Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Семенов Н.А. Техническая электродинамика учеб. пособие для электротехн. ин-тов связи

.pdf

Скачиваний:

130

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

23.29 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 496 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Как	следствие		первого и третьего ур-ний		(3.111)	или из ф-лы
(2.9) получим		уравнения непрерывности для токов проводимости,
сторонних токов и соответствующих зарядов:
		d i v j = — і сор,		d i v J C T = — і сорст.			(3.12)
Дальнейшие			преобразования	справедливы	для	однородной
среды,	параметры		которой постоянны; поэтому		их можно		вынести
за знак пространственного дифференцирования. Упростим							первое
ур-!ние	(3.11)	в соответствии с ф-лой (3.7), во втором				и четвертом
ур-ниях (3.11)		заменим В по ф-ле (3.10):
			rot Н = і соеа Ё 4- JC T

	rot Ё = — і со \іа Н	(3.13)
	e a divE = pC T	(3.13)
	e a divE = pC T
	divH = О

Третье равенство (3.13) получено с помощью ф-л (3.5), (3.8а) и (3.12): div Ь—р = є а д div Ё—(i/co) div J =і(єа д —іа/ісо) div Ё = = ea div Ё. Заметим, что в соответствии с изложенным в 2.5 четвер тые ур-ния (ЗЛ1) и (ЗЛЗ) не являются независимыми; в систему основных уравнений их можно не включать.

Для областей, в которых сторонние токи отсутствуют {JCT = 0

и согласно (3.12) рС т = 0], система уравнений Максвелла		содержит
всего два независимых уравнения:
гЫН = ш Г в Ё	1	( 3 1 4 )

rot Ё = — і и>ца Н I

Уравнения с дивергенциями являются следствием этих уравне ний; действительно, взяв дивергенцию от обеих частей равенств (3.14), с учетом тождества div rot А = 0 получим

divE = 0, d i v H = 0 .	(3.15)
Из сопоставления этих выражений с третьим	равенством (3.11)
вытекает, что р = 0 , т. е. в однородной линейной	среде при отсутст

вии сторонних токов пространственные заряды не образуются.

3.4.Однородные волновые уравнения для векторов

Еи Н

Рассмотрим свойства поля в той части пространства, где отсутст вуют источники. Тогда справедливы ур-ния (3.14), содержащие две

неизвестные векторные функции Ё и Н. Исключим одну из них, сведя систему к одному уравнению для Е или Н. С этой целью най

дем ротор от обеих частей ур-ний	(3.14):
rot rot Н = і № а rot Ё,	rot rot Ё = — і со[Га rot Н	(3.16)

и используем тождество из векторного анализа [5]:

rot rot А = v х (v X А) = v ( V - A ) — V 2 A = graddivA — у 2 А (3.17) с учетом того, что по ф-лам (3.15) дивергенции векторов равны

нулю: rot rot Н = — V 2 H ; r o t rot Ё = — V 2 E .

Оператор

V 2 ,

называемый

также

лапласианом,

представляет

собой

двойной векторный

дифференциал,

который

для векторных

функций

вводится

соотношением

(3.17).

скалярной

величины

приводит

к лапласиа

Двукратное

дифференцирование

ну, являющемуся скалярной функцией координат:

divgradib = v (V ^) = V24>-

(3.18)

декартовой,

цилиндрической

сферической

системах

координат

лапла

сиан от скаляра

записывается как

д 2

д* ib

d 2

v 2 ^ =

-дх*dr + •ду*

дг*

дії

d2\b

}

г2

дф 2

дг2

а2 (гЧ>)

d2i|>

д (

dty

(3.19)

v 2 ^ =

~ — +

—

sin2 »

<Эф2

sin і)

дЬ\

дЪ

dr2

его составляющими

в декартовой

системе

Лапласиан

от вектора — вектор;

координат являются лапласианы от соответствующих

компонент

дифферен

цируемого вектоса:

у 2 А = ел .у2 А* + е < , у 2 ^ + е 2 у 2 Л г

(3.20)

В криволинейных

координатах

вектор

V 2 A нельзя

получить

непосредствен

ным

применением

лапласиана

криволинейным

компонентам

вектора А.

