Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Семенов Н.А. Техническая электродинамика учеб. пособие для электротехн. ин-тов связи

.pdf

Скачиваний:

302

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

23.29 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 495 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Применим к поверхности цилиндра третье ур-ние (2.17) — тео рему Гаусса. При Д/г-Ч) пренебрегаем слева вкладом интеграла от D по поверхности боковых станок, а справа — несущественным вкладом объемного заряда с конечной плотностью р; зато следует учесть поверхностный электрический заряд с плотностью аэ в пре делах площадки AS. В этом случае

		J D r ( — n)dS-\-		J D 2 n d S =			f	a3dS,
		ДІ',	AS,				AS
где n — нормаль, направленная				из первой		среды во вторую.
После	интегрирования		и сокращения				на	А 5 = Л 5 і = Д 5 2		полу
чаем
		(D2—D1).n		= a3.						(2.20)
Нормальная		составляющая вектора электрической							индукции	при
переходе	через	граничную	поверхность		претерпевает				скачок,	чис
				ленно		равный			поверхностной
				плотности			электрического			заряда.
				Заметим,				что	поверхностный
				заряд может образоваться «а по
				верхности проводников в электро
				статическом				поле. В переменном
				электромагнитном поле такие за
Рис. 2.7				ряды возможны лишь на поверх-
Рис. 2.7				ностях	идеальных				проводников.

Поэтому при переменных полях в реальных средах нормальная со ставляющая вектора электрической индукции на границе не из меняется.

Используя четвертое ур-ние (2.17) для						магнитной			индукции,
аналогично предыдущему			получаем
			(В2 —	В1).п	= 0.					(2.21)
Нормальная	составляющая			вектора магнитной				индукции		при
переходе через границу		не	изменяется.
Выпишем с учетом ф-л (2.18) соотношения для нормальных со
ставляющих всех	векторов поля в				изотропных		средах		при	0Э =О:
D-in = Dln;	Въп=В1п;		є 2 £ 2 л		= є 1 £ 1 „ ;	ц 2	# 2 п = \hHin.			(2.22)
КАСАТЕЛЬНЫЕ			СОСТАВЛЯЮЩИЕ ПОЛЯ
Д л я тангенциальных		составляющих			поля	нужные		соотношения

определятся, если рассмотреть небольшой контур С, плоскость ко

торого перпендикулярна	поверхности	S (рис. 2.8).		Пусть Д/i-vO;
нормаль п проведена к	границе 5; нормаль		п0 — к	площадке AS
(от читателя) с учетом	направления	обхода	контура; т = п 0 Х п —
единичный касательный	вектор.

Предположим

далее, что по по

верхности

бесконечно

тонком

слое

протекает

ток. Вектор

плотно

сти

поверхностного

электрического

тока

определяется

как

сила

тока в

полосе

единичной

ширины

или

l = tidljdl,

где

е/ — орт, направле-

и с

2 .8

йие

которого

совпадает

направ

лением тока,

d\ — пересекаемый

током

отрезок

линии, перпенди

кулярный Є/.

Применим теперь к контуру первое ур-ние (2.17) с очевидной

при A/z->-0 и Д5->€ заменой

і J-riodS на

]-nadl,

так как J по вели-

д/

чине

конечно

и следует

учитывать лишь

поверхностный ток:

j Hl-(—x)dl+

Hrxdl

= ~

D - n 0 d 5 +

j-nod/.

Д/

Вкладом боковых сторон

(АЛ-Ч))

контурный

интеграл здесь

пренебрегаем. Первый интеграл в правой части этого выражения также стремится к нулю, поскольку AS=A/-A/i->0. Тогда, очевид

но,

( Н 2 — Н і ^ ) - т = j • п0 . Заменим т векторным произведением

норма

лей: ( Н 2 — H i )

• (ПоХп) = j - п 0

и выполним

в левой

части

полученно

го равенства

(в

скалярно-векторном

произведении) круговую пе

рестановку множителей

(см. [5]): [ n X ( H 2 — H i ) ] n 0 = j - n 0 .

