книги из ГПНТБ / Китайгородский А.И. Введение в физику учеб. пособие для студентов высш. техн. учеб. заведений

Так как электронные пучки ие проникают в вещество сколько-нибудь значи­ тельно, то электронография является удобным способом исследования структуры поверхностей. Электронография позволяет изучать и расположение атомов в крис­ таллах, правда лишь в тех случаях, если структура несложная.

Нас интересует не столько применение электронографии, сколь­ ко сам факт дифракции электронов. Возвращаясь к нему, поставим самый важный вопрос: какова длина волны электронного пучка? На этот вопрос отвечает опыт. Меняя ускоряющее напряжение U, мы изменяем длину волны, при этом Я оказывается обратно пропор­ циональным V U, а именно

если Я выражать в A, a U — в вольтах.

Еще в 1924 г., до открытия дифракции электронов, Луи де Бройль выдвинул смелую гипотезу: он предположил, что двойствен­ ное поведение электромагнитного поля, проявляющего себя не толь­ ко в виде волны с частотой v и длиной Я, но и в виде частиц, фотонов

нить и на частицы вещества. Опыты по дифракции электронов под­ твердили это предположение. Формулу длины волны электронов

Я = А = ±

рmv

Подстановка значений е, т и h в системе СГС с одновременным пере­ водом значения U в вольты дает для константы приведенное выше значение. Этим бесспорно доказывается справедливость гипотезы де Бройля.

Поскольку дифракция на кристалле возможна тогда, когда длина волны по по­ рядку равна периоду кристаллической решетки (—1 А.), видно, что дифрагировать на кристалле могут электроны, обладающие энергиями порядка сотен электронвольт.

§ 180. Основные идеи квантовой механики

Итак, пучок электронов может вести себя как волны с длиной Я=Уг/р. Является ли это поведение типичным для совокупности боль­ шого числа электронов или волновые свойства присущи отдельному электрону? Д л я ответа на этот вопрос можно сравнить электроно-

«обычной» частицей? Используя принцип неопределенности,находим, что AvttlQ8 см/с. Таким образом, суждения о скорости атомного электрона могут иметь лишь самый общий характер. Лишены со­ держания понятия траектории электрона в атоме, пути перехода электрона из одного энергетического состояния в другое (см. ниже) и т. д. Короче говоря, у атомного электрона признаки «обычной» частицы малозаметны.

Допустим теперь, что электрон попал в камеру Вильсона и мы грубыми средствами хотим проследить его траекторию с точностью

электрон летит со скоростью хотя бы 1 км/с (а тем более если это бы­ стрый электрон), то неопределенность указанного порядка роли не играет и траектория электрона приобретает смысл. Так же мы можем обсуждать пути электронного луча в микроскопе, говорить о траек­ тории электронов в электронно-лучевой трубке, и при этом не придем в противоречие с «классической» картиной.

Протоны, нейтроны, атомные ядра и атомы обладают в тысячи раз большей массой. Возможности классической трактовки этих частиц несколько шире. Так, например, для а-частицы, масса ко­ торой примерно в 7000 раз больше массы электрона,

Ах-Av > Ю - 3 .

Можно ли спрашивать, в каком месте атома проходила через него траектория а-частицы, проникшей в вещество? Желая начертить траекторию с точностью Ю - 8 см, мы располагаем сведениями о по­ перечной слагающей скорости с неопределенностью 10е см/с= = 10 км/с. Для быстрой а-частицы (20 000 км/с) эта неопределенность

торого порядка 1 м/с, можно проследить и начертить траекторию центра тяжести молекулы с точностью порядка 1 А.

Не приходится и говорить о том, что даже для пылинки, види­ мой в микроскоп, принцип неопределенности уже не будет иметь практического значения.

Возможности одновременного измерения двух физических ве­ личин. Не следует думать, что невозможность определения траекто­ рии частицы связана с каким-либо несовершенством измерения и что в дальнейшем физика справится с этой задачей. Отсутствие смы­ сла в одновременном идеально точном задании некоторой пары фи-

зических величин является особенностью микрочастиц. Отличие ми­ крочастицы от «обычной» частицы и сказывается в том, что методы описания поведения «обычной» частицы становятся непригодными для микрочастицы. Только для классической частицы имеет смысл одновременное задание и определение координаты и импульса.

Принцип неопределенности имеет более широкое значение, не­ жели способ прикидки возможности или невозможности построения траектории частицы. Органически входя в математический аппарат квантовой механики, принцип неопределенности позволяет выяснить возможность одновременного измерения любых физических величин, а не только координаты и импульса.

Прежде всего, уточним принцип неопределенности в отношении координаты и импульса. Следует вспомнить, что у частицы имеются три координаты и что вектор импульса имеет три компоненты. Вме­ сто одного соотношения, обсуждавшегося выше, надо написать три соотношения, а именно:

осям, а также всех составляющих импульса. Одновременное задание

служить вращательный импульс частицы (другие термины: момент количества движения, момент импульса).

