Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Семенов Н.А. Техническая электродинамика учеб. пособие для электротехн. ин-тов связи

.pdf

Скачиваний:

302

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

23.29 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 499 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Формально уравнения электродинамики допускают также решение в виде сферических волн, сходящихся к источнику. Такие волны фи зически нереальны, так как нарушают принцип причинности. Поле сходящихся і(опережающих) волн в среде с поглощением изменяет ся медленнее, чем 1/R. Пятое условие исключает из рассмотрения опережающие волны, а также любые плоские волны, проходящие в произвольных направлениях сквозь рассматриваемое (пространст во, так как они экспоненциально убывают в направлении своего распространения и экспоненциально возрастают в обратном на правлении, что противоречит указанному условию.

Принцип причинности можно ввести в уравнения электродина мики иным способом, не прибегая к предположению о затухании волны. Заменим (4.37) условиями излучения: электромагнитное поле на бесконечности должно иметь вид сферических волн, расхо дящихся от источников и зависящих от R по закону:

		- L e - * * = - i - e - , f t \			(4.38)
		R	R
Так как при отсутствии потерь к=\к$=\к.				Следовательно, мгновен
ные	значения	поля	пропорциональны		Re('l/J?)e ш ~ к Н ) =

= (l//?)cos(cotf—kR). Это условие также исключает из рассмотре ния плоские и сходящиеся волны, которым соответствует положительный знак в экспоненте перед к = ік.

Найденное любым способом решение корректно поставленной электродинамической задачи (условие должно содержать все вы шеперечисленные пункты) отвечает действительному распределе нию поля, и никакого другого решения быть не может.

ЗАДАЧИ

4Л. Напряженность поля волны, распространяющейся в полиэтилене (е=

=2,25), £ = 5	0	мВ/м. Определить	вектор Пойнтинга.	Ответ: П = 9,95	мкВт/м2 .
4.2. Среднее значение вектора Пойнтинга в				меди ( а = 5 8 МСм/м; ц.= 1;
е = 1 ) равно		1 мкВт/м2 ; частота	50 МГц. Определить комплексные		действующие

величины электрической и магнитной составляющих поля и отношение средних объемных плотностей магнитной и электрической энергии. Ответ: #=23,2 мА/м;

£=42,9 (1+І) =60,6 е' 4 5 °		мкВ/м;"ш„/юэ =2,3-101 0 .				воздухе		изотроп
ным	4.3. Объемная плотность энергии волны, создаваемой в
	излучателем1) на	расстоянии г = 100 м от		него, равна			ш = 1 0	пДж/м3 .
Определить мощность излучателя. Ответ: Р% = 377				Вт.
	4.4. Вывести формулу для определения напряженности электрического поля
изотропного излучателя		в воздухе в	зависимости	от	мощности		его	излучения
Р 2	и расстояния до точки наблюдения		г. Ответ: £ = У		30 Р 2	г.

') Изотропным излучателем называется источник однородной сферической электромагнитной волны, плотность потока энергии которой по всем направле1 ниям (npnr=const) одинакова.

Глава 5.

СТАЦИОНАРНЫЕ ПОЛЯ

5.1. Система уравнений стационарного поля

Стационарными называются поля, неизменные во времени. Они подчиняются общим законам электромагнетизма, но в частном случае, когда все величины постоянны во времени. Упростим сис тему ур-ний (2.16), (2.18), считая d/6V=>0. Стороннюю силу пред ставим в данном случае, как постоянную напряженность электри ческого поля Е с т , которая наряду с собственным полем Е создает в среде электрический ток в соответствии с законом Ома:

rotE = 0			rotH =	J
d i v D = p			divB =	0	•	(5.1)
D = ea E	J = a(E +	ECT)	B - j X a H ,
Сравнив ур-ния (5.1)	с полной	системой уравнений				Максвелла,
заметим, что обоюдная	связь между		электрическим		и	магнитным

полями утрачена. Магнитное поле не влияет на электрическое. Однако электрическое поле создает в проводящей среде токи, не разрывно связанные с магнитным полем.