Так как направление вектора п 0 выбрано произвольно, необхо

димо, чтобы

j = n X (

(2.23)

Н 2 - Н Г ) .

Плотность поверхностного тока j отлична от нуля только на гра

ничной

поверхности

идеального

проводника.

Во всех

остальных

случаях

j = 0

п Х ( Н 2 — Н 4 ) = 0 .

Векторное

произведение

равно

нулю, если равна нулю составляющая

вектора

( Н 2 — Н І

) ,

перпен

дикулярная к нормали

п, т. е. касательная

составляющая

H 2 t

— H i t = 0.

(2.24)

Касательная

составляющая

вектора

напряженности

магнитного

поля

непрерывна

на

границе

любых

реальных

сред.

Если теперь применить к контуру

рис. 2.8

закон Фарадея [вто

рое

ур-ние (2.17)], то после аналогичных

преобразований получим

п Х ( Е 2 — Е і ) = 0 ,

что эквивалентно

равенству:

Е 2 т — Е [ Т =

(2.25)

Касательная

составляющая

вектора

напряженности

электриче

ского поля непрерывна

на границе

любых

сред.

Из ф-л (2.18), (2.24) и (2.25) следует также, что ,в изотропных

средах при j = 0

Ь і

= JL L ,

- ^ i =

£ l l .

(2.26)

(i2

Иі

є2

ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ ПЕРЕМЕННЫХ ПОЛЕЙ

УПОВЕРХНОСТИ ИДЕАЛЬНОГО ПРОВОДНИКА

Вэлектростатике при любой проводимости материала электричес кие поля в нем отсутствуют. Переменные поля проникают в мате риал с конечной проводимостью. Однако, если проводник считать идеальным, то заряды внутри него столь подвижны, что мгновенно реагируют на сколь угодно быстрые изменения поля, создавая на

его поверхности поверхностную плотность заряда (2.20) о^——Ei-n, которая обеспечивает нулевое электрическое поле внутри проводни ка. Аналогично при изменении во времени магнитного поля по верхностные заряды перемещаются и создают поверхностный ток

(2.23)	j = — n x H j T , благодаря чему магнитное		поле внутри провод
ника	отсутствует.
Указанная		идеализация часто используется при рассмотрении
полей	вблизи	проводящих поверхностей, так	как проводимость

реальных металлов действительно весьма велика и предположение, что она бесконечна, ведет лишь к незначительной погрешности при определении поля в диэлектрике.

Итак, в идеально-проводящей

среде

электромагнитное

поле

от

сутствует: £ , 2 = і О 2 = Я 2 = 52 =0 . Из найденных ранее граничных

усло

вий

(2.20),

(2.21),

(2.23) и (2.25)

получаем

для

изотропной

сре

ды 1:

Di • (—п) = е а 1 Ех • (—п) =

стэ;

Е 1 т

(2.27)

Bln = Hln = 0; H l T X [ n = j

іГ

Тангенциальная

составляющая

напряженности

электрического

поля

и нормальная

составляющая

напряженности

магнитного

поля

поверхности

идеального

про-

1п

і ппяпрнтппн

водника

отсутствуют.

Нормаль-

пая

составляющая

электричв'

ского

поля

определяется

рас

пределением

поверхностного

заряда

(рис.

2.9).

Плотность

электрического

тока

на

по

верхности

проводника

равна

по

величине

перпендикуляр

на

по

направлению

касатель

Рис. 2.9

ной

составляющей

напряжен

ности

магнитного

поля у

по

верхности.

Для определения характера изменения магнитного поля выпи

шем

первое

уравнение Максвелла

(2.16) с учетом

ф-л

(2.18)

и со

отношений

(2.27):

(2.28а)

Запишем ротор с помощью оператора Гамильтона		(набла):
rotH 1 T = у X HIT = ( V T т п г ) X H l t = VT X H l x + n X		. (2.286)
\	on I	дп

Дифференциальный оператор Гамильтона V (набла) — символический .век тор, заменяющий символы градиента, дивергенции и ротора (см. [5]):

