§11. Закон сохранения энергии в механике.

Пусть твердое тело движется поступательно под действием консервативных и неконсервативных сил, т.е. общий случай. Тогда равнодействующая всех сил, действующих на тело . Работа равнодействующей всех сил в этом случае.

По теореме о кинетической энергии , а также учитывая, что, получим

- полная механическая энергия тела

(_*)

Если , то. Это и есть математическая запись закона сохранения энергии в механике для отдельного тела.

Формулировка закона сохранения энергии:

Полная механическая энергия тела не изменяется в отсутствии работы неконсервативных сил.

Для механической системы из Nчастиц нетрудно показать, что (_*) имеет место.

, при этом

Первая сумма здесь – суммарная кинетическая энергия системы частиц.

Вторая – суммарная потенциальная энергия частиц во внешнем поле консервативных сил

Третья – потенциальная энергия взаимодействия частиц системы друг с другом.

Вторая и третья суммы представляют собой полную потенциальную энергию системы.

, т.е.

Работа неконсервативных сил состоит из двух слагаемых, представляемых собой работу внутренних и внешних неконсервативных сил .

Также как и в случае движения отдельного тела, для механической системы из Nтел, если, то, и закон сохранения энергии в общем случае для механической системы гласит:

Полная механическая энергия системы частиц, находящихся только под действием консервативных сил, сохраняется.

Таким образом, при наличии неконсервативных сил полная механическая энергия не сохраняется.

Неконсервативными силами являются, например, сила трения , сила сопротивленияи другие силы, действия которых вызывают дессинацию энергии (переход механической энергии в теплоту).

Силы, приводящие к дессинации называются дессинативными. Некоторые силы не обязательно являются дессинативными.

Закон сохранения энергии имеет всеобщий характер и применим не только к механическим явлениям, но и ко всем процессам в природе. Полное количество энергии в изолированной системе тел и полей всегда остается постоянным. Энергия лишь может переходить из одной формы в другую.

Динамика вращательного движения

§12. Кинетическая энергия вращательного движения твердого тела. Момент инерции тел

Рассмотрим твердое тело, вращающееся на неподвижной оси.

Мысленно разобьем его на Nэлементарных участков с массой, расстояние от которых до оси вращениямного больше линейных размеров участка. Тогда кинетическая энергия вращения тела вокруг осиzбудет равна сумме кинетических энергий всех элементарных участков,

(т.к. кинетическая энергия – величина аддитивная).

Ясно, что все элементарные участки вращаются по окружности, разного радиуса, но с одинаковой угловой скоростью ; для любого участка можно записать. С учетом этого равенства

Опр.

Если размеры тела много меньше расстояния от него до некоторой его оси вращения z, то произведение массы этого тела на квадрат расстояния до данной оси вращения называется моментом инерции этого тела относительно оси вращенияz:

В нашем случае - моменты инерцииi-ых участков относительно осиz.

Опр.

Моментом инерции всего тела вращения называется сумма моментов инерции всех его элементарных частей

Суммирование по элементарным участкам определяется разбиением, и лишь при , аесть предел и от разбиения не зависит. Поэтому точная формула для момента инерции есть:

Таким образом, кинетическая энергия есть

поступательное движение вращательное движение

- быстрота или скорость- скорость вращения

движения тела

- мера инертностимера инертности

при движении при вращении

Моменты инерции некоторых однородных () тел.

1. Момент инерции обруча или тонкостенного цилиндра относительно оси, проходящей через центр инертности перпендикулярно плоскости обруча.

2. Момент инерции диска или цилиндра относительно оси симметрии тела.

Выберем внутри цилиндра тонкостенный цилиндр с и толщиной.

Учитывая, что , получим

.

3. Момент инерции плоского стержня относительно оси, проходящей через центр тела и перпендикулярно к нему

4. Момент инерции шара относительно оси, проходящей через его центр.