Полная система ур-ний (5.1) описывает стационарные постоян ные магнитные поля. Если же токи отсутствуют (/ = 0), то эта си стема распадается на две совершенно независимые группы урав

нений: левый	столбец соответствует уравнениям	электростатики
для электрических полей, а правый — уравнениям		магнитостати-.
ки для магнитных полей.
5.2.	Электростатическое поле

СКАЛЯРНЫЙ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ

Электростатическое поле связано с системой неподвижных элект рических зарядов. Оно является частным случаем стационарного поля при /==0 и может, следовательно, существовать только в сре де, проводимость которой равна нулю. При этом условии получаем из, (5.1) следующую систему уравнений:


	rotE =	0,	divD = p, D = eaE.				(5.2)
Из, первого	равенства	(5.2)		вытекает,	что	электростатическое
поле безвихревое,	ротор вектора			Е во всех	точках пространства		ра
вен нулю. Тождество rot		grad	<jfr = 0, известное			из векторного	ана-

лиза [5], показывает,		что всякое безвихревое поле		является	потен
циальным, т. е. может быть представлено в виде градиента					некото
рой скалярной функции ф. Поэтому выразим напряженность					элект
ростатического	поля	Е через градиент	скалярного	электростатичес
кого потенциала	ф, взятый с обратным		знаком, т. е.
		Е = — grad ф.			(5.3)

Знак минус означает, что вектор Е направлен от точки с более

высоким потенциалом к точке с более низким потенциалом.

Градиентом скалярной функции ф называется вектор, направленный о сто рону быстрейшего увеличения ф и равный по величине производной по указан ному направлению. Производная по любому 'направлению 1 = е/ равна проекции градиента ф на это направление:

дф

-~- = e-grad0. (5.4) dl

Интегрируя ф от точки J до точки 2 (рис. 5.1), получаем с по мощью ф-л (5.3), (5.4):

2	2	2
ф{2) — ф{\) = J #	= j	gradtp-dl = — j ' E - d l .	(5.5)
і	і	і

Разность потенциалов между двумя точками равна линейному интегралу от вектора Е, взятому с обратным знаком, между этими точками; из ф-лы (5.5) следует, что раз-

£ность потенциалов не зависит от пути инте грирования. Независимость линейного инте

грала от пути интегрирования можно пока

зать также,				взяв		интеграл		по	замкнуто
му	контуру 1->і-і-^2->^2->1. Циркуляция
$	Е• G?1 = 0,			так	как		rot Е = 0		[см.	теорему
с
Стокса		(2.12),			а	также		закон Фарадея
(2.11)		при	d/dts=0].				Следовательно,			интег
ралы по Li			и L 2		равны между собой.
Рис. 5.1	Формулы			(5.3)		и	(5.5)	позволяют пе- .
рейти от описания электростатического по
ля с помощью вектора Е к	описанию поля при помощи								функции ф

и обратно. Следовательно, оба описания поля равноправны. Одна ко оперировать со скалярной функцией проще, чем с векторной.

Потенциал	ф определен	здесь		неоднозначно,	с точностью		до
произвольной	постоянной	С,	так	как grad (ф + С) = grad			ф +
-fgrad C=gra d ф. Обычно эту неопределенность					устраняют		тем,
что считают электростатический потенциал Земли					равным	нулю, а
в случае уединенных зарядов нулевое значение потенциала						припи
сывают бесконечно удаленной точке.
Определим с помощью ф-лы (5.5) работу внешних сил по пере
мещению заряда Q в электрическом				поле из точки	/, находящейся
в области нулевого потенциала			[ф(\)	=0], в'произвольную		точку 2.

Эта іработа совершается шротив сил			электрического	поля F —QE,
чему соответствует	отрицательный	знак в выражении		dW=—Fdl:
2	2
W = — j F - d l	= —Q j E - d l	=	Q [ # ( 2 ) - 0 ( l ) ] -	Оф (2). (5.6)

іі

Отсюда	следует,	что потенциал	ф какой-либо	точки	численно
равен потенциальной		энергии единичного положительного			заряда,
помещенного	в эту точку. '		поверхностями	уровня,
Скалярные поля изображаются					для по
тенциала эта поверхность называется эквипотенциальной					и соот
ветствует геометрическому месту точек, где 0=const.
Градиент скалярной функции по определению				всегда	перпенди

кулярен поверхности уровня, поэтому в электростатическом поле линии вектора Е = —grad ф перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.

ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ПОЛЕ ТОЧЕЧНОГО ЗАРЯДА

Напряженность поля точечного заряда Q определяется из ф-лы (1.6): E='D/ea = er Q/'(4n€0 r2 ). Найдем теперь потенциал произволь ной точки поля М(г) по ф-ле (5.5) интегрированием от бесконеч ности до г, считая ф(оо) = 0:

а>

Линии поля Е расходятся от заряда по радиусам. Эквипотен циальными поверхностями является семейство концентрических сфер.

УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА И ЛАПЛАСА

Электростатическое поле создается

распределением

электрических

зарядов р. Для нахождения непосредственной связи между

р и

электростатическим

потенциалом

используем

второе

уравнение

электростатики

(5.2)

с заменой D на Е, а затем на

ф по

(5.3);

для

однородной линейной среды постоянную єа можно

вынести

за

знак

пространственного

дифференцирования.

Тогда

div D =

= div(ea (—grad

ф)] = — 8 a

div grad$=ip. Двойная

векторная

про

изводная от ф равна лапласиану

(3.18), следовательно,

^ф =

-р1га.

(5.8)

Полученное уравнение

Пуассона

является основным соотношением

теории электростатического потенциала и устанавливает, что

лап

ласиан

от ф [в декартовой

системе координат — сумма

вторых про

изводных

от

ф (3.19)] в

каждой

точке поля

пропорционален

объемной

плотности

электрического

заряда.

В области, свободной от зарядов, потенциал поля подчиняется уравнению Лапласа, являющемуся частным случаем ур-ния (5.8):

у 2 ф

= 0

при

р =

(5.9)

Уравнения Пауссона и Лапласа определяют лишь дифферен

циальные свойства

потенциала

каждой

точке

поля.

Решение

уравнения

Пуассона

должно

описывать

- поле в целом, с учетом

всех

образующих

его зарядов. К линейной среде применим

принцип

суперпозиции. Поэтому

получим

нужное решение с помощью ф-лы

(5.7),

заменив

точечный

заряд

точке

на элементарный объемный заряд pdV

просуммировав

затем

потенциалы

от

всех зарядов в объеме V (рис. 5.2). По

тенциал в произвольной

точке М

• w - J 2

^ -

<5 -1 0 >

N, а V — включает

где г — расстояние

между

точками

все области,

имеющие

электрические

заряды.

Если величина р конечна, интеграл сходится при г-»-0, следова

тельно, решение уравнения

Пауссона

(5.10)

справедливо

для

всех

точек пространства, вне и внутри объема

Это решение

получено

для однородного диэлектрика и может быть проверено прямой под становкой ф-лы (5.10) в (5.8).

ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ

Для решения задач электростатики необходимо знать условия на границе раздела диэлектрик — проводник. Внутри проводника электрическое поле отсутствует, так как в противном случае в нем протекал бы ток J = oE. Следовательно, в электростатике на грани це любого проводника справедливы граничные условия (2.27), ко торые в общем случае были получены лишь для идеальных провод ников. В диэлектрике на границе с проводником

£ т = 0 и Е - п = - ^ ,

(5.11а)

где п — нормаль, направленная из диэлектрика в проводник. Согласно (5.3) Е = —grad Ф = — г(дф/о%)—п(дф/дп), откуда

получаем граничные условия для потенциала у поверхности 5 про водника:

	^	= 0 или	A L =	const; дА =	* L .	(5.116)
	дх	проводника		дп	га	поверхностная
Поверхность		проводника	эквипотенциальна;			поверхностная
плотность	заряда	пропорциональна		нормальной		производной	от
потенциала	у его	поверхности.

ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЕМКОСТЬ
Отношение заряда уединенного		проводника к его потенциалу на
зывают электрической	емкостью	проводника: C^Q/ф.	Емкость

данного проводника изменяется, если вблизи имеются другие про водящие тела, и зависит от зарядов или потенциалов этих провод ников. Взаимное влияние проводящих тел, вызывающее перерас пределение зарядов на них и изменение их потенциала, называется

электростатической индукцией.

Система из двух проводников, защищенная от внешнего влия ния, называется конденсатором. Так как все линии электрического поля, выходящие из одного проводника, заканчиваются на другом, их заряды равны между собой. Емкость конденсатора определяет ся, как модуль отношения заряда одного из проводников к напря

жению между проводниками	конденсатора:
SL	= _ L « i _ .	(5.12)

Конденсатор служит одним из элементов электрической цепи. Емкость его рассчитывают с помощью соотношений электростати ки. К определению электростатической емкости между проводни ками сводится также расчет одного из важных параметров линии передачи — ее характеристического сопротивления. Поэтому об ласть использования методов решения задач электростатики не ограничивается только стационарными полями.

ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ
Объемная плотность энергии электрического поля			определяет
ся соотношением (4.1): tw3 =E-D/2;	полная	энергия электростати
ческого поля, созданного некоторой	системой	зарядов,	выражается

интегралом по безграничному пространству:

где V» — все пространство.