V Ф = grad t\|5;		у-А = div А;			у х А		rotA.		(2.29)
В декартозой системе координат оператор					Гамильтона			выражается как
		д	д	+ е		д			(2.30)
	V = e , — + е		в —			2 — .
Если плоскость	дх		ду			дг		хОу, оператор набла
	S совпадает,	например,		с плоскостью
можно представить	в виде суммы тангенциальной					у т	=	д	д
								-;— + е« —— и нор-
д						т		дх	дц

мальной V n = ez —дг	составляющих:
	V = V X + V n = V T + п —					( п н е 2 ) .			(2.31)
Первое слагаемое выражения			(2.286) (представляет собой вектор,

направленный нормально к поверхности, и может быть приравне

но к

правой части

ф-лы 1(2.28а). Второе слагаемое — тангенциаль

ный

к поверхности

вектор,

равный

нулю, так как правая

часть

ф-лы

(2.28а)

не имеет касательной

составляющей.

Следовательно,

^ 5 » =

о,

(2.32)

дп

т.*е. структура поля в среде

J такова,

что тангенциальная

состав

ляющая

магнитного

поля

достигает

у плоской

границы

идеального

проводника

экстремального

значения

(в направлении

нормали к

границе).

получить

соотношения для касательной со

Более

общим методом можно

ставляющей магнитного поля

у криволинейной границы

идеального

проводника.

В произвольных ортогональных координатах

равенство

(2.32)

справедливо для

компонент поля, направленных вдоль образующих криволинейной границы: в

цилиндрических координатах1) для Hz у границы, совпадающей с цилиндричес
кой координатной поверхностью r = const; в сферических координатах 2 ) для Иг
у границы идущей по конической координатной поверхности #=const.
В остальных случаях	экстремально по нормали к границе произведение тан
генциальной составляющей	на соответствующий коэффициент Ламэ3 ).
') Цилиндрические координаты точки Р: длина радиуса-вектора г — расстоя

ние от точки Р до оси Oz; полярный						угол ф угол между прямой ОР' и полярной
осью Ох (Р' — проекция			точки		Р на плоскость			хОу); аппликата	г — расстояние
от точки Р до основной .плоскости хОу [5].								радиуса-вектора	г — расстояние
2 ) Сферические координаты					точки Р: длина
от точки Р до начала		координат 0; долгота					<р угол между плоскостью				хОг и
меридианальной	плоскостью, проходящей через							точку Р и ось Oz; полярное			рас
стояние # — угол между осью Oz и прямой ОР [5].
3 ) Коэффициент Л а м э				— масштабный			множитель, связывающий измене
ние одной из координат			с	изменением длины				соответствующей		координатной
линии. Коэффициенты		Л а м э			для декартовых			координат: ах=ау—аг=\;			для
цилиндрических:	ат = аг=\;			а	ф = /•;	для	сферических: • ar=\;			a^=^rs\nfs;
«<v =г [3].

В цилиндрических и сферических координатах у границы, совпадающей с координатной поверхностью г=const:

	- \| Г (	' Я Ф )	= 0 ; -£г(гН*)=°-		<2-33>
В сферических координатах у границы, идущей по конической поверхности
d=eonst:
		- ^ ( 8	І п » Я ф ) = 0.		(2.34)
ЗАДАЧИ
2.1. Найти	электрическое	поле	бесконечной	заряженной	нити с линейной
плотностью заряда т, Кл/м.
Ответ: D=er т/(2лг).				поверхностной	плотностью заря
2.2. Найти	поле бесконечной плоскости с			поверхностной	плотностью заря

да оэ , Кл/м2 . Ответ: D = na3 /2.
2.3. Найти электрическое поле внутри шара радиуса а, заряженного рав
номерно по объему зарядом Q.
Ответ: D=er		Qr/(4na3)	(r^a).		магнитном		поле	с	магнитной	индукцией
2.4. В	однородном		постоянном
В =5 мкТ		вращается виток провода			радиуса а=0,2			м	с угловой	скоростью
50 об/с. Сопротивление			витка 5 Ом. Ось вращения перпендикулярна вектору
В. Найти	максимальное		значение	тока		в витке	и выразить зависимость тока
от времени.
Ответ: /тах = 39,5 мкА; i—lmax				sin со/;		ю = 314	рад/с.

