5.3. Силы внутреннего трения.

Реальной жидкости присуща вязкость, которая проявляется в том, что любое движение жидкости и газа самопроизвольно прекращается при отсутствии причин, вызвавших его. Рассмотрим опыт, в котором слой жидкости расположен над неподвижной поверхностью, а сверху его перемещается со скоростью, плавающая на ней пластина с поверхностью S(рис. 5.3). Опыт показывает, что для перемещения пластины с постоянной скоростью необходимо действовать на нее с силой. Так как пластина не получает ускорения, значит, действие этой силы уравновешивается другой, равной ей по величине и противоположно направленной силой, которая является силой трения. Ньютон показал, что сила трения

, (5.7)

где d- толщина слоя жидкости,- коэффициент вязкости или коэффициент трения жидкости, знак минус учитывает различное направление векторовF_тр иv_o . Если исследовать скорость частиц жидкости в разных местах слоя, то оказывается, что она изменяется по линейному закону (рис. 5.3):

v(z) = = (v₀/d)·z.

Дифференцируя это равенство, получим dv/dz =v₀/d. С учетом этого ф

ормула (5.7) примет вид

F_тр = -(dv/dz)S , (5.8)

где  -коэффициент динамической вязкости. Величинаdv/dz называется градиентом скорости. Она показывает, как быстро изменяется скорость в направлении осиz. Приdv/dz = const градиент скорости численно равен изменению скоростиv при измененииzна единицу. Положим численно в формуле (5.8)dv/dz =-1 иS= 1, получим =F . Отсюда следует физический смысл: коэффициент вязкости численно равен силе, которая действует на слой жидкости единичной площади при градиенте скорости, равном единице. Единица вязкости в СИ называется паскаль-секундой (обозначается Пас). В системе СГС единицей вязкости является 1 пуаз (П), причем 1 Пас = 10П.

5.4. Ламинарное и турбулентное течения.

При достаточно малой скорости движения жидкости наблюдается слоистое или ламинарноетечение, когда слои жидкости скользят относительно друг друга не перемешиваясь. При ламинарном течении положение линий тока с течением времени не меняется, такое течение является стационарным. С увеличением скорости движения частиц течение жидкости становится нестационарным, наблюдаются завихрения, скорость течения в каждой точке пространства беспорядочно меняется. Такое течение называетсятурбулентным.

Английский ученый Рейнольдс установил, что характер течения зависит от значения безразмерной величины:

Re = vl/ , (5.9)

где - плотность жидкости;v- средняя скорость потока;l - характерный для поперечного сечения размер, например, радиус при круглом сечении;- коэффициент вязкости. ВеличинаRe называется числом Рейнольдса. При малых значениях числаRe наблюдается ламинарное течение. Начиная с некоторого определенного значения этого числа, называемого критическим, течение приобретает турбулентный характер. Отношение =/ называетсякинематической вязкостью. Используя, число Рейнольдса можно записать в следующем виде:Re = vl/ . Характер течения различных жидкостей в трубах различных сечений будет совершенно одинаков, если каждому течению соответствует одно и то же значениеRe.

5.5. Течение жидкости в круглой трубе.

При движении жидкости в круглой трубе ее скорость равна нулю у стенок трубы и максимальна на оси трубы. Полагая течение ламинарным, найдем, как меняется скорость в направлении радиуса трубы. Выделим в трубе воображаемый цилиндрический объем жидкости радиусаr и длиныl, соосный с трубой (рис. 5.4). При стационарном течении жидкости сила тренияF_трравна разности сил давления:

F_тр=(p₁p₂)·r²=p·r²,

где p₁иp₂ - давления жидкости в сечении 1 и 2 ,p - разность давлений на концах объема,r² - площадь основания цилиндра. Подставляя сюда силу тренияF_тр = -(dv/dr)2 rl , получимpr²= -(dv/dr)2rl , гдеdv/dr - градиент скорости,- коэффициент вязкости жидкости,2rl -площадь боковой поверхности цилиндра. Разделяя переменныеrиv, получимdv= -(p/2l)rdr. Суммируя все измененияdvотrдоR, придем к определенному интегралу, в котором учтено, что на стенках трубы приr = R скорость движения слояv=0. После интегрирования получим

v = (p/4l)(R² - r²). (5.10)

Ф

ормула (5.10) показывает, что скорость частиц как функция расстояния от оси трубы изменяется по параболическому закону. Используя формулу (5.10), можно решить такую важную практическую задачу, как нахождение объема жидкостиQ, протекающего через поперечное сечение трубы за единицу времени. Разобьем поперечное сечение трубы на кольца ширинойdr (рис. 5.5). Через кольцо радиусомrза секунду пройдет объем жидкости, равный произведению площади кольца2rdr на скорость течения в точках, находящихся на расстоянииr от оси трубы:

dQ = v2rdr. (5.11)

Чтобы получить поток Q, нужно просуммировать всеdQ при измененииr от0 доR. Получим определенный интеграл, который с учетом выражения (5.10), будет иметь вид

или

. (5.12)

Это выражение называется формулой Пуазейля. Из формулы практический вывод, что для улучшения пропускной способности труб в первую очередь следует увеличить их радиус. Например, при увеличении радиуса трубы в 2 раза количество протекающей жидкости возрастет в 16 раз.

Формула (5.12) используется при определении вязкости жидкости. Измерив поток жидкости Qчерез капилляр известного радиуса и зная перепад давления, можно определить вязкость жидкости.