Ответы на задания по теме 2
Вариант 1А
1.
.2.
.
4.
.5.
.
6.
.7.
.
8.
,
.10.
.
Вариант 1В
1.
3.
1,980.
4.
5.
б)
6.Max=
,Min=
.
7.
8.
10.
Вариант 2А
1.
. 2.
.
4.
. 5.
.
6.
. 7.
.
8.
,
.10.
.
Вариант 2В
1.
3.
2,010.
4.
5.
б)
. 6.
Max=
,Min=
.
7.
3. 8.
10.
Вариант 3А
1.
. 2.
.
4.
. 5.
.
6.
. 7.
.
8.
,
.10.
.
Вариант 3В
1.
3.
4.
5.
б)
. 6.
Max=
,
Min=
.
7.
1. 8.
10.
Вариант 4А
1.
. 2.
.
4.
5.
.
6.
. 7.
.
8.
. 10.
.
Вариант 4В
1.
3.
3,020.
4.
5.
б)
. 6.
Max=
,Min=
.
7.
8.
нет.
10.
Вариант 5А
1.
. 2.
.
4.
5.
.
6.
. 7.
.
8.
,
.10.
.
Вариант 5В
1.
. 3.
0,080.
4.
5.
б)
. 6.
Max=
,
Min=
.
7.
. 8.
.
10. S=2ab.
Вариант 6А
1.
. 2.
.
4.
5.
.
6.
. 7.
.
8.
,
.10.
.
Вариант 6В
1.
3.
4.
5.
б)
. 6.Max=
,
Min=
.
7.
0. 8.
10.
Вариант 7А
1.
. 2.
.
4.
5.
.
6.
. 7.
.
8.
,
.10.
.
Вариант 7В
1.
. 3.
2,98.
4.
5.
б)
. 6.
Max=
,
Min=
.
7.
0,5. 8.
10.
Вариант 8А
1.
. 2.
.
4.
. 5.
.
6.
. 7.
.
8.
нет. 10.
.
Вариант 8В
1.
3.
2,975.
4.
5.
б)
. 6.
Max=
,Min=
.
7.
. 8.
и
10.
Вариант 9А
1.
. 2.
.
4.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
,
.10.
.
Вариант 9В
1.
3.
1,231.
4.
5.
б)
. 6.
Max=
,Min=
.
7.
0,18. 8.
10.
Вариант 10А
1.
. 2.
.
4.
5.
.
6.
. 7.
.
8.
. 10.
.
Вариант 10В
1.
3.
1,07.
4.
5.
б)
. 6.
Max=
,Min=
.
7.
8.
10.
.
Вариант 11А
1.
. 2.
.
4.
5.
.
6.
. 7.
.
8.
,
.10.
.
Вариант 11В
1.
3.
0,958.
4.
5.
б)
. 6.
Min=
,Max=
.
7.
.
8.
10.
Вариант 12А
1.
. 2.
.
4.
. 5.
.
6.
. 7.
.
8.
,
.10.
.
Вариант 12В
1.
3.
1,02.
4.
5.
б)
. 6.Max=
,
Min=
.
7.
. 8.
10.
Вариант 13А
1.
. 2.
.
4.
5.
.
6.
. 7.
.
8.
. 10.
.
Вариант 13В
1.
3.
65,92.
4.
5.
б)
. 6.
Max=
,Min=
.
7. 1. 8. нет.
10.
Вариант 14А
1.
. 2.
.
4.
5.
.
6.
. 7.
.
8.
. 10.
.
Вариант 14В
1.
3.
2,02.
4.
5.
б)
.
6.
Max=
,
Min=
.
7.
8.
10.
Вариант 15А
1.
. 2.
.
4.
5.
.
6.
. 7.
.
8.
,
.10.
.
Вариант 15В
1.
3.
126,208.
4.
5.
б)
. 6.Max=
,
Min=
.
7.
2. 8.
(1;2,5)-max,
10. 600.
Вариант 16А
1.
. 2.
.
4.
5.
.
6.
. 7.
.
8.
. 10.