Глава 3.

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА МОНОХРОМАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ

3.1.Векторные величины в комплексной форме

Вкурсе технической электродинамики изучаются преимущественно переменные поля, изменяющиеся во времени по гармоническому (синусоидальному) закону с определенной, хотя и произвольной частотой /. Круг задач этим условием не ограничивается, так как зависимость создаваемых техническими устройствами полей от времени обычно близка к гармонической и, кроме того, известно,

что почти	любую	функцию времени	можно	с помощью ряда или
интеграла	Фурье	представить в виде	спектра	частот: гармоническо

го ряда или интеграла от ее частотных составляющих. Поэтому до статочно рассмотреть переменное поле одной частоты, называемое

также монохроматическим.

Математический анализ монохроматических полей в линейных средах значительно упрощается при использовании символического метода (комплексной формы записи), который широко применяет ся в теории переменных токов. Рассмотрим особенности этого ме тода применительно к векторным величинам.

Мгновенное значение гармонически изменяющегося вектора можно записать в виде:

А = / 2 [tx AlR cos (со t +		•ф].) + e2 Л з д cos (со t+^2)	+ е3 Л 3 д cos (to t	(3.1)
				(3.1)
где	еі,2 ) з — взаимноперпендикулярные		координатные	орты,
Аь2,	зд — действующие	(эффективные) значения координатных со

ставляющих, ^1,2,з — фазы этих составляющих, со = 2л/ — круговая частота гармонических колебаний.

Если фазы	координатных компонент одинаковы г\|з = 'фі = 'ф2=фз.
то вектор А можно представить через действующее							значение	век
тора Ад :
А =	/ 2	(ЄІ Л 1 д +	е2 Д Д	+ е3 Д Д ) cos	(со t +	г\|>)	=
		. = / 2	Ад cos (со t + ф).					(3.2)
Комплексными		действующими		величинами		назовем векторы
А =	(еЛде'' -Г e ^ V * + е^де'**)				или	А = А д е'*.		(3.3)

Мгновенные значения вектора (3.1) или (3.2) определяются как

вещественные части от произведения комплексных действующих величин на V% и е1 й ) 'з

А = / 2	Re [\еш]	- 1 2 Re IАд ej	V й ' ] = ] / 2	Ад cos (соt-\- ^ ) . (3.4)
Последнее	равенство	основано на	формуле	Эйлера е 1 ( ш і + * > =
= cos(co^ + i\|;) + i sin (со^ + г\|)).

Символический метод применим для анализа любых гармони ческих колебаний, подчиняющихся линейным уравнениям, в част


ности уравнениям Максвелла для			линейных сред. Пусть для моно
хроматического	поля справедливо		уравнение, в котором времен
ные зависимости	векторов	записаны в виде cos (со^ + г\|)). Тогда		это
же уравнение верно и для		поля с зависимостями вида sin(o)/-f-i\|>)		=

=соэ(ю^+1|з—я/2), отстающего от первого по фазе на я/2. Умножим

второе уравнение на і и сложим с первым. По формуле Эйлера			это
эквивалентно переходу		к уравнению в комплексной записи.
В уравнениях для комплексных величин зависимость от време
ни е ш	писать не принято1 ), хотя всегда подразумевается, что		речь
идет	о гармонических	колебаниях определенной частоты со = 2я\|\

Напомним, что дифференцирование комплексной величины по вре мени эквивалентно в символическом методе ее умножению ко,'

так как — е = кое .
dt
Обратим внимание на одну особенность. Величины, с которыми
приходится иметь дело в теории поля, представляют собой	векто
ры в трехмерном пространстве (обозначаются полужирным	шриф

том) . Одновременно переменные величины представляются векто

рами,	вращающимися	с круговой частотой со на комплексной		пло
скости	(обозначаются	точкой наверху).	Направление вектора	в
трехмерном пространстве — это реальная			характеристика ориента

ции поля. Направление же вектора на комплексной плоскости — это всего лишь условное обозначение определенной фазы данной гармонически изменяющейся величины по сравнению с выбранным началом отсчета.

