книги из ГПНТБ / Китайгородский А.И. Введение в физику учеб. пособие для студентов высш. техн. учеб. заведений

энергию молекулы кислородного газа при комнатной температуре, т.е. 10"1 3 эрг. Беря значения а = 1 0 0 А, /л=5,4 - 10~ 2 3 г, ( £ = 1 0 - 1 3 э р г , найдем, на каком квантовом уровне будет находиться микроча­ стица. Вычисление дает п=1000. Отсюда следуют два вывода. Вопервых, кривая гр2 будет иметь столь огромное число чередующихся максимумов и минимумов, что мы не сильно погрешим против ис­ тины, если скажем: вероятность пребывания частицы одинакова для всех точек ящика. Во-вторых, мы видим, что соседние уровни энергии будут очень близки.

Обе особенности, следующие из основного уравнения квантовой механики, стираются: распределение вероятностей для частицы становится практически неотличимым от огибающей кривой, энер­ гетические уровни сближаются настолько, что дискретность энер­ гии становится практически незаметной. Результаты квантовой механики начинают совпадать с результатами механики больших частиц. Это происходит всегда, когда энергия частицы соответст­ вует большому квантовому числу. Мы пришли к важному принципу квантовой механики: при больших квантовых числах результаты квантовой механики совпадают с механикой «обычных» частиц. Это значит, что при больших п понятие траектории частицы и дру­ гие особенности, свойственные обычной частице, применимы и к микрочастице.

§ 183. Что дает решение уравнения Шредингера

Мы уделили относительно много места движению частицы в по­ тенциальном ящике. На этом простейшем примере было легко по­ казать основные черты квантовомеханического метода рассмотре­ ния задач. Если электрон (или другая частица) может совершать движения в ограниченном объеме, то характерные особенности решения уравнения Шредингера сохраняются, какую бы форму ни имела в этой области потенциальная кривая. Во всех случаях по­ тенциальную яму можно пересечь некоторым количеством гори­ зонтальных прямых — возможных энергетических уровней. В прин­ ципе уравнение Шредингера позволяет вычислить эти значения энергии, если только задана форма потенциальной ямы. Самый низкий уровень дает нулевую энергию частицы для данной потен­ циальной ямы.

Для каждого энергетического уровня номера п квантовая меха­

время измерения частица успеет многократно побывать во всех точках пространства, то гр2(л:, у, z) можно рассматривать как плот­ ность «облака частицы». Электронное облако, окружающее атомное ядро, есть нечто вроде фотографии атома, снятой с длительной эк­ спозицией. \р-функция является амплитудой волны, сопоставляе­ мой частице. В примере электрона, находящегося в потенциальном

Ах-Аржп. Неопределенность в импульсе однозначно связана с неопределенностью в кинетической энергии, так как /С=р2 /(2/п). Если только Д/С есть величина порядка U—$, где^ 1 — энергия ча­ стицы, a U — высота барьера, то частица, находящаяся слева от барьера (см. рисунок), имеет неопределенность в координате

Если ширина барьера d меньше Ах, частица может быть обнару­ жена по другую сторону барьера. Частица как бы проходит по тун­ нелю, проложенному сквозь барьер на уровне полной энергии^.

Итак, условие туннельного перехода заключается в том, что

dV2tn(U—<§) < h, т. е. ^V2tn{U — S) < 1.

Как нетрудно видеть из примеров, явление имеет значение только для микрочастиц.

zlHV2m (U-e) d

Є

Туннельный эффект является строгим следствием уравнения Шредингера. Решение этого уравнения показывает, что т|)-функция имеет отличные от нуля значения и в тех точках пространства, где 1!><§. Значит, с некоторой вероятностью, тем меньшей, чем больше U—<§, электрон может быть найден и в тех областях пространства, где на языке «обычных» частиц он обладал бы отрицательной кине­ тической энергией.

Г Л А В А 28

СТРОЕНИЕ АТОМА

§ 185. Энергетические уровни атома водорода

Один электрон, «вращающийся» в поле ядра. Казалось бы, простая задача. Однако даже для этого простейшего атома решение уравнения Шредингера очень громоздко, и мы не имеем возможно­ сти его проделать. Что же касается результатов этого расчета, то мы их обсудим довольно детально.

Между электроном и ядром действует электрическое кулоновское притяжение. Потенциальная энергия электрона в поле ядра равна U=—ёг1г, где е — заряд электрона (такой же, как и заряд протона), а г = Ух2 + у2 + z2 — расстояние электрон — ядро.

Уравнение Шредингера имеет вид

Атом является своеобразным вариантом потенциальной ямы. Она изображена на рис. 213. Это — яма без дна и с расходящимися бор­ тами. Борта ямы — гиперболы, ось г=0 является одной из асимп­ тот. Электрон внутри атома обладает отрицательной потенциальной

л I

•г

Рис. 213.

энергией*), поскольку минимальное значение потенциальной энер­ гии стремится к бесконечности при г -»- 0, а максимальное значение равно нулю.

На рис. 214 изображены энергетические уровни, полученные решением уравнения Шредингера. Существенной особенностью решения является сближение уровней по мере возрастания кван­

достоинство такого выбора. Для разных атомов одинаковое значение потенциаль­ ная энергия имеет только при /•-»(». Естественно это общее значение выбрать за нуль.

Формула энергетических уровней может быть представлена в виде

2л2те*

№п2

По историческим причинам принято эту формулу записывать в виде

40000

60000 \

' 1

Г

80000 4

100000

Рис. 214.