.
Вариант 16В
1.
3.
1,97.
4.
5.
б)
. 6.
Max=
,Min=
.
7.
8.
10.
.
Вариант 17А
1.
. 2.
.
4.
5.
.
6.
. 7.
.
8.
.10.
.
Вариант 17В
1.
3.
3,04.
4.
5.
б)
. 6.
Max=
,Min=
.
7.
-3. 8.
10.
Вариант 18А
1.
. 2.
.
4.
5.
.
6.
. 7.
.
8.
. 10.
.
Вариант 18В
1.
3.
0,495.
4.
5.
б)
. 6.
Max=
,
Min=
.
7.
8.
10.
Вариант 19А
1.
. 2.
.
4.
5.
.
6.
. 7.
.
8.
,
.10.
.
Вариант 19В
1.
3.
2,03.
4.
5.
б)
. 6.
Max=
,Min=
.
7.
0,25. 8.
10.
Вариант 20А
1.
. 2.
.
4.
5.
.
6.
. 7.
.
8.
. 10.
.
Вариант 20В
1.
3.
0,49.
4.
5.
б)
6.
Max=
,Min=
.
7.
1. 8.
10.
Вариант 21А
1.
2.
.
4.
5.
.
6.
7.
5.
8.
. 10.
Вариант 21В
1.
3.
128,896.
4.
5.
б)
. 6.
Max=
,
Min=
.
7.
. 8.
10.
Вариант 22А
1.
2.
4.
5.
6.
7.
8.
10.
24.
Вариант 22В
1.
3.
2,03.
4.
5.
б)
. 6.
Max=
,Min=
.
7.
. 8.
10.
Вариант 23А
1.
2.
4.
5.
6.
7.
8.
10.
1.
Вариант 23В
1.
3.
0,97.
4.
5.
б)
. 6.Max=
,Min=
.
7.
8.
10.
Вариант 24А
1.
2.
4.
5.
6.
7.
8.
10.
3.
Вариант 24В
1.
3.
26,919.
4.
5.
б)
. 6.
Max=
,
Min=
.
7.
8.
10.
Вариант 25А.
1.
2.
4.
5.
6.
7.
8.
10.
9.
Вариант 25В
1.
3.
1,012.
4.
5.
б)
. 6.
Max=
,Min=
.
7.
8.
10.
Вариант 26А
1.
2.
4.
5.
6.
7.
8. нет. 10. 0,25.
Вариант 26В
1.
3.
255,488.
4.
5.
б)
. 6.
Max=
,Min=
.
7.
8.
10.
Вариант 27А
1.
2.
4.
5.
6.
7.
8.
10.
28.
Вариант 27В
1.
3.
1,01.
4.
5.
б)
6.
Max=
,
Min=
.
7.
.8.
нет.
10. нет .
Вариант 28А
1.
2.
4.
5.
6.
7.
8.
10.
2.
Вариант 28В
1.
3.
1,01.
4.
5.
б)
1. 6.
Max=
,Min=
.
7.
8.
10. нет.
Вариант 29А
1.
2.
4.
5.
6.
7.
1,5.
8.
10.
4.
Вариант 29В
1.
3.
1,01.
4.
5.
б) 2. 6.
Max=
,Min=
.
7.
. 8.
10.
Вариант 30А
1.
2.
4.
5.
6.
7.
8.
10.
3.
Вариант 30В
1.
3.
2,98.
4.
5.
б)
. 6.
Max=
,
Min=
.
7.
4. 8.
10.
Задачи третьего уровня сложности по теме
«ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ»
№1.
Дано уравнение
где
частота ω>0, а параметр b
удовлетворяет условию:
.
А)
оценить, сколько корней имеет уравнение
в промежутке
,
если ω=1, аb=200.
Б) оценить интервал, в котором лежат все положительные корни уравнения, как функцию параметра b.
В) сколько всего неотрицательных корней может иметь уравнение в зависимости от величины параметра b, если ω=0?
№2.
Имеет ли положительный корень уравнение:
?
№3.
