Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Семенов Н.А. Техническая электродинамика учеб. пособие для электротехн. ин-тов связи

.pdf

Скачиваний:

302

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

23.29 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 494 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

направлены вдоль радиуса. В соответствии с ф-лой (2.1) при

D . n = D-er =const имеем Q= [pdV=(£				D-dS	= 4jir2 D• er,			что	COOT-
		V	s
ветствует ф-ле	(1.6),	которой был аведен вектор D.
З а к о н К у л о н а .		Найдем	силу,	действующую на				точечный
заряд Q2 со стороны точечного заряда				Qi, в среде с абсолютной ди
электрической	проницаемостью		є а = 1 еє 0 при		расстоянии			г	между
		зарядами (рис. 2.4). Формула						(1.6)	опрё-
	р	деляет	поле вектора электрического сме
		щения	D в	точке 2,		созданное зарядом
		Qi: D1(2)=tfQi/(4nr2).				Сила		воздейст
		вия электрического поля на заряд Q2 сог
		ласно	ф-лам	(1.8)	и	(1.12)	выражается
		как
		F =	Q2 Ех (2)= Q2 ^		.	=		ег.	(2.2>
				*	га	4леа	гг

Это соотношение и представляет со бой закон Кулона. Оно является следст вием теоремы Гаусса. Закон Кулона устанавливает, что сила взаи

модействия точечных зарядов обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними, имеет центральный характер (направлена по прямой, проходящей через центры обоих зарядов) и линейно зависит от величины зарядов (поэтому возможна суперпозиция эффектов, обусловленных различными зарядами). Отмеченные три свойства получили всестороннее экспериментальное подтвержде ние, что и определяет справедливость теоремы Гаусса (2.1).

Поле легко найти непосредственно из соотношения (2.1) и в других случаях симметрии зарядов (относительно прямой илиг плоскости). Читателю представляется возможность решить само стоятельно подобные задачи (2Л—2.3), помещенные в конце главы.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ФОРМА

В большинстве случаев необходимо определить векторы ПОЛЯ в каждой точке пространства, чего не позволяет сделать интеграль ное соотношение (2.1). Связь между объемной плотностью элект рического заряда и вектором электрического смещения устанавли вается обобщенной теоремой Гаусса в дифференциальной форме.

Будем сжимать поверхность 5 вокруг избранной точки так,, чтобы заключенный внутри нее объем V стремился к нулю. Разде лим обе части равенства (2.1) на V и найдем предел:

(jJD-d-S f p d V

lim J		= l i m І	= p .
v-o	V	v-+o	v
Объемная производная		от потока	вектора D в левой части	это
го выражения называется		в векторном анализе дивергенцией		(или

.расходимостью)	вектора		и	обозначается символом		div.		Таким
•образом,				divD = p.				(2.3)
				divD = p.				(2.3)
В каждой	точке	поля	дивергенция		вектора D равна		объемной
•плотности электрического				заряда.
Графически дивергенция представляется числом линий								тюля,
начинающихся	в	данной		области	единичного	объема;		при

div D < 0 линии в этой области кончаются.

2.3.Циркуляция магнитного поля. Обобщенный закон Ампера

ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМА

Ц и р к у л я ц и я в е к т о р а н а п р я ж е н н о с т и

м а г н и т н о г о

п о л я Н по любому замкнутому контуру (магнитодвижущая сила) равна сумме истинного электрического тока и тока смещения, про

текающих	сквозь	поверхность,			ограниченную		этим контуром:
-d\ — dWD/dt + I,		где	/ = j	J-dS	= dQ/dt—	истинный		электричес-
с			s
кий ток, обусловленный движением зарядов						в	проводниках (ток
проводимости) либо переносом				заряженных частиц или тел неэлек-
тричеокими	силами,	а	также	их движением		по	инерции (конвек-
	dW		d С
ционный ток); —£_ —			\D-dS— скорость изменения					потока элек-
	dt		dt J
			s			током		смещения.
трического смещения, названная Максвеллом						током		смещения.

Циркуляцией вектора А называется криволинейный интеграл по замкнутому контуру (|)A-dl (рис. 2.5). Наглядное представление о вихревом движении мож-

но получить, наблюдая водоворот, например, в потоке бурной горной речки. Циркуляция вектора скорости по контуру водоворота в этом случае отлична от нуля.

Рис. 2.5

Рис. 2.6

Запишем теперь сформулированный вначале обобщенный закон Ампера следующим образом:

ф	Hdl =	J-	f	D-dS+ J J.rfS.		(2.4)
с			s	s
М а г н и т н о е п о л е б е с к о н е ч н о г о					п р я м о л и н е й н о
г о п р о в о д н и к а	радиуса	а	с	постоянным	током /	(рис. 2.6).