Этот

вектор. вычисляется

в общем

случае

при помощи

соотношения

(3.17):

V2 A = grad div А—rot rot А.

только

прямоугольным

компонентам, не

Операция

вида

(3.20)

применима

меняющим своего

направления

от точки

к точке

(например,

составляющая

А г

в цилиндрических координатах).

выносить лишь те координатные

орты, кото

За знак лапласиана

допустимо

рые имеют одинаковое

направление

во всех

точках пространства.

В правой части ф-л (3.16)

вместо rot Е и rot

Н подставим

соот

ветствующие выражения из (3.14). Тогда

— V2

Н =

і ma

(— і (о\іа Н);

— у 2 Е

— — і Ща (• <*>еа Ё)-

Введем комплексную величину

га^а

[

1 / М

(3.21)

и назовем

ее коэффициентом

распространения

в среде.

Это

упро

щает

запись уравнений:

Vі Н — к*Н = 0,

у 2

Ё — к 2 Ё = 0.

(3-22)

Полученные дифференциальные уравнения второго порядка на

зываются

однородными

волновыми

уравнениями

(уравнениями

Гельмгольца).

Однородные волновые уравнения (3.22) для обоих векто ров идентичны. Поэтому должны быть одинаковыми решения этих

5 1

Как

следствие

первого

и третьего

ур-ний

(3.111)

или из ф-лы

(2.9)

получим уравнения непрерывности для

токов проводимости,

сторонних токов и соответствующих

зарядов:

d i v J = — і сор,

div JC T

= — і сорст.

(3.12)

Дальнейшие

преобразования

справедливы

для

однородной

среды,

параметры

«отарой постоянны;

поэтому

их І М О Ж Н О

вынести

за знак пространственного дифференцирования. Упростим

первое

ур-ние (3.11) в соответствии с

ф-лой

(3.7), во

втором

и четвертом

ур-ниях (3.11) заменим В по ф-ле (3.10):

rot Н =

і сов,, Ё -j-

JC T

rot Ё = — і со [іа

(3.13)

еа div Ё =

р С т

divH = 0

Третье

равенство

(3.13)

получено

с помощью ф-л

(3.5), (3.8а)

(3.12):

div

Ь—р

= є а д

div

Ё—(i/co)

div )=і(єа д —іа/ісо) div Ё =

— 8a div Ё. Заметим, что в соответствии

с изложенным

в 2.5

четвер

тые ур-ния (ЗЛ1) и (ЗЛЗ) не являются независимыми; в систему

основных уравнений их можно не включать.
Для областей,	в которых сторонние токи		отсутствуют \|JC T = 0
и согласно (3.12)	<рОт = 0], система уравнений		Максвелла содержит
всего два независимых уравнения:
	Г О Ш = І С О І ; Е	І	( 3 1 4 )
	rot Ё = — і (аца	Н )

	divE = 0, d i v H = 0 .			(3.15)
Из сопоставления этих выражений с третьим				равенством (3.11)
вытекает, что	р = 0 , т. е. в однородной	линейной	среде при отсутст
вии сторонних	токов пространственные	заряды	не	образуются.

3.4.Однородные волновые уравнения для векторов

Еи Н

неизвестные векторные функции Ё и Н. Исключим одну из них, сведя систему к одному уравнению для Ё или Н. С этой целью най дем ротор от обеих частей ур-ний (3.14):

rot rot Н = і юіГа rot Ё, rot rot Ё = — і co(xa rot H

(3.16)

и используем тождество из векторного анализа [5]:

rot rot А = у

( v X A ) == v ( v - A ) — v 2

A =

graddivA — у 2 А

(3.17)

с учетом того, что по ф-лам

(3.15)

дивергенции

векторов

равны

нулю: rot rot Н = — V 2 H ; r o t

rot Ё = — V 2 E .

Оператор

V 2 ,

называемый

также лапласианом,

представляет

собой

двойной векторный

дифференциал,

который

для векторных

функций вводится

соотношением (3.17).