Является ли процесс h(t), задаваемый функцией
постоянным? Постройте его график.
№4.
Найти значения первого максимума и первого минимума при t>0 функции
.
Чему равно значение 10-го максимума? Укажите также значения времени t, при которых они достигаются.
№5.
Исследовать зависимость числа неотрицательных корней процесса
от величины постоянных параметров a,k,b.
№6.
Процесс u(t) при t≥0 задан аналитической формулой
где a, b – параметры процесса.
Найти все значения параметров a и b, при которых процесс u(t) имеет первый экстремум при t>0, равный ½.
Чему равно значение b в пункте 1, если a=0.
При каких значениях параметров a и b первый экстремум процесса u(t) при t>0 будет максимумом, а при каких минимумом?
Пусть первый экстремум процесса u(t) равен ½ и достигается при заданном значении времени t=t0>0. Выразите значения параметров a и b через t0.
Найти все значения параметров а и b, при которых процесс u(t) имеет первый максимум (минимум) при t>0 в момент времени t1=
(t1=
).
№7.
Докажите, что функция
Дифференцируема
в точке t=0.
Является ли функция f(t)
непрерывно дифференцируемой при всех
значениях t
R?
№8.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции
.
№9.
Найти
минимум функции
№10.
Сколько действительных корней имеет уравнение
?
№11.
Найти
все значения параметра q,
при которых график функции
касается осиOx.
№12.
Найти минимум функции и построить ее график
№13.
На
отрезке [a;b]
задана произвольная квадратичная
функция
.
Чему равна для нее «средняя точка» из
теоремы Лагранжа «о среднем значении»
для отрезка [a;b]?
№14.
На
отрезке [x1,x2]
заданы две произвольные квадратичные
функции
,
.
А) Чему равна для них «средняя точка» С из теоремы Коши для отрезка [x1,x2], если aq≠pb?
Б) Что геометрически для двух парабол f(x) и g(x) выражает условие aq=pb?
В) Чему равно значение С в пункте а), если aq=pb?
№15.
Является ли процесс u(t) , задаваемый аналитической формулой
стационарным (т. е. постоянным во времени)? Постройте график этого процесса.
№16.
Для
функции
, гдеa,b,c,d
– постоянные действительные коэффициенты
(а≠0) выполняется условие 3ас>b2.
А) Сколько экстремумов может иметь y(x)?
Б) Сколько действительных корней может иметь y(x)?
№17.
Установить общий вид графика функции y(x), производная которой y’(x) имеет вид
.
№18.
Исследовать поведение функции
и нарисовать ее график.
№19.
Вычислить
.
№20.
Процесс
u(t)
задан формулой
.
Стремится ли процессu(t)
с ростом t
к некоторому постоянному режиму u1(t)≡c0?
Если «да», то найдите с0
и нарисуйте примерный график u(t).
№21.
Известно,
что
при некоторыхx,
y.
Верно ли тогда, что
?
№22.
Доказать,
что уравнение
,
где а,b,c
– действительные числа и с≠0, имеет не
более трех действительных корней.
№23.
Дано
уравнение
.
А)
Сколько корней имеет это уравнение на
отрезке [0;
]?
Б)
Найти все корни, лежащие на отрезке
[0;
].
№24.
a,b,c
– длины сторон произвольного тупоугольного
треугольника. Чему равен
?
№25.
Найти
.
№26.
Исследовать
зависимость числа действительных корней
уравнения
от величины параметраk
R.
№27.
Найти
число действительных корней уравнения
.
№28.
Доказать,
что многочлен
имеет хотя бы один действительный
корень, если
.
№29.
Доказать, что любой многочлен нечетной степени n (n≥3) имеет хотя бы одну точку перегиба.
№30.
Доказать
что многочлен
не имеет кратных корней.
№31.
Пусть
f(x)
дважды дифференцируема на (0;+∞),
и
при
.
Доказать, что
.
№32.
Найти
y50(x)
и y(50)(0),
если
.
№33.
Найти
y10(0),
если
.
№34.