В данном случае очевидна симметрия магнитного поля относитель но оси провода, что позволяет определить поле с помощью ф-лы (2.4). Окружим провод кольцевым контуром радиуса г.

П о л е		в н е п	р о в о	д а	(г>а).	Циркуляция вектора напряжен
ности	магнитного		поля	Я ф	-2яг = Л так как при		постоянном		токе
dx¥D/dt	= 0.	Поэтому Н = е / / ( 2 л / ) ,				что совпадает	с	известным	уже
выражением д л я			Н [см. ф-лу (1.7)].
П о л е		в н у т р и п р о в о д а ( г ^ а ) . Постоянный						ток распреде

ляется по сечению проводника равномерно, и контур охватывает

только часть всего тока, а именно 1г2/а2.			Поэтому
Н = — —	е	=	е (г < а).	(2.5)
а* 2пг	ф	2л а2	ф

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ФОРМА

Для установления связи между токами и магнитным полем в каж дой точке поля предположим, что контур [см. ф-лу (2.4)] стяги вается в точку. Тогда площадь S, ограниченная контуром, стремит ся к нулю. Бели циркуляция вектора Н по контуру указанной пло щади не равна нулю, поле носит вихревой характер, т. е. rot Н от личен от нуля.

Ротор (вихрь) вектора А — это вектор, равный по величине отношению циркуляции вектора А по контуру С к бесконечно малой площади S, ограничен ной этим контуром, при таком направлении ее нормали п, когда циркуляция имеет максимальное положительное значение, и направленный по этой нормали:

	A-rfl
rot А =	max lim с	п,
где максимум берется по направлению нормали п.
В общем случае нормаль к	заданной площадке не совпадает по направле

нию с rot А и циркуляция по малому контуру выражается как

A d 1 = (rot A n ) S=rot A S .

В правой части ф-лы (2.4) можно считать J и D постоянными в пределах малой площади, поэтому rotH-S = J-S + ~^~'^ •

Так как площадка S может ориентироваться в любом направ лении, то

rotH = ^ + J.	(2.6)
dt

Ротор вектора	напряженности	магнитного поля	в любой	егЬ
точке равен сумме плотности истинного электрического			тока и	ско
рости изменения	вектора электрического смещения в		этой точке1).
Частную производную от D по времени называют			также	плот

ностью тока смещения: J C M = dD/64.

Итак, магнитное поле создается при любом движении электри ческих зарядов (электрическом токе) и изменении во времени век тора электрического смещения.

ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЗАРЯДА

Электрические заряды не возникают и не исчезают. Если из замк нутой поверхности возникает ток, то количество заряда Q внутри нее должно уменьшаться: / = —dQ/dt. Принимая направление плот ности тока из данной области за положительное, что соответствует направлению нормали, запишем закон сохранения заряда:

5 V

Дифференциальную форму этого соотношения получим, приме нив к его левой части теорему Остроградского — Гаусса [5]:

Поток поля А через замкнутую поверхность 5 равен интегралу от дивергеЯ' ции А по о(ъему V, ограниченному этой поверхностью:

(j)A-dS =	jdivAdV.	(2.8J
's	V
Заметим, что с помощью (2.8)	возможен непосредственный	переход от

ф-лы (2.1) к (2.3). Выше для этой цели использовался другой способ, чтобы на

помнить определение	дивергенции.
На основании	равенств (2.7) и (2.8)	приходим к соотношению:
	J divJdV = — -~	j pdV.
	V	v

Учитывая произвольность выбора объема V, получаем дифферен циальное выражение закона сохранения заряда, называемое урав нением непрерывности тока и заряда:

div J = — ^ .	(2.9)
dt

Это уравнение, равно как и (2.7), описывает фундаментальное свойство электрических зарядов — принцип их локального (мест

ного) сохранения: заряд не может переместиться, из одной точки в другую, не создав между ними тока. Истоками линий плотности

*) Функции, входящие в уравнения поля, зависят		от	четырех	аргументов:
трех	пространственных координат и времени. Поэтому	в	правой	части ур-ння
(2.6)	фигурирует частная производная по времени, а в	левой —		частные про

изводные по координатам, объединенные символом rot.

2-2

тока являются точки поля, в которых плотность заряда меняется во времени.

