Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Ивановский Государственный Энергетический Университет им. В.И. Ленина

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Высшая математика / CБОРНИК ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ 1 семестр.docx

Скачиваний:

Добавлен:

07.03.2015

Размер:

2.65 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

Тема 4. Определенные интегралы Задания уровня а

1-3. Вычислить определенные интегралы.

4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной данными линиями.

5. Вычислить площадь криволинейного сектора.

6. Вычислить длину дуги кривой .

7. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной данными линиями, вокруг оси а) Ох; б) Оу.

8-10. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.

Замечание: в некоторых вариантах задания 6-7 сформулированы иначе.

Задания уровня b

1-2. Вычислить данные интегралы.

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной данными графиками.

4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями (линией), заданными уравнениями в полярных координатах или параметрическими уравнениями.

5. Вычислить длину дуги кривой.

6. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной данными линиями, вокруг оси а) Ох; б) Оу.

7. Вычислить площадь поверхности вращения кривой вокруг оси а) Ох; б) Оу.

8-10. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.

Замечание: задания 5-7 в некоторых вариантах сформулированы по-другому.

Условия заданий по теме 4

Вариант 1А

1. .2..

3. 4. .

5. .6. .

7. а) . 8. .

9. . 10. .

Вариант 1В

1. .2. .

3. . 4. .

5. .6. a) .

7. a) . 8. .

9. . 10. .

Вариант 2А

1. .2.. 3. .

4. .5. .

6.. 7. а) .

8. . 9. . 10. .

Вариант 2В

1. .2. .

3. .

4. Найти длину архимедовой спирали (полярные координаты) от начала до конца первого завитка.

5. от до .

6. Эллипс, большая полуось которого равна а , малая – b, вращается а) вокруг большой оси, б) вокруг малой оси. Найти

объемы получающихся эллипсоидов.

7. На рисунке дан график изменения силы тока

в цепи в зависимости от времени. Найти заряд,

перенесенный через поперечное сечение

за промежуток времени от 0 до 3.

9. . 10..

Вариант 3А

1. .2. .

3. . 4. .

5. .6. .

7. а) . 8. .

9. . 10. .

Вариант 3В

1. .2. .

3. . 4. .

5. от до . 6. а) .

7. Найти длину дуги трактриссы ,

если t изменяется от до.

8. .

9. . 10. .

Вариант 4А

1. .2.. 3. .

4.. 5. .

6. Скорость движения точки по прямой зависит от времени, как показано на рисунке. Найти путь, пройденный точкой за время от 0 до 4.

7. б) . 8. .

9. .10. .

Вариант 4В

1. .2. .

3. .4. .

5. .6. а) .

7. а) от до . 8. .

9. . 10. .

Вариант 5A

1. .2. .

3. . 4. .

5. .6. .

7. б) . 8. .

9. . 10. .

Вариант 5В

1. .2. .

3. . 4.

(вне окружности).

5. Найти площадь области, ограниченной петлей линии .

6. Вычислить площадь веретенообразной поверхности, образованной вращением одной арки синусоиды вокруг оси абсцисс.

7. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, лежащей под осью Ох и ограниченной линией .

8. .

9. . 10. .

Вариант 6A

1. .2. .

3. .4. .

5. .6. .

7. а).. 8. .

9. . 10. .

Вариант 6В

1. .2. .

3. . 4. Найти длину дуги линии

5. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями .

6. Найти площадь поверхности эллипсоида, полученного при вращении эллипса вокруг оси Ох.

7. Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнением в полярных координатах .

8. . 9. . 10. .

Вариант 7А

1. .2. .3. .

4. .5. .

6. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси так, что угловая скорость меняется со временем, как показано на рисунке. На какой

угол повернется тело за промежуток времени от 1 до 4?

7. б) .8. .

9. . 10. .

Вариант 7В

1. .2. .

3. . 4. учесть, что.

5. Найти координаты центра тяжести дуги цепной линии .Учесть симметрию кривой относительно оси Оу.

6. б) .7. Вычислить длину дуги линии

8. . 9. . 10. .

Вариант 8A

1. .2. .

3. .4. .

5. .6. .

7. б) .8. .

9. .10. .

Вариант 8В

1. .2. .

