Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Семенов Н.А. Техническая электродинамика учеб. пособие для электротехн. ин-тов связи

.pdf

Скачиваний:

302

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

23.29 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 497 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

С учетом ф-лы (3.44) определим коэффициент распространения волны и его составляющие, а также фазовую скорость:

• _

соА.

(3.45)

—

/Со —

—

•'пр

Коэффициенты

фазы

и затухания

проводнике

одинаковы

равны обратной

величине толщины

скин-слоя.

Следовательно,

соответствии с ф-лой (3.29) напряженность

электрического

поля

изменяется по закону:

— к

—ік

— 2 / д _ і г / Л

Е =

£ 0

е а

е £

= £

г / А е

, г / А

е £ .

(3.46)

Выясним,

как

изменяется

волна

на

расстоянии

z = A,

равном

толщине скин-слоя: Е\г=ь

= £ ое _ 1 е~\

Фаза ее меняется

на 1 рад, а

амплитуда

уменьшается

в е раз, что соответствует

затуханию

8,686 дБ (рис. 3.3). Мощность

волны

пропорциональна

| £ | 2 ,

поэ-

Напряценность поля

Мощность

1/ег=

0,135

0,000035

0.0019

—і

•

2 л

«яг

тому только небольшая часть исходной

(при £ = 0) мощности,

рав

ная е~2 = 0,135, преодолевает

рубеж

z=A.

Длина волны Х=2я/к

р = 2яЛ;

на

этом

расстоянии

от

начала

отсчета амплитуда

поля убывает в е 2 я =535

раз, а его мощность —

в 287 000 раз

(затухание

равно 54,6 д Б ) . При столь сильном

погло

щении нельзя уже говорить о волновом гармоническом процессе.

Колебания вырождаются в апериодически		затухающие.	В этом
случае такие понятия, как длина	волны и фазовая скорость		теряют
свой первоначальный физический	смысл.

Проводник характеризуется толщиной скин-слоя А, отсчитывае мой от его поверхности. Почти вся электромагнитная энергия (86,5%), проникающая в проводник, сосредотачивается или те ряется в этом слое. Однако не следует забывать о постепенном, экспоненциальном уменьшении амплитуды поля и считать плос кость 2 = А какой-то особой непреодолимой преградой. Все более слабые поля имеются и на расстояниях 2А, ЗА,... и т. д. Тем не ме нее при г=10А, когда затухание равно 86,86 дБ, чтобы их обнару-

жить нужен	очень чувствительный			прибор,		даже	если исходная
мощность велика.
Выведем	формулу	для определения			толщины скин-слоя			в ме
талле (3.44),	выразив	проводимость		а — в мегасименсах на метр;
Д = /	2/(2я/\|іщог) =		/ 1 / ( Я / \| І 4 Я 10"7			ст[МСм/м] 106).
Объединяя числовые коэффициенты					и выразив		результат в мил
лиметрах получаем
		А = - т Ш - , мм.						(3.47)
			У/fia
В частности, для меди			(а = 58 МСм/м)			и	алюминия	(ст=
= 3 5 М С м / м ) :

если в ф-лы (3.47), (3.48) подставить / в МГц, то получим А в мкм. Волновое сопротивление проводящей среды найдем по ф-ле

(3.33)

1 + і

єа

У — і a/w

аД

Следовательно,

Z. = /?B + iXB ;

* . = * - =

=/if'. I Z

B | = - §

;

45^. (3.49)

Комплексное

волновое

сопротивление

проводящей

среди

имеет

индуктивный

характер;

его реактивная

и активная

составляющие

равны между

собой.

Напряженность

магнитного поля определится

теперь

из ф-л

(3.46) и (3.34) следующим

образом:

Н = A . e~z / A e~i ( z / A +45°> е я ;

е я = е л X е £

. '

(3.50).

Она меняется

в функции г как и напряженность

электрического

поля, но с фазовым

сдвигом

на 45°. Величина

| Z B | в металлах со

ставляет доли

ома, поэтому

при одинаковых

магнитных

компонен

тах электрическая компонента поля в металлах

на несколько по

рядков меньше,

чем в вакууме. В качестве примера

рассмотрим

параметры меди

для колебаний частоты

/=100 МГц.