Закон сохранения заряда не включен в число основных уравне ний электродинамики, поскольку он является следствием обобщен

ного закона Ампера. Для доказательства равенства				(2.9)	найдем
дивергенцию от обеих	частей ф-лы	(2.6):	div(dD/dt)		+ div J =
= div rot H = 0, так как	дивергенция	ротора	всегда	равна нулю

[5]. Поменяем в первом слагаемом порядок временного и простран

ственного		дифференцирования			и	воспользуемся		ф-лой		(2.3):
div — =	— divD = —		, что и приводит к				уравнению		непрерыв
ен	dt	dt
ности div J = —dp/64.
В случае постоянных токов плотность зарядов во времени не
изменяется		dp/dt = 0. В	этом	случае		закон Ампера и			уравнение
непрерывности записываются				в виде
		rot Н = J;	div J =		0,	(при - \| - = 0J ,				(2.10)
т. е. линии		постоянного	тока непрерывны.				Обобщая	закон		Ампера

на случай переменных полей, Максвелл обнаружил, что выраже ния (2.10) противоречат уравнению непрерывности для переменных полей (2.9). Он дополнил правую часть (2.6) слагаемым dD/dt, чем устранил это противоречие. Введенная Максвеллом поправка име ла решающее значение для построения теории электромагнитных волн.

2.4. Электромагнитная индукция. Закон Фарадея

ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМА

Ц и р к у л я ц и я в е к т о р а н а п р я ж е н н о с т и э л е к т р и ч е с к о г о п о л я Е (электродвижущая сила) по любому замкнутому контуру равна скорости изменения магнитного потока, пронизы вающего этот контур, с обратным знаком в правой системе коор динат:

	~> = - ^	и л и	(j) E-dl =		— J V d S	,	(2.11)
			С		S
где Э— ф E-dl, [В]—электродвижущая					сила; Ф = \|	B-dS,	\|Вб] =
С		лоток	или	поток	вектора	S		ин
= \| В - с ] — магнитный						магнитной
дукции.
Следует отметить существенную разницу в						использовании
одного и того же термина контур.				В формулировке		Фарадея	в	со
ответствии	с теорией цепей контур — это замкнутая цепь, состав
ленная из	последовательно		включенных		проводников. Максвелл

обобщил закон Фарадея, придав этому термину более широкий смысл. Он назвал контуром замкнутую линию, произвольно распо ложенную в пространстве. Обобщенный закон Фарадея справедлив для любого контура, проведенного, например, частично в 'воздухе, частично в другом диэлектрике и частично в металле. Из (2.11) вытекает, что возникновение электродвижущей силы — существен но динамический процесс, требующий изменения магнитного по тока.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ФОРМА

Применим к левой части выражения (2.11) теорему	Стокса [5].
Циркуляция поля по контуру С равна потоку ротора вектора через любую
поверхность S, ограниченную этим контуром:
( j ) A - d l = jVotA-dS.	(2.12)

сs

Переход от ф-лы (2.4) к (2.6), по существу, был повторением вывода этой теоремы, -известной из векторного анализа. В данном случае избран более коооткий путь.

	Итак,		j" rotE-dS -			— ~	j"	B-dS.
			's				s
Меняем справа		порядок		дифференцирования					и интегрирования.
Учитывая	произвольность			выбора		площадки S, получаем
				r o t E =		— — .					(2.13)
							dt
Ротор	вектора		напряженности			электрического			поля	в	любой
его точке	равен	по величине			и противоположен				по знаку	скорости
изменения	вектора		магнитной		индукции		в этой точке.
Таким образом, электрическое поле создается как электрически
ми зарядами, так			и любым		изменением			во времени вектора			маг

нитной индукции. Электрическое поле, созданное только вторым-

способом (при отсутствии	электрических зарядов),	соленоидально
(div Е = 0), его векторные	линии замкнуты либо уходят в беско
нечность.

2.5. Соленоидальность поля магнитной индукции

Дивергенция ротора любого вектора тождественно равна нулю, в

частности, div	rot Е = 0,	поэтому дивергенция		правой части выра
жения (2.13)	также равна нулю: div — = —			div	В = 0. Следова-
		dt	et		В постоянна, а
тельно, в любой точке		поля дивергенция	вектора

если считать, что поле когда-то в прошлом отсутствовало, то

				divB =		0.			(2.14)
Отсюда	следует, что магнитное				поле		соленоидально.
Взяв	интеграл	от этого		равенства			по объему V и применив
теорему	Остроградского		—	Гаусса		(2.8): \|* div		В dV=	(j)B-c?S, по-
							v		's
лучим соответствующую			интегральную				формулу:
				$ B - d S = 0.					(2.15)
				s
Поток вектора		магнитной			индукции		через	любую	замкнутую
поверхность равен		нулю.	Линии		вектора		В замкнуты,		либо уходят

вбесконечность.

