книги из ГПНТБ / Семенов Н.А. Техническая электродинамика учеб. пособие для электротехн. ин-тов связи

или

— .

(4.13)

W

Энергетическая

скорость электромагнитной

волны

определяется

отношением

вектора Пойнтинга к объемной

плотности

энергии

движущейся

волны.

средние за

период

значения

энергетических

характеристик

электро­

магнитного

поля,

которые

будем обозначать символами

с чертой

сверху. Продолжим с этой

точки зрения

изучение монохроматиче­

ванной точке пространства. Пусть напряженность

поля

Ё =Е д е"'' £ >

а Н = Н д е и |

' н

= Н д Є І ( * £ ~ 1 ' , )

отстает

от

нее по фазе

на

угол ф =

= tyE—ірн.

Тогда в соответствии с ф-лой

(3.4)

мгновенные

значения

компонент

поля

Е =

Vх 2Е Д cos(co^+ipEj

и

Н =

|/ 2 Нд

cos

(<at+

+ урЕ—'ф).

Не теряя общности, положим начальную фазу

грЕ = 0.

При

этом

мгновенное

значение вектора

Пойнтинга

определится

как

П =

Е х Н = 2(EflXHfl)cos(D*-cos(co*— г|>) =

(Ед х HA)[cos гЬ +

-f cos (2ш t—4>)] =

(Ед X Нд) [cos ab (1-f-cos 2со t) + sin г|э sin 2© t\. (4.14),

Согласно

предпоследнему выражению

(4.14),

вектор

П

имеет

постоянную

составляющую

П = f E H X HR)cosa|> и переменную

состав­

ляющую

двойной частоты

2u*t с амплитудой Е д х Н д . Поэтому если

•$Ф0,

то

какую-то

часть

периода

2Аії/Т=ір/л

вектор

Пойнтинга

отрицателен,

т. е. поток

энергии

меняет

направление

движения

на обратное (рис. 4.3).

Другая

трактовка основывается на последнем_

соотношении

(4.14). Первое слагаемое

вектора

Пойнтинга

П а = П(1 +cos2o>/) —

активная

компонента

— не меняет своего направления,

она

пуль-

сирует_около среднего значения П

с двойной

частотой,

меняясь от

О до

2П

(рис. 4.4). Неравномерность во времени

активного

пото­

слагаемое

П р = (Е Д Х Hjjsinip sin2<otf=IIpm sin2co^ —

реактивная

компонента

— соответствует колеблющемуся потоку энергии, пе­

риодически

(четыре раза за

период Т) изменяющему

направление

своего движения; в среднем

эта компонента не создает перемеще­

ния энергии

в пространстве.

шэ =

- ^ - Ё - Е

= - ^ | £ |

2 .

(4.19)

2

2

і

Это соотношение

в общем случае вытекает

из

того,

что согласно

(3.3)

А • А =

(ех Л 1 Д

е1 *» +

е2

А2Д

е1

*

+

е3 Азд е1

*•).

(еі Л 1 Д

е - 1

*• +

ег

Л э д

в " 1 *

+

е3

Л з д е - 1

*•) =

= Л 1 Д + Л 2 Д + Л З Д = И12 -

( 4 - 2 ° )

Обозначение

«квадрат

модуля» соответствует

сумме

квадратов

действую­

щих значений координатных компонент вектора А.

Аналогично

определяется

средняя

объемная

плотность

маг­

нитной энергии

(4.1):

ш м = ^ Н . Н

= Ь ь | / / | * .

(4.21)

Средняя

объемная

плотность

мощности

джоулевых

потерь

в

проводящей

среде

(4.9):

р п р = с г Ё - Е

= сг | Е\\

(4.22).

Средняя

объемная

плотность

мощности

потерь в

диэлектрике

определяется из (4.22) с заменой

а по ф-ле

(3.9):

Рд =

co8 a tg6| £ | 2 .