Согласно

ф-ле (3.48) Аси

— 6,6 мкм. Оо ф-ле (3.49)

|ZB |cu-—3,7 мОм. Эта

величина в 105 раз меньше,

чем волновое

сопротивление

вакуума.

Из-за малых

значений

толщины скин-слоя

металлы

нельзя

использовать

как среду

для передачи

электромагнитных

волн.

Однако металлические стенки широко применяют как отражатели электромагнитных волн, ограничивающие поле в волноводах, резо наторах и других устройствах.

3.8.Виды поляризации волн

В3.5—3.7 были рассмотрены волны, направления векторов Е и Н которых неизменны ;В пространстве. Такие волны называются ли

нейно (плоско) поляризованными. Плоскостью поляризации назы вается плоскость, параллельная волновому вектору к и вектору напряженности электрического поля Е.

Линейно поляризованные волны не являются единственным ре


шением ур-ния (3.23),		справедливого для всех плоских				однород
ных волн. Рассмотрим		суперпозицию		двух	волн вида	(3.29)	с
.взаимно перпендикулярными			плоскостями		поляризации	xOz	и
yOz при сдвиге фаз между ними на угол				^:
	Ё =	(ехЁх +	е Д е - ' * ) е - ^ г		•	(3.51)
где Ех	и Еу имеют одинаковую		(например,		нулевую) начальную
фазу	и в общем случае	не равны по величине. Поскольку				каждое

из слагаемых является решением волнового ур-ния (3.23), их сум ма (3.51) также удовлетворяет этому уравнению.

Мгновенное значение	электрического			поля,	согласно		ф-ле
/3.1),
Е = т / 2 e~Kaz[exExcos{a>t—		K^Z) +	tyEyCos((x)t—KpZ—Щ				. (3.52)
Конец вектора Е при	фиксированном			z и переменном t			описы
вает эллипс, большая ось которого			наклонена		под	некоторым
углом к оси Ох (рис. 3.4). Такая волна				называется		эллиптически
Е	Е	Е

Рис. 3.4
поляризованной.	При = 0 и г\|э=180° (эти случаи	соответствуют
синфазности	или противофазности составляющих)	эллиптическая

поляризация вырождается в линейную; ориентация плоскости по

ляризации зависит	от соотношения между величинами Ех и Еу. В
случае ij>=±90° оси эллипса совпадают с осями координат.
Если одновременно я\|з=±90° и Ех		= Еу=Ео, поляризация волны
становится круговой;	конец вектора	Е описывает окружность, так

№

как cos (а+90°) =	± s i n а,
Е = / 2 £ 0 е	« [e,cos(o)^—кр	г) +	e^sin(cof — к р г) ] =
	= yr2E0e~KaZ	е £	f	(3.53)
причем орт ев составляет с осью Ох угол
	Ф£ = + (CU*— Кр г) .
Направление вращения вектора Е при эллиптической и круго
вой поляризациях условимся определять в фиксированной				точке
пространства: наблюдатель должен		смотреть в направлении		расп

ространения волны. Вращению вектора по часовой стрелке (поло жительному направлению вращения в правой системе координат)

соответствует	правая		поляризация.	При этом 0 < г \| з < я	в ф-лах
(3.51), (3.52),	а в	ф-ле (3.53) выбирается знак ( + ) .			Согласно
ф-ле (3.51), вектор		с	правой круговой поляризацией Е п р = £'о(еж —

При правой поляризации			углы	между осью х		и векторами Е
и Н составляют: <f>E=<ot—Яр г,				(pH=(ot—Kpz+n/2.
Вращению вектора против часовой стрелки						(отрицательному
направлению вращения		в правой		системе координат) соответст
вует левая	поляризация.	При	этом	0 > г \| ) > — л ,	а в	ф-ле (3.53) вы
бирается	знак (—). В случае		круговой левой		поляризации Е л е в =

Представим расположение векторов поля волны с круговой или эллиптической поляризацией при t = const (рис. 3.5). Их концы

Рис. 3.5

располагаются по винтовой линии на поверхности кругового или эллиптического цилиндра. Вектор Н при любой поляризации плос кой однородной волны везде и в любой момент времени перпенди кулярен вектору Е < (причем е Е Х е н = е л ) и пропорционален ему по величине. Все перечисленные выше свойства в равной мере прису щи как вектору Н, так и вектору Е. В отличие от линейной поляри зации, поле бегущей волны с круговой или эллиптической поляри зацией в любой момент времени ни в одной точке пространства не равно нулю.

