книги из ГПНТБ / Техника высоких напряжений учеб. пособие

Таким образом, напряжение и ток в любой

точке линии на

каж­

дом k-м проводе

можно представить

в

виде

суммы

двух

волн

(/г = 1 , 2 , ..

п):

uk {t,

x) — uvl,k [t

+

и2і, к ^

+

т~) ’

(10.15)

ік (і,

x) =

/]2, ft( / - £

) + / 2I, * ( / + £ ) .

(10.16)

Решение

уравнений

однородной

линии

без

потерь

в виде

бегу­

(10.11)

связаны

между

собой

линейными

зависимостями (/г=1,

2, . . . . п):

П

П

»»12, к

^Ai»l2, i >

»»21, к

®Ai»'2l> i >

(10.1/)

i = 1

i = I

в которых для краткости опущены

аргументы t — (х/с) и

t + (x/c).

Решая эти уравнения относительно токов, а также непосред­

ственно

из (10.2)

имеем:

П

П

»12. к= 2 УкіЧи, О

»21. к~

2

УкФіи «.

(10.18)

/=1

/ = І

где

укі = ф кі—взаимная (кфі)

и собственная (/е = і)

волновые

стания координаты X (из точки 1 в точку 2),

а функции u,lt ,. (/ + х/с)

и i21,k(t + x/c)

определяют

аналогичную волну, но бегущую в сто­

рону’ убывания

координаты

х (из точки 2

в точку 1). За положи­

а ток и напряжение обратной

волны і21 и и21 имеют противополож­

ные знаки; знак же для

волновых

сопротивлений и проводимостей

принимается

всегда совпадающим со знаком Мкі и ркі:

wкі'

Мki

> о.

Уи-

fin

£

0, укк -

Ѵ й

■>0. (10.19)

W i

Уравнения (10.15), (10.16), (10.17)

можно представить в

виде:

«а(t,

ж)+ £

w*i4 V’ x) = 2ui2. k [і'— т ) ’

t=l

( 10. 20)

П■

U k (t,

X)—

X

“W'/ (*> X) = 2U21. k

1=1

Из

(10.20)

следует,

что на

прямых,

построенных

на

плоскости

(х, t)

и описываемых уравнениями t — x-\-xjc,

t = т —х/с (т = const),

ek (t)==Ek

(/е=1, 2,

. .., п) с внутренними

сопротивлениями zk

получим следующие

граничные

условия:

при

х = 0

при

И 12, ft +

И 21, к —

E fc

Z ft

( ^ 1 2 , ft + ^ 2 1 , к ) >

( 1 0 . 2 1 )

X — > ОО

Z7ia< ьв-р*!' +

Z721I ltePx/c = 0,

712I ke-Pxic +

72і, керх/с = 0.

(10.22)

Из

условия

(10.22)

имеем:

г7н ,* =

о,

721і/; = о.

(10.23)

Теперь

выражаем напряжения

через токи согласно (10.17) и решаем:

граничные

условия

при х = 0 относительно токов:

7г, к — А*, я/Д> U12, к — Ек — гкІ12>к'

(10.24)

W 11 + Z1 W12

Щ п

W 11 + zi ■ ■Ex ■ • Щ п

д = Щ і

w22 + z2 w2n

>

&k, E — w21

■-E2. ■ Щ n

Щ п

Wn2

w nn + Zn

Щ п

.. Ë n.

где

Д—составленный

из волновых

сопротивлений определитель,

/ >

І

/ і

=

^

. 3 +

2

УэДг>

( 1 0 . 2 6 )

k = 1

І = s+ I

n

I k — ^ э У э к " Ь

2

У і к ^ і

( & =

S - j - l ,

s - } - 2 ,

n ) ,

( 1 0 . 2 7 )

s

s

l= s-hl

где уэ,.3 = 2

2

уik— собственная

волновая проводимость

эквива-

fc=l і -

1

S

лентного провода; г/эА =

2

Уік— взаимная

волновая

проводимость

эквивалентного

и k-ro

г = і

проводов (/e> s).

Формулы

( 1 0

. 2 6 )

и ( 1

0 : 2 7 )

можно значительно упростить,

приняв

в первом приближении,

что токи

в

объединяемых проводах также

1 Индексы

«12» для

краткости

опущены.

одинаковые.

Складывая

первые

s

уравнений

(10.17)

при

k = \ ,

2,

. . . ,

s,

имеем:

^9 = ®э. J » +

2

Ji>

(10.28)

п

t= S+ 1

=

w,Ji

n),

э +

2

(/e =

s + 1, S +

2,

.. .,

(10.29)

t = S + 1

где шэ. э

-г'У'

—собственное

волновое

сопротивление

экви-

fc=i(=і

, S

валентного

провода; тэк ж — ^

wik — взаимное

волновое

сопроти-

і ~

1

вление эквивалентного и /г-го проводов (k > s).