скалярной величины

приводит к .лапласиа

Двукратное

дифференцирование

ну, являющемуся скалярной функцией координат:

div g r a d = v (V Ч>) =

V 2 ^ •

(3-18)

В декартовой,

цилиндрической

сферической системах

координат

лапла

сиан от скаляра

записывается как

2 г|) =

д2

г|)

д2

дх* +

ду*

дг2

у 2 г|з =

dty

д2г|5

<Э2г|)

—

дг

дф 2

<Эг2

д*(г$)

д2г|з

(3.19)

V 2 i|> = г

дг*

Sin2 at

д ф 2

sin k)

sin і lib

Лапласиан от вектора — вектор; его составляющими в декартовой системе координат являются лапласианы от соответствующих компонент дифферен цируемого вектора:

у 2 А = е А . у 2 Л л + е « / у 2 ^ + е г у 2 ^ г -

(3.20)

В криволинейных

координатах вектор

V 2 A нельзя получить

непосредствен

ным

применением

лапласиана

криволинейным

компонентам

вектора А.

Этот

вектор. вычисляется

в общем

случае

при помощи

соотношения

(3.17):

V2 A = grad div А—rot rot А.

только

к прямоугольным компонентам, не

Операция вида

(3.20)

применима

меняющим своего

направления

от точки

точке

(например,

составляющая

Az в цилиндрических

координатах).

те координатные

орты, кото

За

знак

лапласиана

допустимо выносить лишь

рые имеют одинаковое

направление

во всех

точках пространства.

В правой части

ф-л ( З Л 6 ) вместо rot

Е и rot Н подставим

соот

ветствующие выражения из (3.14). Тогда

— V2 Н =

і № а (— і со(ла Н); — у 2 Е

І СОЦд (І №а Ё).

Введем комплексную величину

К = 1 «в

/м

(3.21)

и назовем

ее коэффициентом

распространения

среде.

Это

упро

щает

запись уравнений:

V2 Н — к2

Н = 0,

v 2

Е— к2 Ё = 0.

(3-22)

Полученные дифференциальные уравнения второго порядка на

зываются

однородными

волновыми

уравнениями

(уравнениями

Гельмгольца).

уравнений для векторов Е и Н, описывающие волны в безгранич ном пространстве. Поскольку при выводе ур-ний (3.22) использо вались соотношения (3.15), решения волновых уравнений должны удовлетворять также условиям отсутствия дивергенции Е и Н во всей рассматриваемой области.

Так как векторы Е й Н связаны уравнениями Максвелла (3.14), совершенно излишне решать волновые уравнения как для Е, так и для Н, достаточно решить лишь одно из них. Как будет показано ниже, решением волновых уравнений являются функции координат и времени, которые описывают электромагнитные волны, распрост раняющиеся в свободном пространстве, волноводах, объемных резонаторах и других устройствах.

3.5. Плоские волны в неограниченных средах

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Важнейшие свойства электромагнитных волн рассмотрим на про

стейшем примере плоской однородной	волны, распространяющейся
вдоль оси z в однородной изотропной	среде.
Введем ряд определений. Фазовым	фронтом волны называют

поверхность, проходящую через точки с одинаковыми фазами. По

форме этой поверхности определяют, например,

сферическую

или

цилиндрическую

волну. У плоской

волны эквифазная

поверхность

представляет, собой

плоскость

(z = const). Волна

называется

одно

родной,

если ее амплитуда

постоянна во всех

точках

фазового

фронта, и неоднородной,

если

ее амплитуда

зависит от координат

точек фазового

фронта.

Анализ однородной плоской волны естественно проводить в' де

картовой системе координат. Ее поле по определению

не зависит

от поперечных

координат

х н у ,

следовательно, д/дх=0,

д/ду

— О и лапласиан V 2

волновых

ург-ниях (3.22)

согласно

(3.19)

(3.20)

превращается

во вторую производную

dz/dz2.

РЕШЕНИЕ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ

Решим при этих условиях ур-ние (3.22) для вектора Е = £е£;, пред полагая направление е Е во всех точках неизменным. Из волнового уравнения получаем обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка:

^	_ ^	= 0-	(3.23)
d z	2	*

его общим решением является суперпозиция двух частных реше ний:

Ё = Et е~г•• + £сГ е + Г г ,	(3.24)
где Ёо~ = £о~ е ! * + и Ёо~ = £(Г е'Ф" — произвольные	комплексные

коэффициенты, определяемые граничными условиями.