Согласно

ф-ле

(3.51)

поле с

любым

типом поляризации

мож

но представить суммой

двух волн,

поляризованных

линейно

двух

ортогональных

плоскостях.

Докажем

обратное

свойство: эллиптически

или

линейно

поля

ризованную

волну

можно

представить

суперпозицией

двух

волн

круговой

поляризацией

противоположными

направлениями

вра

щения. Совместим

ось

х с большой осью эллипса поляризации,

ось у — с

малой,

тогда

Е = (ехЁхч1еуЕу)е-кг.

Верхний знак

соот

ветствует правой эллиптической поляризации, а нижний знак —

левой.	Будем		считать, что Ех и Еу			имеют	нулевые начальные		фазы,
[ f x l >	\| £ у \| .	Обозначим		Ei = 0,5(Ex		+ Ev)	и	Ё2 = 0,5(ЁХ—ЁУ).	Тогда
Ex = Ei + E2,		a	Ey = Ei—Е2.		Следовательно,
	Ё	== (ехЁх + і ЄуЕу)			е-'* г	= Ег (tx	+	і е„) е-«'г +
			+	£ 2	(ех +	і е„) е - ~ г .			(3.54)

Заметим, что большую амплитуду Е\ имеет та волна с круговой поляризацией, у которой направление вращения совпадает с на-

Рис. 3.6

правлением исходной эллиптически поляризованной волны. В ча стном случае линейной поляризации (Еу — 0 и Еі = Е2 = 0,5 Е; рис. 3.6) обе волны с круговой поляризацией имеют одинаковую величину.

ЗАДАЧИ

3.1. Определить фазовую скорость, длину волны, коэффициент затухания и величину вектора магнитной составляющей поля плоской однородной волны, распространяющейся в полиэтилене (е=2,25, t g 6 = 4 1 0 - 4 , Ц=1), если Ея = ==1 мВ/м и f = 100 МГц.

Ответ: и = 200 Мм/с;

1=2

м;

ка

=0,628

1/км =5,42 дБ/км; Яд =3,98 мА/м.

3.2. Выразить о)|ла и сое0

через к и 2В

(Запомните

полученные

соотноше

ния, так как они используются при выводе многих последующих формул).

Ответ: а>ца

= к2в,

(uea=K./ZB.

же, как

метал

3.3. Если определить толщину скин-слоя диэлектрика так

ла (по уменьшению напряженности

ноля

в е раз), то какова

будет эта

величи

на для волны в задаче 3.1.

Ответ: 1,59

км.

z = 0 На=\

3.4. Напряженность магнитного

поля

меди

при

А/м;

частота

колебаний / = 300 МГц. Найти

значение

zit

при

котором

поле уменьшается

на

20 дБ. Какова напряженность электрического поля в случаях

2 = 0 и

z=Z\1

Ответ: гі =

8,8 мкм;

£ 0 =

6,38 е і 4 5 ° м В / м ;

£І = 0,638

е ~ і 8 7 °

м В / м -

3.5. Для

волны

Ё=(е*60+е„ 100е~ і 4 5 °) . е~'*»г

В/м,

распространяющейся

в вакууме,^определить положение и величину

векторов Е и

Н в

цилиндрической

системе координат

при ^ = 0 и z = nX/8

(п=0,

8). Изобразить

графически

эту волну в пространстве. Какова поляризация этой волны?

] £ | =92,6;

42,4;

Ответ: ф =

50ч; 0Ь;

270°;

247°;

230°;

180°;

90°; 67°;

50°;

70,7; 109; 92,6; 42,4; 70,7;

109;

92,6 В/м,

волна

имеет

правую

эллиптическую

поляризацию.

Глава 4.

ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ . ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ

4.1. Закон сохранения электромагнитной энергии

КОЛИЧЕСТВЕННАЯ МЕРА ДВИЖЕНИЯ

Энергия представляет собой количественную меру движения ма терии. Закон сохранения энергии — один из фундаментальных за конов природы: явления электромагнетизма подчиняются ему без всяких исключений. В равной степени электромагнитное поле подчи няется закону сохранения массы, связанной с энергией универсаль ным соотношением W=mcz, и закону сохранения импульса. Поэто му, рассматривая в дальнейшем энергетические характеристики движущегося электромагнитного поля, будем иметь в виду, что аналогичные соотношения справедливы для массы поля, являю щейся важнейшим свойством материи, и импульса поля.

Известно, что закон сохранения энергии в механике исполь зуется для решения многих задач о движении и состоянии тел. Формулы для кинетической и потенциальной энергии дают воз можность описать характерные особенности перехода механичес кой системы из одного состояния в другое, не вникая в детальное описание этого процесса. Можно утверждать, что соотношения, определяющие сохранение энергии электромагнитного поля, столь же полезны для анализа электромагнитных процессов, как и со ответствующие формулы в механике.

ОСНОВНЫЕ ГИПОТЕЗЫ

Макроскопическая теория поля основана (кроме уравнений Мак свелла) на следующих двух предположениях, устанавливающих связь между векторами поля и его энергетическими характеристи ками:

1. Электромагнитная энергия распределена в пространстве с объемной плотностью:

w = w,+ wM = - L ( E . D + H . B ) , ^ T

(4.1)

где tw3 =E-D/2 — объемная плотность энергии электрического по ля, Й У М = Н - В / 2 — объемная плотность энергии магнитного поля.

2. Плотность потока электромагнитной энергии равна вектор ному произведению, напряженностей электрического и магнитного полей:

П = Е х Н , Вт/м2 ,

(4.2)

где П — вектор Пойнтинга, указывающий направление движения энергии и равный по величине плотности ее потока.

Плотность потока энергии равнозначна плотности мощности, т. е. мощности электромагнитной волны, проходящей через единич ную площадку, перпендикулярную направлению ее распростране ния. Размерность вектора Пойнтинга (В/м) • (А/м) = В т / м 2 .

Объемная плотность энергии w характеризует состояние элект ромагнитного поля в данной точке пространства, а вектор Пойн тинга П — волновое движение поля через эту точку. Заметим, что соотношение (4.1) для шэ и »м в частном случае стационарных по лей было установлено в курсе физики.

БАЛАНС ЭНЕРГИИ

Рассмотрим баланс энергии для некоторого объема V, ограничен ного поверхностью 5. Электромагнитная энергия, содержащаяся в

этом	объеме,	определяется объемным интегралом	W=	\|	(wa+
+ wM)	dV=-—^	( E D + H B ) d V и может изменяться	во	времени,
вследствие:		V
вследствие:

—перехода внутри объема V электромагнитной формы движе ния материи в другие формы: тепловую, механическую, химичес кую. Для электромагнитного поля это равнозначно потерям. Ско рость отдачи энергии электромагнитным полем называется мощ ностью его потерь Рп;

—приобретения электромагнитным полем внутри объема V

энергии	от сторонних источников. При этом	скорость	увеличения
энергии	поля равна мощности сторонних сил	РСт;
— пересечения электромагнитными волнами, переносящими оп
ределенную энергию, граничной поверхности 5. В			этом случае

электромагнитная форма движения материи сохраняется. Поток

электромагнитных волн из некоторого объема						будем	называть
излучением.	Мощность	излучения		определяется		соотношением:
		P s	= (fn- dS .					(4.3)
			s
По закону сохранения			энергии		введенные	здесь	величины
должны быть связаны		соотношением:
		^at =	Р С Т - Р П		- Р 2 .			(4.4)
ЛОКАЛИЗАЦИЯ ЭНЕРГИИ
Применительно к полю закон сохранения энергии должен								быть
выражен как	принцип	локального		(местного) сохранения			энергии:
изменение энергии внутри любого				объема (при		Р п = ^ с т = 0)		сопро-

3—2

вождается притоком или оттоком энергии через границу этого объема. Энергия сохраняется локально в каждой области или точке поля J ) .

Основные положения о локализации и движении энергии в по лях любой физической природы были разработаны Н. А. Умовым в 1874 г. Им был впервые введен вектор плотности потока энергии.

Соотношение (4.2) для плотности потока электромагнитной

энер

гии получено Д ж . Пойнтингом

1884

г.