Источник
света А расположен на высоте h
над центром круга радиуса а. При каком
значении h
освещенность на границе круга будет
максимальной? (Для освещенности
использовать формулу
,
гду с – коэффициент пропорциональности,r
– расстояние от источника до точки, в
которой определяется освещенность,
– угол наклона луча к плоскости круга
в этой точке).
№35.
Докажите, что число е иррациональное.
№36.
Дискретный
процесс {un},
n=1,2,3,…
задается рекуррентной формулой
где
,
а
и
– два постоянных числа, причем 0<
≤
.
Стремится ли процесс {un}
к некоторому постоянному режиму?
(указание: Докажите, что последовательность {un} убывающая и ограничена снизу)
№37.
Найти
наименьшее расстояние между кривыми
и
.
№38.
При каких значениях параметра µ графики функций y=ln x и y= xμ имеют только одну общую точку?
№39.
Сколько
действительных корней имеет многочлен
при четном и нечетномn?
№40.
Пусть
многочлен P(x)
не имеет действительных коней. Доказать,
что многочлен
также не имеет действительных корней.
(Указание: примените к P(x) формулу Тейлора)
№41.
Доказать
неравенство
.
№42.
Чему равна наименьшая боковая поверхность прямого кругового конуса объема 1?
№43.
Многочлен
степени n
с действительными коэффициентами
удовлетворяет условию: P(x)≥0
.
Доказать, что таким же свойством обладает
многочлен
.
№44.
Доказать,
что корни многочлена
принадлежат отрезку [-1;1] и
то справедливо неравенство
.
№45.
Функция
f(x)
непрерывна на отрезке [0;1] и дифференцируема
на интервале (0;1). Доказать, что если
,
то
в некоторой точке
.
№46.
Доказать,
что для любого действительного числа
а
многочлен
имеет хотя бы один корень в интервале
[-1;1].
№47.
Доказать,
что квадратный трехчлен
при выполнении условий
,
,
не имеет корней на отрезке [-1;1].
№48.
Пусть
.
Известно, что
.
Докажите,
что
для любого
.
Укажите также значения коэффициентовa,b,c
и число
,
для которых
.
№49.
Многочлен
P(x)
удовлетворяет функциональному уравнению
.
Найти все такие многочлены P(x).
№50.
Квадратный
трехчлен
принимает только положительные значения.
Чему равен предел
.
№51.
При
каком значении параметра k
передел
равен 1?
№52.
Является
ли процесс h(t)
затухающим, если
?
№53.
Найти
все возрастающие функции, удовлетворяющие
условию
.
№54.
Доказать,
что функция
выпукла в интервале
.
№55.
Провести полное исследование и построить графики функций
А)
Б)
№56.
Доказать справедливость неравенств:
А)
Б)
В)
Г)
Д)
№57.
Доказать,
что при всех
справедливо неравенство:
.
№58.
Докажите справедливость неравенств:
А)
Б)
№59.
Вычислите пределы:
А)
Б)
В)
Г)
№60.
Вычислите предел:
№61.
Построить
кривую, заданную уравнением:
.
№62.
Провести полное исследование и построить графики функций:
А)
Б)
В)
№63.
Существует
ли такая непрерывная на всей вещественной
прямой функция f(x),
что
для всех
?
№64.
Функция
f(x)
определена на всей вещественной оси.
Известно, что для любого x
и любого h>0
.
Доказать, что
.
№65.
При
каком значении а функция
дифференцируема в точкеx=0?
№66.
При
каком значении а функция
дифференцируема в точкеx=0
?
№67.
Пусть f(x) – нечетная дифференцируемая на R функция. Доказать, что f’(x) – четная функция. Верно ли обратное утверждение?
№68.
Доказать,
что выражение
не изменится, если заменитьy(x)
на
.
№69.
Непрерывная функция f(x) выпукла вниз и f(0)=0. Доказать, что f(x)/x возрастает при x>0.
№70.
Пусть
f(x)
– дважды дифференцируемая на
функция и пусть для всехx>0
выполняется неравенство
,
а также неравенство
.
Доказать,
что
на
.