Эту же энергию можно определить, наблюдая постепенное соз дание электростатического поля при внесении в него из бесконеч ности электрических зарядов. Величина затраченной при этом энер

гии	соответствует	полной	работе, которую нужно совершить, что
бы	расставить все	заряды	на отведенные им места, преодолевая

противодействие поля. Работа по внесению в точку М элементар


ного заряда	dQ(M)		=\p(M)dVM,			согласно ф-ле	(5.6),		dWg=<p(M)x
ХйУмФ(М),	где	ф(М)		— потенциал, созданный в				точке М		всеми
остальными	зарядами				и определяемый по		ф-ле		(5.10).	Если
проинтегрировать			dW9	по	объему V, занимаемому				зарядами, то
взаимодействие		каждой			пары	зарядов учтется		дважды:		заряд

dQ(N) сопротивляется внесению заряда dQ(M), а заряд dQ(M) — внесению заряда dQ(N). Так как один из зарядов вносится в поле в тот момент, когда второго заряда еще нет, полная энергия систе мы определяется половиной соответствующего интеграла:

W9 = -L [9{М)ф{М)йУм=	- і - f PWWM	f
у	V	V

(5.14)

9 ( N ) D V N

M N

Итак, энергию поля можно вычислить по распределению в нем

электрических зарядов. Интеграл в этом случае охватывает			лишь
области, где заряды не равны нулю. Соотношения		(5.13). и	(5.14)
для энергии электростатического поля эквивалентны, что			можно
доказать с помощью ф-л (5.2) и (5.3). Из (5.14) легко определить
энергию электрического поля уединенного проводника		W3=	—С\ф\2
и конденсатооа	№ э = — C \| t 7 \| 2 .
5.3.	Задачи электростатики

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

Электростатическое поле можно определить по заданному распре

делению зарядов (прямая задача	электростатики)		с помощью		ф-лы
(5.10) или в простейших случаях	по теореме	Гаусса (2.1). Однако
лишь в небольшом числе задач	(системы с	симметрией,		точечные
заряды) известно заранее распределение зарядов			в пространстве
или по поверхности. Поэтому область применения прямых					задач
электростатики ограничена.
Практический интерес представляют граничные			задачи	электро
статики — определение поля в	диэлектрике, ограниченном				систе
мой проводников. При этом для	каждого из проводников			задается

либо его потенциал 0fe=const (граничное условие Дирихле), либо полный заряд Qu. Во всех случаях (если система несимметрична) распределение зарядов по поверхности проводников неизвестно и должно быть найдено в процессе решения задачи.

Единого способа решения таких задач не существует. В ряде простейших случаев применим метод изображений. Д л я более слож ных систем используют аналитические методы: разделение 'перемен ных, конформные преобразования, разложение по ортогональным функциям. Наиболее универсальны методы, использующие матема тические и физические модели, однако они требуют громоздких установок либо быстродействующих ЭВМ с большим объемом па мяти1 ) .

') Рассмотрение многочисленных методов решения граничных задач элект ростатики выходит за рамки данного курса. Желающие смогут воспользоваться обширной литературой по этим вопросам, на/пример, |[12], {32], (33].

ОДНОЗНАЧНОСТЬ РЕШЕНИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

В теории электростатических полей доказываются следующие по ложения. Решение поставленной выше граничной задачи сущест вует. Оно однозначно '(единственно), т. е. физически достоверно (если заданы заряды на всех проводниках, то чтобы определить произвольное слагаемое в решении для потенциала, необходимо за дать потенциал какой-либо точки поля). Решение устойчиво: при незначительном изменении граничных условий оно заметно меняет ся лишь в окрестности границы, где произошли эти изменения. До казательство этих положений составляет содержание теоремы единственности для электростатики.

МЕТОД ИЗОБРАЖЕНИЙ

Суть метода изображений заключается в том, что заряженные про

водящие

граничные

поверхности

заменяются

эквивалентными им

зарядами-изображениями,

находящимися

вне

объема рассматри

ваемого

диэлектрика.

Величи

на и положение зарядов под

бираются

таким образом,

что

бы обеспечить эквипотенциаль-

ность этих поверхностей и вы

полнение

граничных

условий.

Так, поле в диэлектрике до и

после замены сохраняется

не

изменным, а

граничная

задача

сводится

определению

поля

заданных

зарядов.

Простейшим

примером

ис

пользования

метода

изображе

ний

может

служить

определе

ние

поля

точечного

заряда,

расположенного

над

проводя

щей

плоскостью

S. В этом

слу

чае

заряд-изображение

имеет

ту же величину, что и исход

ный, но обратный знак и

расположен

зеркально-

симметричной точке

(рис.