Для рассмотрения баланса энергии в каждой точке поля введем

понятия

объемных

плотностей

мощности

потерь

сторонних

сил,

определяемых как отношение соответствующих мощностей

объему при

У->0:

p n

= l i m ^ ,

Р с Т

Н т ^ ,

м3

(4.5)

у-о

К-о

Тогда из ф-лы

(4.4)

получаем

за/соя

сохранения

электромаг

нитной энергии

интегральной

форме:

j) П dS +

+ \PndV

= ^PcTdV.

(4.6)

Применив к первому слагаемому теорему

Остроградского

—

Гаусса

(2.8),

получим

div

П dV.

По

принципу локального

сох

ранения

энергии равенство

подынтегральных

выражений

(4.6)

должно

'сохраняться

в любой

точке поля. Отсюда следует

диффе

ренциальная

форма

закона

сохранения

электромагнитной

энергии:

div П + ^ -

+р„

= рст.

(4.7)

4.2.

Мощности потерь и сторонних сил

Электромагнитное

поле

отдает либо

приобретает

энергию

при

взаи

модействии

электрической

составляющей

поля

с движущимися

за

рядами.

Совершаемая

полем

работа,

т. е. потеря

энергии

№ п =

— F-1. Мощность

noTepbPa=dWn/dt

= F-dl/dt = F-\.

Неподвижные

заряды не могут вызвать потерь, так как

v — 0.

Не

совершает

ра

боты и магнитная

компонента

поля, поскольку

сила

F M = Q ( v X

XB;)_l_v, поэтому

всегда

FM -v = 0.

Рассмотрим движущийся заряд, выделив настолько малый ци линдр объема V=Sl, чтобы считать скорость движения заряда v и его объемную плотность р неизменными; образующая цилиндра

') Можно показать, что объемная плотность импульса (количества дви жения) электромагнитного поля равна П/с2 и установить справедливость зако

на сохранения импульса для системы, состоящей из поля и взаимодействующих е ним заряженных частиц.

l\|\|v (рис. 4.1), Величина заряда							внутри	этого	цилиндра	Q = pV.
Тогда мощность потерь электромагнитного поля									Pn = F-v=QE-v		=
= pVE-v. Объемная плотность мощности потерь
				Рп = PJV		=	р v • Е =	J • Е,			(4.8)
так как J=ipv.			Поле отдает энергию ( Я п > 0 ) в						том случае,		если
угол между векторами J и Е меньше 90°. Будем считать это усло
вием применимости ф-лы					(4.8).
Ток проводимости в среде возникает под действием электричес
кого поля		и	'пропорционален				ему: J = oE.
Тогда
		рп = оЕг		= —J\			(4.9)
				а
Полученное			соотношение			представляет
собой	закон	Джоуля-Ленца			в	дифференци
альной	форме		и определяет тепловые (джо-
улевы) потери в проводящей среде, подчи
няющейся		закону		Ома.	Проинтегрировав
ф-лу (4.9) по объему цилиндра V, нетрудно
прийти	к известным интегральным формулировкам этого									закона

pn=GU2=M2.

Вектор плотности конвекционных токов может быть направлен

произвольно по отношению к Е и при этом соответственно					электро
магнитное поле будет либо терять, либо приобретать энергию.
Договоримся считать ток сторонним и обозначать JC T плотность
стороннего тока, если угол между			JC T И Е больше 90°. В этом слу
чае	возникают	«отрицательные	потери», т.	е. электромагнитное
поле	приобретает энергию. В соответствии			с ф-лой (4.8)	объем
ная плотность		мощности сторонних	сил
		pC T = - J C T E .			(4.10)

Передача энергии электромагнитному полю от сторонних источников наиболее эффективна в том случае, если векторы JC T и Е направлены в противоположные стороны.

4.3. Теорема Пойнтинга. Скорость волны

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ПОЙНТИНГА ДЛЯ МГНОВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ПОЛЯ

Поскольку электромагнитная форма движения материи подчиняет ся закону сохранения энергии, соотношения баланса электромаг нитной энергии (4.6) и (4.7) должны вытекать непосредственно из системы уравнений Максвелла (2.16). Теорема Пойнтинга уста навливает это соответствие при сделанных выше предположениях (4.1) и (4.2)".

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 497 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