Напомним, что коэффициент распространения к согласно ф-ле (3.21) — комплексная величина; учтем также выражения (3.8) и

(3.10). В результате получим

К = Ка+ І Kfi = І СО У%а $ а = І Ю У( е'а — 1 »«) ( К ~ 1 К),	(3.25)
^ 0	****

где Ка — Я.ек — коэффициент затухания волны в среде; /ер =Im/c —

коэффициент фазы волны в среде.

Составляющие

коэффициента

распространения

определяются в

общем

случае из ф-лы (3.25). Для этого

нужно возвести в квадрат обе части равен

ства и решить

получившуюся систему уравнений;

в результате имеем:

к а ~

2 •Wk*+I* — R,

ж,

со

+ I* + R,

(3.26)

^yVR»

где Я=--Яе(ва[іа)

= еа]іа—

sa\xa ;

/ =

- Im (еа ца )

= в а ц а

+ еа [га .

ПРЯМАЯ И ОБРАТНЫЕ ВОЛНЫ

Запишем

уравнение

(3.24) с учетом

соотношения (3.25):

. , —к z

•—і/с z

+ £о~ е

Е=Е£~ Зо' Є

"А

Согласно ф-ле (3.4) мгновенные

значения

напряженности

поля:

/ 2

[ j # е«* + е

к г

/a>t—K„ г

е "

( a r f + « p Z )

« Є

} + £ о " е ! *

= / 2 £ 0

h e

cos(co^—/ср 2 +

г р + ) + i / 2 £ 7 e a

cos(co^ + K p z 4 - t | ) - ) .

(3.27)

Аргументами этих выражений служат функции времени и пространства вида (со/—кр z) и (со/+/ср г ) , указывающие на вол новой характер поля, на его дви жение. Скорость движения фазо

вого	фронта	волны	называется
фазовой. Ее находят			из уравне
ния	движения	любой	точки на

этом фронте, фаза которой неиз

менна, например, для		первого
слагаемого (3.27)	(cat—кр z+ty+) =
= const. Дифференцирование			это
го выражения	по	t	дает
со—Kfi(dz/dt}=0,	откуда	фазовая
скорость

<3 -2 8 >

t Ґ	t	t
с '	'	'

Reei(ut*HPz>-ais(vt

+ Hp£)

Рис.3..

Выражение (3.28) определяет скорость фазового

фронта

вол

ны, распространяющейся вдоль оси z в положительном

направле

нии, ;в сторону растущих

значений координаты

(рис. 3.1а). Назо

вем ее прямой

волной. Амплитуда прямой

волны

по мере

ее

дви

жения экспоненциально

уменьшается

пропорционально е ~ к

° - гг

что

объясняется

поглощением

энергии в

среде

за

счет

электрических

и магнитных

потерь.

При каг—\

напряженность поля в е « 2 , 7 2 раз меньше, чем при

2 = 0. Введем

также коэффициент

затухания к°а

, выраженный

в де

цибелах на метр (дБ/.м): к°а = 20 \g е"а

=8,686

ка.

Тогда

можно во

всех формулах

ввести

замену

e~K a Z = ю - 0 , 0 5 * 0

' .

При KaZ=\

дБ

ка z = 0,l 15 и напряженность поля уменьшается

1,12 раз.

Для фронта

с фазой

(со^ + кр .г + ф-) = const

во втором

слагае

мом выражения

(3.27)

справедливо

уравнение:

(о + /ср

(dz/dt)

=0,

которому

соответствует

отрицательная

фазовая

скорость

v =

= — (со/Кр )е г . Этот фронт

принадлежит обратной

волне,

бегущей в

сторону отрицательных

значений

z (справа

налево

на

рис. 3.16).

Амплитуда обратной волны также уменьшается	по мере ее движе
ния пропорционально е К а , г , т. е. с уменьшением	z.