3.2. Комплексные проницаемости

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ПОТЕРИ
Электрическое поле вызывает два	вида потерь в среде.
П о т е р и , о б у с л о в л е н н ы е	п р о в о д и м о с т ь ю м а т е
р и а л а , характерны для металлов	и других хороших проводников,

а также для диэлектриков на низких частотах и в стационарных

полях.	Плотность		тока проводимости		J = crE согласно закону				Ома
(1.14),	(2Л8) пропорциональна удельной					электрической		проводи-'
') Иногда временная зависимость задается в						виде	е ~ m , что	эквивалентно
замене	знака	перед і	на противоположный		во	всех	соотношениях.		Вместо
действующих		можно	использовать также	амплитудные значения				поля	А т =
= 1^2	Ад и комплексные амплитуды А т =			\|^2А.
46

мости а, которая у большинства материалов почти не зависит от

частоты вплоть до инфракрасной области спектра.
П о л я р и з а ц и о н н ы е	( д и э л е к т р и ч е с к и е )	п о т е р и
объясняются трением при смещении заряженных частиц		вещества

в переменном электрическом поле. В результате наблюдается яв ление линейного диэлектрического гистерезиса, отставание по фазе

векторов лоляризованности диэлектрика Р э и электрического смеще ния D от вектора напряженности электрического поля Е. График зависимости D от Е представляет при этом вытянутый эллипс, причем диэлектрические потери за период колебаний пропорцио нальны его площади. Отставанию по фазе D от Е соответствует ком плексная диэлектрическая проницаемость с отрицательной мнимой частью в материальном ур-нии (1.12), (2.18):

D ^ е д Ё = e«e0 E,			(3.5)
%r= г ' а — і Єод = г'а(\—•	іtg6); 'е д =е'(1 — itg6), -		( 3 - 6 )
где І е'б = Є а Д / є а — тангенс угла	диэлектрических	потерь.

В широкой полосе частот (за исключением полос поглощения) компоненты г'а и е"аД в диэлектриках меняются незначительно, их

отношение tg6 практически постоянно. Дл я качественных диэлект риков в радиодиапазоне (до / « 1 0 0 ГГц) tg8= 10~2-HlO~4.

КОМПЛЕКСНАЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ

С учетом соотношений (1.4) и (3.5) запишем в символической форме первое уравнение Максвелла (2Л6) для линейных сред при / с т = 0:

rot H = io>D + J = і (оеа д Ё - f ст Ё = і со ( г'а — і г'аЛ) Е + сгЕ. Объединим слагаемые в правой части этого равенства:

rotH =		і co^ г'а— і є;д — і -^-JE = і сое^ Ё,				(3.7)
	і	є л	-i(e'atg6	+ — ) = Є а д _ і - 5 -		(3.8а)
— комплексная	абсолютная		диэлектрическая		проницаемость.
Часто используют относительную комплексную диэлектрическую
проницаемость:
			s'tg6-			(3.86)
				COR0
Соотношения	(3.8) формально			объединяют	параметры	среды,

определяющие плотности тока смещения Лсм = іо>єадЕ и проводимо сти j='afe. Оно введено для упрощенной записи, первого уравнения Максвелла (3.7). Непосредственно заменять истинную диэлектри ческую проницаемость среды величиной е а в других уравнениях,

например в (3.5), нельзя. В то же время из ф-л (3.8) вытекает, что мнимая составляющая диэлектрической проницаемости є^д и

слагаемое а/со эквивалентны, они в равной степени приводят к по

терям. Более	того, эти два	вида	потерь	(в'ё	+а/со)	при фик
сированной частоте с макроскопической точки					зрения	неразличи
мы. Поэтому	на основании	ф-л	(3.8 )	можно	формально ввести

эквивалентную проводимость диэлектрика, соответствующую поля ризационным потерям:

°Д = ( 0 Є а д = ^ t g d

(3.9)

и при расчете мощности потерь учитывать ее наряду с истинной проводимостью а.