Если первые s проводов объединены, а остальные изолированы,

то

токи

в последних

отсутствуют,

но возникают

индуктированные

напряжения. Так,

например, для двухпроводной линии имеем:

Если і2 =

0,

^1 = ^114+ ^12^2,

(10.30)

то

и„ = к„1и1,

Ц '1 2 = in ( P l ; / r f l2 )

(10.31)

“ >U

ln ( 2 / і1/Ѵ 1)

’

где я2І—коэффициент связи провода 2 относительно провода 1.

Аналогично, коэффициент связи £3(21) провода 3 относительно

проводов

(тросов)

1

и 2 (wu « w22), находящихся

под

одинаковым

напряжением и1= и2,

равен

«

Э _

Щз (Ѵг2 — Щ2)+®23

^

k3 l+ k 32

(10.32)

•

И\

ІИЦ052---Ш І»

1 + ^ 2 1

индуктивность и др.). Выведем правило эквивалентной

волны

(рис.

10.4, а): .

котором сходятся п однопроводных

линий

1)

имеется

узел х, в

без потерь с

волновыми сопротивлениями wn = w1, . . . , wii = wi, . . .

. . . ,

wnn — wn

(взаимные

волновые сопротивления wki = 0,

k ^ i ) \

4)

требуется определить

напряжение

в

узле

их (і) и уходящие

из

узла волны

их1, . . . , ихі..........их„.

направление

токов: в ли­

За

положительное

примем следующее

ниях— к

узлу

X] в сопротивлении

гх—от

узла

х в

землю. Тогда

уравнения

волн

будут иметь

вид

И/дг == ЙУ/І/лг. Ыдг/=

—

(10. 33)

{і ~

1 > 2,

. . . ,

и),

а

граничные условия

в узле х — вид

П

их =

«/л- +

іх = 21 (Чх '+**/)•

(10.34)

і= 1

Исключаем

из уравнений

(10.33), (10.34)

токи ііХ,

И

напря-

жения ихі. При этом имеем

п

п

п

(10.35)

Таким образом,

получаем правило эквивалентной волны

I

nx + waix = 2uax=w3iK,3,

-

(10.36)

X

П

сопротивление

экви-

— = аух Кw„ II. . . I] wn—волновое

' £= I

Ш'

П

валентной линии; иах— 2

(wa/wi)uix— эквивалентная волна,

прихо-

£=і

дящая в узел х по эквивалентной линии.

В более общем случае при наличии взаимной связи между про­

водами линии

(wki^= 0), воспользовавшись формулами (10.18), после

аналогичных

преобразований

получим

также (10.36),

причем wa

и иэх определяются

по формулам:

п

п

п

п

w =

i= 1

I

Укі>

^ э х ~ ^ э

Z LJ ^ к х

Ук і'

(10.37)

3

/е= 1

к —1

t = 1

дели с сосредоточенными параметрами. Искомые

значения

их и іх

определяются на

основании

совместного

решения

(10.36) и

уравне­

ний связи между их и

іх,

после

чего

напряжения

уходящих

из

узла X волн определяются

из

граничных условий (10.34):

ихі =

их— иіх.

(10.38)

б. Коэффициенты преломления и отражения

Если имеется только

одна линия, а zx— линейное сопротивление

(в общем случае—операторное: Ux — zxIx),

то,

переходя в (10.36)

и (10.38) к изображениям, получим:

UX

V-lxUi.v>

ß.vi^i.r> °0.v

ß^l "Ь 1 >

\

(10.39)

a l x =

2 z x l ' ( w i + Z A-)> ß*i =

(z*— l ü J / t a +

Wj),

j

где alx— коэффициент преломления

волны,

приходящей из

точки

1

преломления

и отражения

по току:

I X

іх > 1 X i ß x l ^ i x ’

\

(10.40)

a’lx=

2w1 (w1+ zx),

р ;г = К —zx)!{wl - f zx) = —ß.vl.

J

При

Rx > ш1 напряжение отраженной

волны имеет тот же знак,

что и напряжение приходящей волны,

а

ток — противоположный

знак. В

пределе,

при

Rx —>-оо,

имеем:

ссгх

у 2,

ßÄl

у 1,

их1

у илх,

их

у 2и1х.