Заметим, что скорости и коэффициенты затухания прямой и об ратной волны одинаковы. Поэтому будем в дальнейшем рассмат ривать только прямую волну, считая, что условия опыта не допус кают возникновения обратной волны, т. е. что = 0 . Это соответ ствует предположению, что источник волн на рис. 3.1 находится на отрицательной полуоси z, слева от рассматриваемой области.

ДЛИНА ВОЛНЫ И ВОЛНОВОЙ ВЕКТОР

Согласно ф-ле (3.24) запишем					действующее значение				поля пря
мой волны, опустив индекс « + »:
~					е я		- 0 , 0 5 к ° г
Ё = Ё0 е~кг	еЕ = Ё0е~ к«г		е	"*Р '		=Ё0-10		e - i K C z e £		.(3.29)
Длиной	волны	К называется			расстояние между			двумя		фазовы
ми фронтами волны, различающимися по фазе на 2п									(например,
расстояние	между	ближайшими				максимумами		напряженности
поля, измеренное вдоль направления распространения волны).
Если принять z2-^zi = X, то щ					(z2—Zi) = К р Х = 2гг, откуда
		X = -— = —					= JL .			(3.30)
				*>	ю/0		/
Назовем перпендикуляр к фронту волны лучом.								Его	направле
ние обозначим ортом е л			= е2 ; оно совпадает с направлением							фазовой
скорости v. Введем		волновой		вектор
			к =	к е л =	(ка		+ і Кр) е л ,			(3.31)

совпадающий с направлением луча и равный по величине коэффи циенту распространения волны в данной среде.

НАПРАВЛЕНИЯ И ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ВЕКТОРОВ Е И Н

Найдем

направление

вектора

Е,

используя условия

д/дх

= 0^

д/ду = 0 и

соотношение

(3.15): div

Ё = дЁх/дх

+ дЁу/ду

+ дЁг/дг

= 0»

т. е. dEz/dz=0

или Ёг = const:

Из

ф-лы

(3.29) с л е д у е т E z = E - e z = EQze~KZ

, что

совместимо

£, 2 = const

лишь в случае EQz = 0. Продольная

составляющая элект

рического поля равна нулю. Вектор

Е перпендикулярен

направле

нию распространения

волны

к.

Магнитную составляющую поля Н найдем с помощью второго

уравнения Максвелла

(3.14). Так как вектор

Е {ф-ла

(3.29)]-имеет

только поперечную составляющую и зависит

лишь

от

координаты

z, его

ротор/перпендикулярен как

еЕ,

так

и е2

= е л ,

rot

^ ( е л Х

Хек)

-кЕпе-кг

(ЄлХЄЕ)

= —кЕ

( е л Х е в ) . Следовательно,

дг

arot Е =

£ ( е л Х е £

) =

^ е я

= - ^ е - ' £ ~ еЯ

—

І CO[la

1 COfi

^в

(3.32>

V - Є

где Єн = е л Х е в — орт,

указывающий

направление вектора Н Оче-

видно, что

Н_1_Е и Н ± к

(см. рис.

3.2).

Электро

м а г н и т н а я

волна,

у которой

векторы

Е и Н взаимно перпенди

кулярны

перпендику

лярны

направлению

рас

пространения

к,

называ

ется

поперечной

или

ТЕМ-волной'). Обе

про

дольные

составляющие

поля у ТЕМ-волны равны

нулю: Ez=0;

Я 2 =0 .

Рас

Ряс 3.2

сматриваемая

волна

при

надлежит

к этому

классу.

Так как е л

= е Е

Х е н

направление

распространения

определяется-

правилом

правого

винта, вращающегося

по

кратчайшему

пути

от

Е к Н.

Отношение комплексных величин напряженностей электрическо

го и магнитного полей в ТЕМ-волне

называется

волновым

сопро

тивлением

среды ZB. Согласно

ф-лам

(3.32) и

(3.21),

Z „ =

I Z J e '

СОЦ.а

шАг

-і

j ^ .

(3.33>

') В соответствии с английским термином transverse electromagnetic.