3. . 4. Найти длину дуги линии

5. .6. а) .

7. Найти координаты центра тяжести одной арки циклоиды

8. .

9. . 10. .

Вариант 9А

1. .2. .

3. . 4. .

5. .6. .

7. а) . 8. .

9. . 10. .

Вариант 9В

1. .2. .

3. . 4. .

5. .6. Вычислить длину дуги линии

7. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной линиями .

8. . 9. . 10. .

Вариант 10A

1. .2. .

3. . 4. .

5. .6. .

7. а) .

8. . 9. . 10. .

Вариант 10В

1. .2. .

3. В каком отношении парабола делит площадь круга ?

4. .5. .

6. Найти координаты центра тяжести однородной дуги окружности , расположенной в третьей четверти.

7. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями .

8. . 9. . 10. .

Вариант 11A

1. .2. .

3. . 4. .

5. .6. .

7. Точка движется по прямой так, что в момент времени t = 0 ее ускорение равно нулю и линейно возрастает до 3 м/с к моменту t = 2с. Определить скорость точки в момент t = 1с, если при t = 0 скорость равнялась 1 м/с.

8. . 9. . 10. .

Вариант 11В

1. .2. .

3. .

4. Найти длину дуги линии .

5. .6. а) .

7. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .

8. .

9. . 10. .

Вариант 12А

1. .2. .

3. . 4. .

5. .6. .

7. а) .8. .

9. . 10. .

Вариант 12В

1. .2. .

3. .

4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной вторым и третьим витками спирали и отрезком полярной оси, если началу движения соответствует.

5. Вычислить длину дуги полукубической параболы , заключенной внутри окружности.

6. Найти площадь поверхности вращения вокруг оси абсцисс петли линии .

7. Найти объем тела, полученного от вращения криволинейной трапеции, ограниченной линией с основанием [0;1], вокруг Ох.

8. . 9. . 10. .

Вариант 13A

1. .2. .

3. . 4. .

5. .6. .

7. а) . 8. .

9. . 10. .

Вариант 13В

1. .2. .

3. Найти площадь фигуры, заключенной между линией и ее асимптотой.

4. Найти площадь фигуры, ограниченной линией и отрезком оси абсцисс, соединяющим две последовательные точки пересечения линии с осью абсцисс.

5. Найти площадь фигуры, ограниченной линией .

6. На циклоиде найти точку, которая делит первую арку циклоиды по длине в отношении 1:3.

7. Симметрический параболический сегмент, основание которого а , а высота h, вращается вокруг основания. Вычислить объем тела вращения, которое при этом получается («лимон» Кавальери).

8. . 9. . 10. При каких значениях k сходится и при каких расходится интеграл ?

Вариант 14A

1. .2. .

3. . 4. .

5. .6. .

7. а) .8. .

9. . 10. .

Вариант 14В

1. .2. .

3. .

4. .

5. .

6. Найти площадь фигуры, заключенной между линией и ее асимптотой.

7. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, лежащей над осью Ох и ограниченной линией .

8. .

9. . 10. .

Вариант 15А

1. .2. .

3. . 4. .

5. .6. .

7. б) .8. .

9. . 10. .

Вариант 15В

1. .2. .

3. .

4. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линией , осью Ох и двумя прямыми, параллельными оси Оу, проведенными через точки экстремума функцииу(x).

5. Найти площадь фигуры, ограниченной линией и лучом.

6. Найти периметр одного из криволинейных треугольников, ограниченных осью абсцисс и линиями .

7. Вычислить объем тела, полученного от вращения фигуры, ограниченной параболой и осью Ох, вокруг оси ординат.

8. . 9. .

10. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью бесконечного веретена, образованного вращением линии вокруг ее асимптоты.

Вариант 16A

1. .2. . 3. .

4. .5. .

6. Найти путь, пройденный точкой при движении по прямой за время от t = 0 с. до t = 4 с, если скорость v(t) изменяется, как указано на рисунке.

7. а)

8. . 9. . 10. .

Вариант 16В

1. .2. . 3. .

4. Найти среднее значение функции на отрезке [1;1,5].

5. .

6. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох дуги линии между двумя соседними точками ее касания с осью Ох.

7. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением кубической параболы вокруг оси абсцисс (от до ).

