный пример – качение цилиндра.

- скорость центра инерции

Т. А движется с двойной скоростью центра инерции.

(?)

Итак, скорость произвольной т.А при плоском движении есть . Продифференцировав скорость по времени, получим, где– ускорение оси О и-ускорение при вращательном движении вокруг оси О и ()

;.

При плоском движении всегда можно найти такую ось, скорость движения точек на которой равна нулю. И таким образом рассматривать движение всего тела как вращение вокруг мгновенной оси вращения (у цилиндра – это точка касания поверхности).

Наиболее удобным является разбиение плоского движения на поступательное, происходящее со скоростью центра инерции, и вращение вокруг оси, проходящей через центр инерции.

В этом случае скорость произвольной точки твёрдого тела А имеет вид:

; где

; гдепри этом,.

Можно показать, что кинетическая энергия при плоском движении равна сумме половины произведения массы тела на квадрат скорости его центра инерции и кинетической энергии вращения тела вокруг центра инерции:

, где.

Пример:Чему равна кинетическая энергия движения цилиндра массой, катящегося по горизонтальной плоскости со скоростью.

;

=>

Тема 4. Механические колебания

Опр.

Колебаниями называется движение тела положения равновесия.

Опр.

Колебания, при которых все физические параметры изменяются по закону синуса или косинуса, называются гармоническими.

§17. Свободные незатухающие колебания

1. Колебания груза на пружине.

Система, состоящая из горизонтально расположен-ного штыря, на который под действием пружины

жесткости kперемещается без трения груз массойm.

, - закон Гука.

Получим =>

– положительное число=> .

Это и есть дифференциальное уравнение, решением которого является гармонические функции. Уравнение содержит неизвестную функцию и её вторую производную по времени.

Опр.

Уравнения, содержащие производные функций называются дифференциальными.

Способы их решения мы будем изучать в теории дифференциальных уравнений. Сейчас важно знать, что это дифференциальное уравнение второго порядка, линейное, с постоянными коэффициентами. Его решение имеет вид:

, где,,– суть некоторой константы.

– смещение тела от положения равновесия;– амплитуда колебаний;– фаза гармонического колебания;– начальная фаза ().

Опр.

Время одного полного колебания – период колебания. (Т)

– число колебаний в единицу времени.

– частота колебания

[]=c^-1=Гц; []=c; []=рад/с

Как известно, период колебаний синуса и косинуса=>=>

– период колебаний груза на пружине.

– амплитуда скорости.

– амплитуда ускорения.

2) Малые колебания физического и математического маятников.

Опр.

Под физическим маятником понимают твёрдое тело, которое способно колебаться вокруг горизонтальной оси, не проходящей через центр масс.

Положение физического маятника будем характеризовать углом поворота , отсчитываемым против часовой стрелки по вертикали до отрезка, соединяющего осьzс центром инерции . Длина его . Если уголневелик, то момент силы тяжести относительно осиz Равен(, так как он приводит к уменьшению угла поворота).

Момент силы относительно осиzравен нулю.

Согласно основному уравнению динамики вращательного движения:

=>

Частным случаем физического маятника является математический маятник, под которым понимают тело в виде материальной точки, подвешенное на невесомой нерастяжимой нити.

В этом случае ,.

– период колебаний математического маятника.