(10.41)

При

Rx < ш>г,

наоборот,

напряжение

отраженной волны

имеет

обратный знак, а ток —тот же знак. В пределе,

при Rx —y 0,

имеем:

« 1*

у

ß^i

*■

К их1

►

иІл;, их ►0.

(10.42)

При

Rx = wx отраженная

волна отсутствует,

и концевое устрой­

ство «согласовано» с линией.

1.

В узле включено п о с т о я н н о е а к т и в н о е с о п р о т и в л е н и е .

Если

zx — Rx = const, то ix — uxIRx и тогда

П

П

\

„ _ Ѵ

2w3 Rxiiix _ _V

ам//.

(10.43)

^ ііщ +RX)

а-іх =

2 / ? э М - =

2 / ? ( _ /)/(/?(_ ,■ ) +

и Д ,

где а,-А.—коэффициент преломления для

волны н/Л.,

приходящей по линии с вол­

новым

сопротивлением w; в узел х;

R 3= Rx ||

Цад., || . . .|| wn— параллельное со­

единение активного и всех волновых сопротивлений

в узле

х; /?(_/> =

7?* ||

|| . ..

... Иш,--! II ге>,-+1 || . . -II иі„—параллельное

соединение

активного

и

всех

волновых

сопротивлений

в

узле, за

исключением сопротивления w,,

по которому

приходит

волна

и,-х. Таким образом, /?<_/, имеет тот же

смысл, что и гх

в формуле (10.39),

т. е. формулы

для а 1А- и а,-х

аналогичны. Однако

формула

(10.43) более удобна

для случая, когда в узле сходится ряд линий

с различными ш,-.

2.

В узле

включена е м к о с т ь .

Полагая

z * = l /рСх,

I х = pCx Ux ,

(10.44)

переходя в (10.36) к операционным

изображениям

при

нулевых

начальных

условиях

и воспользовавшись теоремой

свертывания, имеем

_

t

и х = 1-+ р Т х ^

их{() = — f x

Х [ u3X(x)e~x/Txdx,

(10.45)

где T x — Cxw3■—постоянная

времени

заряда

емкости;

ux (t)

может быть

найдено

аналитически, численно или графически.

.

В качестве

примера на

рис. 10.5 приведено графическое построение для ux {t)

по формуле

(10.45). Искомую кривую

их {і)

описывает точка

А

касательной

AB.

Точка

В скользит по заданной кривой

ср (т) = 2аЭЛ-(т), а проекция AB на ось

вре­

мени т (АС)

остается

постоянной и равной Тх —смещению начала

отсчета т

отно­

сительно і.

При этом

lg

Ѳ = ВС/АС = [ср (тв) — их {tA)\lTx = u'x{tA)-

Учитывая,

что іа —хв

и переходя

к операционным изображениям,

имеем

U x V ) = U x ( p ) = < p ( p W + p T x ).

Практически

графическое

построение целесообразно выполнять на миллимет­

ровке,

задаваясь

конечными интервалами Д/* = Ат*

(/е =

1,

2,

... , я). Для умень­

шения

погрешности

графического

построения

отрезки

касательной

проводятся

в точки

В/{

(рис. 10.5, б),

соответствующие

серединам

отрезков

Ат*.

Сами от­

резки

Дт/г = Д ^ выбираются достаточно малыми, особенно на участках значитель­

ной кривизны искомой их (t), соответствующих большим углам поворота последо­

вательных положений касательной А^В^ и Лд,+1В^.+1.

Полагаем

3.

В узле включены и н д у к т и в н о с т ь с

с о п р о т и в л е н и е м .

zx = pLx -\-Rx ■

При

нулевых

начальных

условиях

имеем

Ux = (pLx -\-Rx) Iх

и соответственно

получаем

их= pLx + R x + w 3 ^ЭЛ— ^ВЛ/

J + p T x

• Wg+ Rx

P L X - \ ~ R X

07 7

о 7 7

1

2сС/ э С /Эдг

= 2(УЭА— Фі (р)== ид. (і) — 2иэх (0 —фі (0-

(10.46)

Оригинал

ф і(0= = ф і (р)

определяется

аналитически,

численно

или

графи­

чески—аналогично случаю 2.

в е н т и л ь н ы й

р а з р я д н и к .

Разрядник

содержит

4.

В узле

включен

искровые

промежутки с вольтсекундной

характеристикой

ua = ua(t) и последова­

характеристикой

и„— и„(ір). Напряжение на нем можно определить графически

(рис. 10.6, а).

искровых промежутков разрядника

в формуле (10.36)

іА.= ір = 0

До

пробоя

и их = 2иь х ((). Момент пробоя

определяется в первом приближении по пере­

сечению

кривой

их = 2идх (t)

с вольтсекундной

характеристикой

Ud= ud (0

боя

искровых промежутков напряжение их определяется согласно стрелкам нй

рис. 10,6, а

и формуле (10.36) при заданных

2uax(t) и иА = ир= мр (ір).