(4.23)

Средняя

объемная

плотность

мощности

сторонних

сил

(4Л0).

рст

= Rep C T =

Re (— Ё- JC T )

,

(4.24)

где

Рст =—Ё-Лст = Рст + і Яст — -комплексная

объемная

плотность

мощности сторонних сил. Реактивная составляющая qCi

появляет­

ся

в том

случае,

если разность

фаз

между

Е

и JC T отлична

от

О и л.

*

щему. Второе ур-ние (3.13) умножается скалярно на

Н

(магнит­

ные потери не учитываются). Вектор Ё умножается

почленно на

уравнение, комплексно-сопряженное с первым ур-нием

(3.13), в ко­

тором 8а заменяется по ф-ле (3.8); при этом і меняется на

—і. За­

тем из первой строчки вычитается вторая:

H-rotE = — Н-іо)(хаН

Ё-rot Н =

— E.icosa E+ Ё- (me a tg6+ а)Е + EJCT

H r o t E - E*-rotH+і

ш ( ц а | Я | 2 — є а | £ | а ) + ( 0 ) e a t g 6 + a ) | £ | 2 = —

Ё J*CT

или с

учетом

тождества

(4.5)

div (ЁхН)+

\<д(\1ь\Н\2

+ еа\Е\2)

+

+ (toea tg 6+10)

| £ | 2 = — E - J C T . Применив ф-лы

(4.15), (4.19), (4.21) —

(4.24)

и обозначив ра=,Ря

+ Рпр, получим

d i v l f +

і2со (шм—ы>э) 4-рп =

р с т

+ Ucr-

( 4 - 2 5 )

Это комплексное уравнение разделим на вещественную и мни­

мую части, имея в виду, что

n = Ren+'iImII = n + iIIpm.

Веществен­

ная часть представляет собой дифференциальную форму

теоремы

Пойнтинга

для

средних

мощностей

монохроматического

поля:

divn + J„=~PeT.

(4-26)

Д л я

произвольного

объема

V,

ограниченного

поверхностью

S,

справедлива интегральная форма этого уравнения:

ф П d S 4-

J

p^V

=

j

pC T dV,

т. е. Р 2 4- Р п

=

РСт-

(4.27)

S

V

V

Мощность,

получаемая

монохроматическим

полем

в

некотором

объеме

от сторонних

сил,

равна

в

среднем

сумме

мощности

излу­

чения

из

этого объема

и

мощности

потерь. Сравнив

ф-лы

(4.26)

и

(4.27)

с

(4.6)

и (4.7),

обнаружим

отсутствие

слагаемого,

соответ­

ствующего

изменению

запаса

энергии в

рассматриваемом

объеме.

Это объясняется

тем,

что

в

гармонически

изменяющемся

поле

средняя

объемная

плотность

энергии в

каждой

точке

неизменна,

Уравнение

баланса электромагнитной

энергии для

мнимых

частей (4.25) в дифференциальной форме

записывается

как

div Пp m +

2со ( ш м ^ а д

=

q„,

(4-28>

а в интегральной форме как

ф П р т d S 4- 2со J' (ww—w3)dV

= J qCTdV;

Qs

4- 2 c o ( ¥ M - W a ) = QC T .

s

v

v

(4.29)

мости от знака разности (WM—Wa)

реактивный поток носит маг­

Передатчик№

I

*

Прием-

п3

/ Г

ник

• V

'з

I

потери

значительно

меньше,

чем

мощность

сторонних сил

( Р п <

< Р с т ) ;

запас электрической

и

магнитной

энергии

в поле

вокруг

антенны в среднем постоянен. Избыток энергии выходит за

грани­

цы области в виде электромагнитного излучения, поэтому Ps

(Si)

=

— ф Il - dS>0 . Область

2 в

промежуточной

части

пространства

не

содержит

сторонних

сил

(Рст = 0);

тепловые

потери в атмосфере

приводят к тому, что входящий

в

эту

область

«отрицательный»

поток

электромагнитной

энергии

Ръ

(S'2),

несколько больше,

чем

«положительный»

выходящий

поток Ps(Sl),

поэтому

поток

Р Е (S2)<0

И равен по величине Р п

в V2-

Область 3 включает при­

ку. Поток Ф I I - d S < 0 и равен

по модулю сумме этих потерь.

