9.4. Максвелловское распределение молекул по скоростям

В результате столкновений молекулы обмениваются скоростями, а в случае тройных и более сложных столкновений молекула может иметь временно очень большие и очень малые скорости. Хаотичное движение приводит к хаотичному распределению молекул по скоростям. Это распределение можно получить, обобщив закон Больцмана. Пусть в элементе объема xyzнаходится число молекулN = nxyz, гдеn- число молекул в единице объема. Подставляяnиз формулы (9.15), получимN = n_oexp[-E_п /(kT)]xyz. Как доказывается в статистической физике, распределение Больцмана можно обобщить, построив подобно обычному пространству дополнительное пространство скоростей молекул и рассмотрев его элементv_x v_y v_z. Получим

N = A exp[-E /(kT)]xyzv_xv_yv_z, (9.16)

где E = mv²/2+mgh- полная энергия молекулы;A - постоянная величина;N - число молекул, находящихся в объемеxyz, скорости которых попадают в интервалv_xv_yv_z .Считая, что в малом объемеxyz энергияmgh постоянна и вводяn = N/(xyz), запишем (9.16) в виде

n = B exp[-mv² /(2kT)] v_xv_yv_z, (9.17)

гдеB- постоянная величина,n - число молекул в единице объема, скорости которых попадают в интервал скоростейv_x v_y v_z . Для нахождения интервала скоростей построим воображаемое пространство скоростей(v_x v_y v_z )и отложим там значения компонентов скоростейv_x , v_y,v_z отдельных молекул. Тогда каждой молекуле будет соответствовать точка в этом пространстве (рис.9.4). Расположение точек относительно начала координат вследствие равноправности всех направлений движения будет сферически симметричным. Выберем элемент объема скоростей лежащим между двумя сферическими поверхностями с радиусамиvи (v+v), получим его равным4v²v. Тогда, подставляя4v²vвместоv_xv_yv_z, запишем (9.17) в виде

n = B exp[-m v² /(2kT)] 4 v² v. (9.18)

Максвелл ввел специальную функцию распределения молекул по скоростям f(v)=n/(nv), которая показывает, какое относительное число молекул имеет скорости в интервале отvдоv +v. Легко видеть, чтоf(v)v_i  n_i /n= 1. Переходя к пределу, получим

(9.19)

Данное выражение называют условием нормировки функции распределения. С учетом (9.18) функцию распределения можно записать в виде гдеС- постоянная величина. Введем величину

u² = mv²/(2kT), (9.20)

и запишем функцию распределения в виде

f(v) = C exp(-u²) u². (9.21)

Приравняв производную от выражения (9.21) поu нулю, получим экстремальные значенияu , равныеu = 0, u = 1,u = . Зависимостьf(v) отvдля различных температурT₁ иT₂ показана на рис. 9.5. Кривая имеет максимум, соответствующий величинеu = 1. Скорость, соответствующая максимуму кривой, называетсянаиболее вероятной и обозначается символомv_нв. По определениюf(v)показывает, какая часть молекул имеет скорости в единичном интервале скоростей (v= 1). Если взять скорость молекулы в какой-либо момент времени, то наиболее вероятным значением скорости будетv_нв, так как функцияf(v) для этого значения скорости имеет максимальное значение. Приравняв выражение (9.20) единице, получимmv_нв²/(2kT) =1или

. (9.22)

Отсюда видим, что с повышением температуры наиболее вероятная скорость возрастает. Кривая 2 на рис.9.5, соответствующая более высокой температуре, смещена вправо по сравнению с кривой 1. Это означает, что с повышением температуры скорости всех молекул возрастают, но характер распределения остается. Площадь, ограниченная каждой из кривых, в соответствии с условием (9.19) равна единице. Из анализа кривых на рис.9.5 видно, что относительное число молекул, скорости которых малы, невелико. Относительное число молекул, скорости которых намного больше v_нв, мало. Однако всегда существует небольшое число молекул с очень большими скоростями движения. Исходя из этого, легко понять сущность процесса испарения, при котором наиболее быстрые (“горячие”) молекулы покидают жидкость, и из-за этого в целом температура ее при испарении понижается.

Постоянную C в выражении (9.21) определяют, используя условие нормировки (9.19). Подставляя формулу (9.21) в выражение (9.19), получимC = 4/(v_нв) .

С помощью Максвелловского распределения молекул по скоростям можно рассчитать среднюю скорость молекул по формуле v_ср=. Подставляя сюда (9.21), получимv_ср=v_нв или с учетом (9.22)

v_ср = . (9.23)

Аналогично рассчитывается средняя квадратичная скорость:

v_кв² == 3kT/m .

Видим, что наибольшее значение имеет средняя квадратичная скорость молекул. Примерно на 10% меньше, чем v_кв, средняя скорость и на 20% меньше, чемv_кв, наиболее вероятная скорость.