Итак, вещественная часть комплексной абсолютной диэлектри ческой проницаемости равна абсолютной диэлектрической прони

цаемости	материала г'а	= е а ;	отрицательная	мнимая	часть
ш"а равна	сумме'двух	слагаемых; г"аА = г'а tg6,		соответствующего

поляризационным потерям, и а/со, соответствующего потерям на

электрическую

проводимость.

ПРОВОДНИКИ И ДИЭЛЕКТРИКИ

Проводник

характеризуется

наличием

тока проводимости

J = oE,

синфазного

с напряженностью электрического

поля. Д л я

диэлект

рика характерен, ток смещения с

плотностью 3Си = ш(е,'а

—\г"ал

)Е,

опережающий

по фазе

Е почти на

90°. Так

как

г"ад <<&'а

> то [еа д ! =

= V( е'аУ +

( &"apfWZa

И1 ''см |~00Є а |Е| . ОтНОШЄНИЄ МОДуЛСЙ ПЛОТНОСТЄЙ

токов смещения и проводимости определяется

параметрами среды

н пропорционально

частоте:

| / С

м | / | / | =<йеа /а.

Назовем

средней

ту

частоту, при которой

| / С м | =

| ^ | ,

т. е. соС рба = а и среда

равной

степени обладает свойствами проводника и диэлектрика;

очевид

но, /С р = а/(2яеєо). В

таблице

3.1

приведены ориентировочные

дан

ные для ряда технических материалов и естественных сред.

Будем

считать

среду

проводником,

ЄСЛИ

J см 1/1 / І =С08а /а =

х = ///ср<0Д; тогда

фаза

е а

близка

к —90°.

Так как параметры

ме

таллов неизменны

только

до частот порядка 10 Т Г ц = 1 0 1 3

Гц

(Х =

=30 мкм), определенная

для них частота /С р свидетельствует лишь

о том, что вплоть до оптических частот

металлы являются

провод

никами. К

проводникам

относятся

также

естественные

среды на

низких частотах (/<0,1

fCp).

Диэлектрик

характеризуется

неравенством

| / С м | / | Л

=соеа /а =

=///ср>10. На всех частотах, начиная с промышленной

50 Гц,

тех

нические диэлектрики не обнаруживают свойств проводника.

Ди

электриками

являются

также

естественные

среды

на

высоких

частотах

(f>10fC p) .

				Т а б л и ц а			3.1
	Среда		є	а, См/м		/ С Р ,	Гц'
Полистирол			2,4	ю - 1	4	Ю - 4
Гетинакс			6	ю - 9		3
Лед, промерзшая почва, сухой песок			4	10~5		5-Ю*
Сухая почва			4	ю - 4		5-Ю6
Пресная вода рек и озер			80	2 - Ю - 3		5-Ю6
Влажная	земля		20	Ю - 2		10'
Морская	вода		80	4		10»
Металлы			<1	>10«		> 101*
На частотах, выше 1 кГц, у		всех	качественных			диэлектриков
ЄдД^>а/со, т. е. поляризационные		потери намного			превосходят			по
величине потери, обусловленные		проводимостью				материала.		В

этом случае соотношения (3.8) для комплексной диэлектрической проницаемости переходят в ф-лы (3.6): єа = єа д; є = єд .

МАГНИТНЫЕ ПОТЕРИ

В магнитных материалах т р и перемагничивании также возникают потери на трение, в результате которых вектор В отстает по фазе

от вектора	Н	(магнитный		гистерезис).	Эти потери учитывают, вво
дя тангенс	утла магнитных потерь tg6M и комплексную					магнитную
проницаемость:
В Ц Г а Н ; ^	=	И а — і	=	И-а (1 — і tg 6м );	fT= ( i ' - i \| i " =	i i ' O - i t g A " ) .
						(3.10)

мнимая часть которой выражает эти магнитные потери.

3.3. Система уравнений монохроматического поля

Запишем уравнения Максвелла (2.16)		для монохроматического
поля с использованием символического		метода:
rotH =	icoD + J +	JC
rot Ё =	— і со В	(ЗЛІ)
		(ЗЛІ)

divD = р -г-Рст div В = 0

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 495 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