боя

5.

В узле включены в е н т и л ь н ы й

р а з р я д н и к и е м к о с т ь . До пр

искровых

промежутков ток

через

разрядник

ір= 0 и напряжение на емкости

определяется

в соответствии с

рис.

10.5. После

пробоя искровых промежутков-

dux (i)

2идх (()

‘р ( 0 щ — их (0 В С

(10.47)

—

=

=■І С = ПІ’

их (і + Ы) = их (0 +"g" (/i + 2/4+ 2/3 + W>

(10.48)

где h = f[t,

их (t)]\ u = f [ н - у ,

;

U = f l t + M ,

ux (t)+M h]

,

Д/2 „

д/з ,,,

Д/4

и*(<+ Д0 Я

+

+

+ з г " Л'

(/)+ Т Г " * {t)- (10-49)

В простейших

случаях, нап­

ример при

одном

участке с ли­

нейными граничными условиями

по концам

этого

участка, спра­

ведлив принцип наложения. При

этом решение удается

предста­

вить в виде разложения в ряды

волн. При

быстрой сходимости

можно

ограничиться

несколь­

кими первыми членами, при мед­

2)

ленной сходимости — просумми­

ровать

ряд

членов и получить

7

Z 1 2

3

Z j

4

решение в аналитической форме.

Рис. 10.7. Характеристическая сетка для

С течением времени число сум­

мируемых волн существенно воз­

одного участка линии

с

постоянными со­

растает.

Поэтому

важно иметь

противлениями z1~ w li

z2=w2t z3=w3:

наглядную

мнемоническую схе­

а — схема с

распределенными

параметрами:

б — «характеристическая

сетка»;

в — эквива­

му, чтобы

учесть

все необходи­

лентная схема

при

г — эквива­

мые преломленные и отраженные

лентная

схема при w2» ш ь

w2 » дуз

волны. Такой схемой

является

ческая сетка», приведенная

на

рис. 10.7, б.

Напряжения в точках 2

и 3 (см. рис. 10.7, а) выражаются соглас­

но (10.39) в виде суммы волн:

^2 (0 — ^12 (О “Ь ßäl^l2(О ”Г *-^12®32

ß23 Рз2^12

2А^23),

/і= 1

(10.50)

^3 (0 — ^12^23

/і = 0

РззРз2 ^12

^^2з)»

где а 12 =

2йУо

2шо

йУо—

ß2

ß =

СС.,„ = ----

ß« =

„

>

“J

ЬУ.2+ йУ3

Шо-J-mi., ’

123

Нз

оУт —с£Г»

’

Р32

-коэффициенты

преломления

и отражения

в! узлах

2 и 5;

— w

t23= — =

і 23Ѵ ~ Ц с і= J /

L

Z

I

время

пробега

волны по

линии

линии

Ls\ п— число

последовательных

отражений от точек 2 и 3

к рассматриваемому

моменту времени

t,

причем

2t23n <

t <

<С 2/,3 (я -f-1).

случая прямоугольной

начальной

волны

и12,

Для

простейшего

«о (0 =

______________(а^з

ш2)

/о

р

\л

ИХі+Юз К+Ш 2) К+Юз) U 23|j32;

(10.51)

2ш3

и3 (0 =

w i +

[1 — (ßwßa*)"+i

4-12

U34 (O'

w 3

В частности при

одинаковых

знаках

ß23 и ß32, как это

следует

из (10.51), напряжение в точке

3 и волна,

проходящая на

линию

затухания всех

отражений,

так как

|ß 23| < l , | ß32| < l , на линии

устанавливается

напряжение,

равное

lim u2(i)—

lim «3(t) = a13u12,

(10.52)

t

~+ CO

t -*■ CO

где

a13 = 2w3 (w1-\-w3)— коэффициент

преломления

при

отсутствии

вставки

123.

Волну

ступенчатой

формы

можно приближенно

представить

в виде

плавной кривой

иЗІ яз и (t),

которую

проведем

через

значе­

ния

изі,

соответствующие моментам

прихода

последовательно

отра­

женных

волн. Имеем:

t = 2t23(n+l),

иЗА^ и экк = ( \ - е - ‘/ г

) - ^

-

^

(10.53)

Сопоставляя яэкв с

изі по (10.51),

получим

і

I

/ wx—w2

w3— w A

t

2to3

'д ш Н ш ,

ш3-|-Wo)

T

’