Таким образом, не только потенциальная, но и полная энергия электрона в атоме оказывается отрицательной. Электрон атома может находиться на уровнях, нумеруемых числом п. Чем больше п, тем выше энергетический уровень, тем большей энергией обладает электрон. Электрон свободного атома водорода, не подвергающе­ гося каким бы то ни было воздействиям, находится на самом низ­ ком энергетическом уровне £І = —cRh.

что и наблюдается на опыте (рис. 215). Расхождение этих теорети­ ческих цифр с опытом не превышает пяти единиц в последней цифре.

§ 186. Квантовые числа

Решение уравнения Шредингера позволяет найти не только все энергетические уровни (§п атома водорода, но и все его волновые функции. В основном состоянии электрон характеризуется одной

этом /г2 -кратно. Этот термин означает, что энергии <^2 соответствуют четыре гр-функции, энергии £ 3 — девять и т. д. Каждое из этих состояний может реально осуществиться.

Чем же отличаются друг от друга п2 состояний с одним и тем же квантовым числом п? Квантовая механика дает ответ на этот вопрос. Состояния с одним и тем же значением энергии $ п могут отличаться величиной вращательного импульса электрона, а также значением проекции вращательного импульса на какое-либо на­ правление (это направление выделяется среди прочих просто тем, что мы его выбрали).

Результат решения уравнения Шредингера для атома водорода таков: вращательный импульс электрона имеет дискретный ряд значений, которые даются, формулой

где / может принять любое целое значение от 0 до п — 1, если элект­ рон находится на п-м уровне.

знание L и L z исчерпывает возможные сведения о вращательном импульсе, иначе говоря, имеет смысл одновременное задание только лишь этих двух величин.

Итак, состояние электрона в атоме характеризуется тремя кван­

Состояния со значениями 1=0, 1, 2, 3, ... обозначают соответ­ ственно буквами s, р, d, f, ... Число впереди буквы используется

для указания главного квантового числа. Например 3/7-состояние —

Энергетические переходы у водородного атома определяются ис­ ключительно значениями главного квантового числа п. Чтобы числа /, т стали играть роль, нужно «снять вырождение», т. е. добиться такого положения, при котором состояниям с разным вращательным импульсом соответствовала бы разная энергия. Для атомов водо­ рода это можно сделать, помещая их в магнитное поле. У других атомов, как мы увидим ниже, вырождение снимается взаимодей­ ствием электронов.

рактеризующих различные возбужденные состояния этого атома.

т. е. сферической симметрии электронного облака. Уравнение Шредингера и дает такой результат: функции і|зи , \pis, ty3s и т. д. сфери­ чески симметричны.

На рис. 216 построены кривые радиального распределения плотности электронного облака (или, что то же самое, плотности вероятности пребывания электрона в данном месте). По оси ординат отложена величина 4nr2 ij)2 , называемая радиальной плотностью; очевидно, 4nr2%p"dr есть число электронов *), заключенных в шаро­ вом слое между радиусами г и г-{-dr. Кривые радиальной плотности

*) Нас не должно смущать дробное число электронов. Это только манера го­ ворить. Строго говоря, 4nr'2ty*dr есть вероятность пребывания электрона внутри шарового слоя с толщиной dr.

показывают, что в состоянии Is имеется один максимум электронной плотности, у атома водорода он находится на расстоянии 0,53 А от ядра. В состоянии 2s имеются два максимума плотности; правда, в основном электрон будет внутри второго максимума. Наконец,

Рис. 216.

в состоянии 3s имеются три максимума плотности, из которых наи­ более «посещаемым» является дальний.

С возрастанием главного числа п электронное облако расплы­ вается.

присутствуют оба. Рисунок дает некоторое представление о симмет-

рий электронного облака. Она одинакова для всех р-состояний. Различие в главном квантовом числе сводится лишь к изменению характера радиального спада плотности: чем больше п, тем больше

Известно, что атомы расположены в таблице Менделеева по воз­ растающему числу электронов в них. У гелия два электрона, у ли­ тия — три, у бериллия — четыре. Какие предсказания о структуре атомов можно сделать с помощью уравнения Шредингера?

На первый взгляд проблема может показаться безнадежной. Строгая процедура уже для гелия должна была бы заключаться в решении уравнения Шредингера для нахождения волновой функции с шестью переменными уі, ги х2, у2, z2), квадрат которой дол­ жен был бы дать значение вероятности нахождения первого элект­

Было бы крайне желательным говорить отдельно о каждом элек­ троне атома и описывать каждый атомный электрон своей волновой функцией ty(x, у, z). Но как это сделать? Очевидно, надо рассмат­ ривать движение одного электрона в поле ядра и остальных электронов. Это эффективное поле можно считать обладающим сферической симметрией. Поэтому описание свойств такого электрона не будет отличаться от описания электрона водородного атома.

Разумеется, задача все же будет довольно сложной: для различ­ ных электронов эти эффективные поля различны, а главное, их надо определять все одновременно, поскольку каждое из них зависит от состояний всех остальных электронов (подобное эффективное поле называют самосогласованным). Такой подход к задаче о много­ электронном атоме позволяет в значительной степени сохранить описание свойств электрона атома водорода для описания поведения электрона сложного атома.

Состояние каждого электрона будет характеризоваться теми же квантовыми числами, что и у водорода. Однако в случае атома, состоящего из нескольких электронов, взаимодействие электронов снимает вырождение и уровни с разными / и т будут обладать раз­ ными энергиями.