Пусть частица вращается около некоторой оси с вращательным импульсом L . Это движение можно рассматривать как совокупность трех вращений около трех взаимно перпендикулярных осей с вра­ щательными моментами L x , L v и L z . Если мы имеем дело с «обыч­ ной» частицей, то, разумеется, можно раздельно определить все три компоненты вращательного импульса, поскольку можно про­ следить за траекторией частицы. Для микрочастицы подобное опре­ деление невозможно, а одновременное задание всех трех компонент вращательного импульса бессмысленно. Действительно, допустим на минуту обратное: все три компоненты вращательного импульса известны. Но тогда по трем составляющим можно построить и пол­ ный вектор вращательного импульса. Если же это сделано, то этим определена плоскость, в которой движется частица. Но если известна эта плоскость, то мы знаем в точности координату частицы вдоль оси вращения и одновременно отмечаем, что скорость поступательно­ го движения вдоль оси вращения равняется нулю. Это противоречит принципу неопределенности, связывающему координату и им­ пульс.

Таким образом, для микрочастицы характерна невозможность одновременного определения трех компонент ее вращательного им­ пульса. Какие же сведения в отношении вращения могут быть зада­ ны одновременно? Принцип неопределенности отвечает на это сле­ дующим образом: любая из компонент и абсолютное значение (длина вектора) вращательного импульса. Из этого правила имеется одно исключение: для микрочастицы может быть установлено полное от­ сутствие вращения, т. е. равенство нулю вектора вращательного импульса, иначе говоря, равенство нулю всех трех его компонент одновременно.

Энергия и промежуток времени. Оперируя принципом неопре­ деленности, связывающим координату и импульс частицы, можно предположить, что аналогичное соотношение должно касаться в какой-то мере и энергии. Действительно, в механике обычных ча­ стиц для вычисления полной энергии как суммы кинетической и потенциальной, необходимо было знать одновременно и положе­ ние частицы и ее скорость. Для микрочастицы это невозможно. Однако полная энергия частицы может быть найдена целиком, без разделения на части, и на основании только что сказанного естест­ венно ожидать, что это может быть сделано с некоторой неопределен­ ностью Л<£. Если думать, что принцип неопределенности сохранит свою форму, то из соображений размерности следует, что соотно­ шение неопределенности для энергии должно иметь вид

где Дт есть промежуток времени.

Что это за временной интервал и какой смысл надо вложить в соотношение неопределенности для энергии? Под Дт надо подразу­ мевать время, в течение которого микрочастица обладает энергией £±А£. Неопределенность энергии микрочастицы определяется вре­ менем пребывания в этом энергетическом состоянии. Существенных

Атомный электрон находится сколь угодно долго на своем самом низком (основном) энергетическом уровне (подробнее см. ниже). Поэтому энергия основного состояния фиксирована вполне жестко. На более высоком уровне электрон задерживается весьма недолго. Энергия его в этом состоянии будет $±А$. Соответственно с этим частота, излученная атомом, при переходе с более высокого на более

кросистемы в возбужденном состоянии. Опыт показывает, например, что ширина спектральных линий в рентгеновской области имеет порядок 10 эВ. Тогда время жизни в возбужденном состоянии имеет порядок h/A$~ 10~le с.

§182. Потенциальный ящик

Всвое время (§ 13) мы познакомились с потенциальными кри­ выми, наглядно передающими условия движения частицы. Простей­ шей кривой такого типа является прямоугольная кривая, так на­ зываемый потенциальный ящик. В таком ящике потенциальная энергия имеет неизменное значение на протяжении некоторого от­ резка а (для простоты ограничимся линейной задачей). На бортах ямы потенциальная энергия меняется скачком. Если стенки ящика очень высоки, то можно считать потенциальную энергию внутри

Положим, что в таком ящике находится один электрон (или любая другая частица), и по­ пробуем решить вопрос о ха­ рактере его движения. Мы ре­ шаем простейшую одномерную задачу и полагаем, что электрон движется лишь вдоль оси х. Ес­ ли бы к электрону были приме­ нимы законы механики Ньютона, то такой электрон двигался бы непрерывно сначала в одну сто­ рону ящика, упруго отражал­ ся бы от стенки, затем двигался бы в обратную сторону и т. д.

Иначе быть не может с точки зрения механики Ньютона, поскольку при (7=0 кинетическая энергия mv2/2 будет постоянной. Таким образом, по поводу возможных движений в потенциальном ящике механика «обычной» частицы приводит к следующим заключениям. В ящике возможно движение с любой кинетической энергией mv-12; частица может также покоиться в ящике. Для каждой данной энер­ гии движение будет равномерным и будет происходить то в одну, то в другую сторону, причем в конце дозволенного интервала скорость меняется скачком по направлению.

Посмотрим теперь, какой ответ о движении электрона в таком ящике даст квантовая механика.

Поведение электрона мы должны характеризовать функцией ip, квадрат которой укажет вероятность нахождения электрона в какойлибо точке дозволенного отрезка. Так как внутри ящика t / = 0 , то уравнение Шредингера упрощается и записывается в виде