5.3).

Рис.

5.3

Потенциал

суммарного

поля

от заряда Q и его

изображения

—*Q

на

граничной поверх-

ности S

равен

нулю.

Суммируя

учетом

направлений элек-

трические поля

(1.6)

этих

зарядов, получаем, что в произвольной

точке М на поверхности S вектор Е имеет только нормальную со

ставляющую £ „=Qcosd/(4jte a r 2 )

=Q/i/(4jtea r3 ). Поверхностная плот

ность заряда в этой точке с т э = — г а Е п

—Qhf(4nr3).

ПОЛЕ БЕСКОНЕЧНОЙ ПРЯМОЙ ЗАРЯЖЕННОЙ НИТИ

Пусть линейная плотность заряда нити равна т, Кд/м. Исполь зуем в решении симметрию поля относительно оси нити. Окружим нить цилиндром радиуса г и применим к поверхности этого ци линдра теорему Гаусса (2.1). Поток электрического смещения че

рез единицу длины	/ ) 2 я г = т , откуда напряженность							электрического
поля
		Е =	- £ ^ - .							(5.15)
			2яеа г
Разность потенциалов		между	точками г и Го в этом						поле
ф(г)-ф	(го) = -	f Edr	=	2яеа	Г	=	2леа	In	«L.	(5.16)
		J		2яеа	J г		2леа		г
		Го			г

Эквипотенциальные поверхности поля нити — круговые цилиндры. При принятой идеализации (нить бесконечной длины) суммар ный заряд нити равен бесконечно большой величине. Разность по тенциалов между г и бесконечно удаленной точкой (го->-оо) также бесконечна. Поэтому в таких задачах задают потенциал какой-

либо точки на конечном расстоянии от оси.

ЕМКОСТЬ КОАКСИАЛЬНОЙ ЛИНИИ

Рассмотрим бесконечную по длине систему коаксиальных провод

ников, заряженных	равными по величине разноименными зарядами
с линейной плотностью т и —т (рис. 5.4). Очевидно, что		заряды
сосредоточиваются	на обращенных друг к другу поверхностях про
	водов. Поле между проводами	идентич

но полю заряженной нити в силу одина ковой симметрии обеих систем. Поэтому

разность		потенциалов		между			проводни
ками	линии		определяется			ф-лой		(5.16)
при	г=а		и г0=Ь:			ф(а)—ф(Ь) =
= (т/2яіЄа)1П(6/с).
Емкость,			приходящаяся			на		единицу
длины	коаксиальной			линии,			определяет
ся теперь		в	соответствии		с	ф-лой		(5.12):
Сі	=						2яеа
		и	ф(а)-ф(Ь)\				\п(Ыа)

Рис. 5.4								(5.17)

Например, при « = 2 мм, 6 = 5 мм, є = 2 , Ci=il21					пФ/м.

Легко показать, что и в проводниках и в наружном простран стве электростатическое поле линии отсутствует. Действительно,

суммарный заряд, заключенный внутри коаксиальной цилиндриче ской поверхности с радиусом г<а или r>b, равен нулю; по тео реме Гаусса отсюда следует, что D = E = 0.

ПОЛЕ ДВУХ ЗАРЯЖЕННЫХ НИТЕЙ

Пусть нити, расположенные на расстоянии 2 b друг от друга (рис. 5.5), несут разноименные линейные заряды с плотностью т и —т. Результирующее поле симметрично и является суперпозицией по-

Рис. 5.5
лей каждой из	нитей	[ф-ла (5.16)]. Примем,	что потенциал точки
Р в плоскости	симметрии: ф+(г0) +ф (го) = 0.		Тогда
Эквипотенциальные		поверхности	= const] описываются

уравнением Ыг\ = const. Известно, что окружность является геомет рическим местом точек, отношение расстояний которых от двух данных точек постоянно. Поэтому в пространстве указанному урав нению отвечают круговые цилиндрические поверхности. Положе ние центра (—d) произвольного эквипотенциального цилиндра ра

диуса а, находящегося		слева от плоскости симметрии, определяет
ся равенством отношений расстояний до заряженных					нитей для
диаметрально расположенных точек Di и Dz:
Tj_ __		(d + a)+b	(d — a) + b
rt	~	(d+a)—b~—(d—a)		+ b'
откуда
=	+	и- A = — - f - j / " ( - f ) ' - l -			(5Л9)

Оси эквипотенциальных поверхностей не совпадают с положением нитей.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 499 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