СКОРОСТЬ ГАРМОНИЧЕСКОЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ

Скорость волны в линейной среде, как и скорость света, не

зависит

от интенсивности полей;

следовательно, она одинакова

во

всех

точках и неизменна в течение периода колебаний. Поэтому

из

ф-лы

т

т

wdt или

(4.13) следует, что Г 1 Ш = и э f

(4.30)

Энергетическая

скорость гармонической

волны равна

отноше­

нию среднего вектора Пойнтинга к средней

объемной

плотности

энергии волны.

4.5. Энергетические

характеристики

'

плоской

однородной

волны

*

. —

к г

—ік

г %

—к

г \к.

г

П = Е х Н = £ 0 е

а

е Р

а

е е

( е £ Х е * ) =

~ | 7

. - ^ в

Є

|Z„1 Є

Є

^

( 4 ' d l >

|ZB |e

1

в і

П =

ReІЇ = l ^ J ! e ~ 2 K * 2

cosгрв ег .

(4.32)

I |

Для диэлектрика

г|>в<С1

и

cos я р в ^ 1;

для

проводника

г|зв = 45°

и cos

грв = 0,707.

Оценим мощность

волны £ = 2 0

мкВ/.м,

проходящей

по _ноірмали

через пло­

щадку

S=il0 м2 . Волна

распространяется в

воздухе. Тогда

P = IIS= (20-10~6 )2 Х

X 10/377=1]0,6-Л0-12

Вт=10,6 пВт, так как Z B 0 = 377 Ом.

В

диэлектрике

средние

объемные (плотности

электрической и

щ =

| Е |2 =

-|-1 Е0 Iі

е ~ 2 к « 2

,

(4.33)

м 2 і і

2

Щ\~2к«г

= 1<ЦЕа\е-2к«г

,

(4.34)

гЛ

.

2 1

1

Скорость распространения волны по ф-ле (4.30)

П

П

| £ о 1 2 / | 2 в |

1

/ в Г

е,

(4.35)

« э = — =

— =

е« =

—

1 /

— е . =

.

W

Ш9 + и м

е а | £ 0

1 2

ea

V

Ца

V &<№а.

5

диэлектрике

с

малыми

потерями

энергетическая

скорость

волны

совпадает

по

величине

и направлению

с ее фазовой

ско­

ростью v m (3.39).

В проводящей

среде

выражение

(4.33) для w3 остается 'справед­

ливым; | Z B | определено

ф-лой (3.49) и

Va \Е0\*Є

=

F

-2к 2

(4.36)

СОЦа/О

2(0

а

Отношение средних объемных плотностей магнитной и электри-

ческой энергии

в проводнике т г =

— — > 1,так как

а > с о е а .

В н у т р е н н я я

з а д а ч а .

Пусть

область

пространства (рис.

4.6), в

которой

ищется

решение,

ограничена

изнутри поверх­

ностью

SA,

а извне — поверхностью

SB (SA может

отсутствовать

возможно

также несколько внутренних границ

S'A,

S"A , ... ) .

— в каждой точке

области среда обладает либо электрически­

ми, либо магнитными

потерями (є">0, либо р " > 0 ) ; величина

составляющих

на поверхности

S=SA+SB

отвечают два

решения

Е ь

Hi и Ег, Н2 . Уточним, что на границе требуется совпадение

либо

Еіт

и Е2 т . либо Н 1 Т и Н 2 т , либо на

части

поверхности

должны

совпадать Е т

, а на остальной части Ht .