И з (3.32) и (3.33) следуют векторные соотношения:

E = | Z B | ( H x e J I ) e 1 * » ; Н = - ^ ( Ё Х е л ) е - ' * в .

(3.34)

Вследствие подобия ф-л (3.32) и (3.29) мгновенные значения •магнитного поля Н меняются в функции z и t по закону, аналогич ному (3.27) для Е. Магнитный вектор в бегущей электромагнитной волне пропорционален по величине электрическому и отстает от него по фазе на угол і\>в (при z=const), что соответствует А г = г|)в /кз (при t= const) на рис. 3.2.

3.6. Волны в диэлектрике

Диэлектрик в соответствии с ф-лами

(3.6)

(3.8)

характеризует

ся комплексной

диэлектрической

проницаемостью

Є а = Єа(1 —itg6) .

Предположим, что магнитные потери в диэлектрике

отсутствуют

Ца = м-а. Тангенс угла диэлектрических

потерь для используемых на

практике диэлектриков

tg8<Cl.

Определим

составляющие

коэффициента

распространения

(3.25), используя

малость tg6

по сравнению

с единицей:

к = (са + і к р

= і со / е а ( 1 — i t g 6 ) | X a = і со VeflLifl^l — i ^ j =

= A-ktgb+\k,

(3.35)

где k — волновое

число

— коэффициент фазы

в идеальном диэлек

трике с теми же значениями га

и \х,а.

Из ф-лы (3.35) следует, что фазовый коэффициент реального .

диэлектрика

с малыми

потерями

(tg6<Cl)

равен

волновому числу

и от величины потерь.не зависит:

Кр = ^

= ш / ^ .

(3.36)

Коэффициент затухания пропорционален

tg6:

Своего рода эталоном служит волна в вакууме, где потери от

сутствуют. Волновое

число вакуума

&о —coVеоцо.

Фазовая

скорость

электромагнитной

волны

в вакууме

(скорость

света) согласно

(3.28) определяется выражением:

с = -^- =

— L=

= 299,79 « 300

—

(3.38)

У е„ |i 0

также

значения є и

Используя эту величину, а

относительные

ц, можно вычислить фазовую скорость волны в любом другом ди электрике:

v _L_ = J . = _ £ - . (3.39)

Таким образом, фазовая скорость волны			в диэлектрике опреде
ляется только значениями его проницаемостей				є и ц.
Длину волны	в	вакууме, и диэлектрике		определим . по	ф-ле
(3.30):
Х0	=	- - ; Х = - ^ = - Л г	=	- ^ .	(3.40>

/f fVw

Волновое	сопротивление		диэлектрика		в соответствии		с	ф-лой
(3.33)
[Н	У e f l ( l - i t g 6 )		V e f l / l - f t g 2 6 e - , e			V е0		(3.41)»

Так как tg6<Cl, сдвиг фаз между векторами Е и Н в диэлект
рике TpB = S/2	невелик;	например, при t g 6 = 1 0 - 3 , •фв =1,7/ . В					идеаль
ном диэлектрике эти векторы синфазны.
Модуль волнового		сопротивления не			зависит от	потерь		в	ди
электрике. Волновое сопротивление				вакуума
	ZB 0 = l / — = 3 7 6 - 7 3 ~ 1 2 0 з т > 0 м -							{ З А 2 >
Модуль волнового сопротивления диэлектрической среды обыч
но определяют с помощью			относительных		проницаемостей:
	1 * 1 - У ? - У Н < 3					- 4		3	>

3.7. Волны в проводнике

Среда считается проводником, если оЭ>соеа. Вследствие этого* є а = єа —іа/со»—іа/ю. Предположим, что магнитные потери в про

воднике	отсутствуют, т. е. ц а = ц.а.			Найдем		коэффициент		распрост
ранения	волны:
Введем		величину
			Д = V-^r					<3-44>
			У	a\iao
и назовем		ее толщиной	скин-слоя*)	(ее	именуют		также	глубиной
проникновения, толщиной			поверхностного			слоя).	Эта	величина
имеет размерность длины и в обычных					проводниках на			высоких
частотах не превышает долей миллиметра.

') skin (англ.) — кожа, кожура, оболочка.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 496 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