8. . 9. . 10. При каких значениях k сходится интеграл ?

Вариант 17A

1. .2. .

3. . 4. .

5. .6. .

7. а) .8. .

9. . 10. .

Вариант 17В

1. .2. .

3. .

4. Вычислить среднее значение функции на отрезке, если

5. .6. а) .

7. Найти координаты центра тяжести полукруга, ограниченного осью абсцисс и полуокружностью .

8. Линия вращается вокруг своей асимптоты. Найти объем тела, которое получается в результате этого вращения.

9. .10. .

Вариант 18А

1. .2..

3. . 4. .

5. .6. .

7. б) .8. .

9. . 10. .

Вариант 18В

1. .2. .

3. . 4. ,

5. .

6. Точка движется по прямой в течение 3с. так, что ее ускорение линейно возрастает от 0 в начальный момент времени до 6 м/с². Определить путь, пройденный точкой за эти 3 с., если ее скорость в начальный момент времени равнялась нулю.

7. Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнением .

8. . 9. .10. .

Вариант 19A

1. .2. .

3. . 4. .

5. .6. .

7. Вычислить , если задана графиком.

8. . 9. . 10. .

Вариант 19В

1. .2. .

3. . 4. .

5. .

6. Найти длину линии .

7. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями .

8. . 9. . 10. .

Вариант 20A

1. .2. .

3. . 4. .

5. .6. .

7. а) .8. .

9. . 10. .

Вариант 20В

1. .2. .

3. . 4. учесть, что.

5. .

6. Вычислить длину дуги линии .

7. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной линиями .

8. . 9. .

10. Найдите площадь фигуры, заключенной между линией и ее асимптотой.

Вариант 21A

1. .2. . 3. .

4. .5. .

6. Ускорение точки, движущейся по прямой, меняется со временем по закону . Найти изменение скорости за промежуток времени отt =0 до t =3.

7. a) .

8. . 9. . 10. .

Вариант 21В

1. .2. . 3. .

4. Найти среднее значение функции

на отрезке , если

5. Найти длину дуги эвольвенты окружности

отдо. 6. б) .

7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией .

Учесть, что .

8. . 9. . 10. .

Вариант 22А

1. .2. .

3. . 4. .

5. .6. .

7. а) .8. .

9. . 10. .

Вариант 22В

1. .2. .

3. . 4. Найти длину дуги кривой

5..

6. б) .

7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

8. . 9. . 10. .

Вариант 23A

1. .2. .

3. . 4. .

5. .6. .

7. Вычислить ,

если

задана графиком.

8. . 9. . 10. .

Вариант 23В

1. .2. .

3. . 4. .

5. Найти площадь фигуры, ограниченной линией

6. Найти длину дуги линии .

7. Вычислить объем тела вращения вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями .

8. . 9. . 10. .

Вариант 24A

1. .2. . 3. .

4. .5. .

6.. 7. б) .

8. . 9. . 10. .

Вариант 24В

1. .2. .

3. .

4. Найти площадь петли линии . Формулу для вычисления площади под кривой, заданной параметрическими уравнениями можно найти в дополнительной литературе.

5. .

6. Симметричный параболический сегмент, основание которого а и высота h, вращается вокруг основания. Вычислить объем тела вращения («лимон» Кавальери).

7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией .

Учесть, что .

8. Найти площадь фигуры, заключенной между линией и ее асимптотой.

9. .10. .

Вариант 25A

1. .2. .3. .

4. .5. .

6. Точка М движется по прямой,

причем ее скорость меняется,

как указано на графике. Найти

путь, пройденный точкой за 5 с.

7. Найти объем тела, полученного

вращением вокруг оси Ох фигуры,

ограниченной линиями .

8. . 9. . 10. .

Вариант 25В

1. .2. .

3. Найти среднее значение функции на отрезке .

4. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линией , осью Ох и двумя прямыми, параллельными оси Оу, проведенными через точки экстремума функции у(x).

5. Найти площадь фигуры, ограниченной линией .

6. Найти длину дуги линии .

7. Определить количество энергии, выделившейся в проводнике с сопротивлением 10 Ом за промежуток времени , если сила тока меняется по законуи измеряется в амперах.