Исследуем

разностное поле

Ё = Ё 2

— Ё 4 ;

Н = Н2 —Ht .

К

этому

полю энергия

от источников не поступает, так как сторонние

силы

исчезают (Рст = 0).

Невозможно также и поступление энергии

че­

рез границы объема

[см. ф-лы

(4.3), (4.16), (4.27)]: Ръ =§

Ї Ш

=

s

= Re s$

(EXH)dS = 0, так как

по условию в любой точке границы

5 либо

Ёт = Е і т — Ё 2 т = 0 либо

Н х = НІХ —Н2 * = 0. Следовательно,

теорема

Пойнтинга

(4.27) для

разностного поля примет вид

Р п

= 0

точке объема

V имеет потери, например, электрические, разностное

электрическое

поле в

любой

точке внутри поверхности S должно

быть равно

нулю. Из

уравнений Максвелла

(3114)

получаем, что

разностное

магнитное

поле

также

равно

нулю.

Если в среде

имеются только магнитные потери,

то вначале

доказывается, что

H s O , а затем, что Е = 0 .

V, заполненном

Итак, в замкнутом

объеме

средой с потерями,

границы

S этого объема

не подводится; Ё = Ё 2 — E t = 0 и Н = Н 2 —

— Н ! = 0 ,

что и доказывает

сформулированную, ранее теорему.

Н,

не

связанных с источниками

и удовлетворяющих

условию

Ет

= 0

на

идеально проводящей

границе. В этом случае

решение

внутренней

задачи становится неоднозначным.

В н е ш н я я

з а д а ч а .

Пусть рассматриваемое

пространство

неограниченно, т. е. внешней границы SB

на рис. 4.6 не существует.

Это эквивалентно тому,

что SB представляет

собой

сферу беско­

нечно большого

радиуса

R-^-oo. Тогда

справедлива

следующая

теорема: монохроматическое электромагнитное

поле

определяется

I Е Х , 2 1 < , | Н х , 2 1 < -А -

при R-+ со,

(4.37)

где б — некоторое положительное число,

а Ео, Н0 —

положитель­

ные постоянные.

разностного

поля

Е, Н равны

нулю: мощность

сторонних

сил

/э ст = 0 (по

второму условию)

и

мощность волны,

поступающей в

рассматриваемую

область через

внутренние границы SA: PZA

= 0

через

сферу SB

бесконечно

большого радиуса R-t-oo,

охватываю­

щую

по четвертому условию

все

сторонние

источники

поля. Из

ф-лы

(4.37) вытекает

следующая

оценка для разностного

поля:

| £ | = £ = | £ і| + | £ 2 | < ! § - в ;

^ | ^ | ^ | + i ^ 2 | < - | H T - T a , K H M o 6 ' P a 3 0 M .

Рів =

(j) Re (E X H) dS

<

4?t #

=

1 6 л ^ " 0

-+0 при R^oc.

Итак,

sB

Pi. =PIA+PIB

= 0 и

снова

по ф-ле

(4.27) Р п = 0 , что

приводит к

нулевому разностному полю

Е = 0 ,

Н =

0. Следовательно, получение

двух различных решений невозможно.

Физический смысл пятого условия заключается в том, что до­

пускается лишь решение в виде расходящихся

от источников

сфе­

рических волн. Такие волны удовлетворяют принципу

причинности

явлений: причина опережает

следствие. Поля

вначале

появляются

у источников, а

затем, с запозданием,

в удаленных точках;

волны

рическим фронтом

при отсутствии

поглощения в среде

по

закону

сохранения энергии уменьшается

обратно пропорционально

площа­

ди сферы S = 4nR2,

т. е. П ~ 1 / і #

2 ;

следовательно,

напряженности

полей \E\~\/R;

| Я | ~ 1 / # . В поглощающей среде

\Е\

и | Я | рас­

ходящихся волн

убывает быстрее,

чем 1/R, т. е. по

закону

(4.37).