Из сравнения ур-ния (2.15) и (2.1) вытекает, что магнитные заряды в природе отсутствуют. Это утверждение соответствует всем известным данным о магнетизме.

Соотношения (2.14) и (2Л5) в системе уравнений электромаг нетизма не являются независимыми; они получены как следствие закона Фарадея (2.13).

2.6. Сторонние силы

Для создания заданного электростатического поля нужно зарядить изолированные металлические электроды, расположенные опреде ленным образом. Для переноса зарядов на эти электроды придется затратить какую-то энергию неэлектрического характера. В идеаль ных условиях полученный таким образом заряд сохраняется очень долго. Следовательно, для создания электростатического поля до статочна однократная затрата энергии.

Ток проводимости, создающий магнитное поле, протекает толь ко в том случае, если в цепь включен источник, вырабатывающий определенную эдс. Таким источником может быть аккумулятор, электромагнитный генератор, контакт между двумя . металлами. Магнитное поле сопутствует и конвекционному току, который про текает в вакууме от накаленного катода либо радиоактивного источника. Переменное электромагнитное поле создается вокруг проводников с переменным током, колеблющихся, либо неравно мерно движущихся зарядов.

Во всех случаях электромагнитное поле создается источником за счет энергии, получаемой извне. Поэтому эдс либо ток источни ка называются сторонними. Их величины определяются мощностью введших ресурсов энергии: механической, химической, тепловой, ядерной либо электромагнитной энергией другого поля, и не яв ляются функциями рассматриваемого поля.

Источник электромагнитного поля принято называть сторонней силой. Вид и пространственное нахождение сторонней силы неод-

нозначны и зависят от поставленной задачи. Рассмотрим в качест ве примера антенно-фидерный тракт телевизионного передатчика. Поле в коаксиальном кабеле, соединяющем передатчик с антенной, определяется сторонним током /ст либо сторонним напряжением Uci, величины которых зависят от мощности передатчика и сопро тивления фидера на его выходе. Волна, дошедшая по кабелю до антенны, создает на входном промежутке последней электрическое поле, которое будем считать сторонним £ С т при определении токов в проводниках антенны. По известной плотности токов в каждой


точке антенны		J C T	можно	рассчитать			электромагнитное		поле		ее
излучения. Дадим теперь следующее						определение.
Сторонняя		сила	— электромагнитная				величина	(JC T ,	/ст,		Е с т ,
Нет. ЭСт и т. д.), заданная				как функция			координат	и времени		в	ка
честве	исходной	при расчете данного				электромагнитного			поля.	Сто
ронняя	сила является источником				данного поля			и существует			за
счет внешних		(для данного поля)			энергетических			ресурсов.

Между сторонней силой и созданным ею полем имеется очевид ное соответствие по частоте колебаний и функциональной зависи мости от времени. Сторонние силы вводятся в основные уравнения электромагнитного поля в виде дополнительных слагаемых. Выбе рем пока в качестве источника плотность сторонних токов J C T . Сто ронние токи подчиняются уравнению непрерывности (2.9): div J C T =

— —дрст/dt, поэтому наряду с ними необходимо ввести плотность сторонних зарядов рС т. Сторонние силы вводятся в те уравнения, где фигурируют аналогичные величины, >в данном случае электри ческие токи и заряды.

2.7. Основные уравнения электромагнитного поля

Сведем вместе основные законы макроскопической электродинами ки в неподвижных средах, которые были сформулированы ранее.

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме:

rotH =	^ + J +	J C T
	at
r o t E = - ^		(2.16)
	dt
divD =	p-f-pCT
div В =	0

Уравнения Максвелла в интегральной форме:

j) Н-сЛ =	j D-dS + j j - d S + J Jc - d S
с	s	s '	s
E d 1	dt .)
	dt .)		(2.17)
	s		(2.17)

§ D dS = f pdV + f p„dV

•

(§! В dS = 0

Первое уравнение системы (2 . 17) представляет собой обобщен ный закон Ампера, второе — обобщенный закон Фарадея, третье — обобщенную теорему Гаусса и, наконец, четвертое отображает соленоидальность поля магнитной индукции.

Материальные уравнения (для изотропных сред):

D = є а Е; В = ,ха Н; J = CT E . (2 . 18)

Уравнение силы Лоренца:

F = Q(E + vXB) .

(2 . 19 )

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме составляют основу всей электродинамики. С первого взгляда поражает их ла коничная запись, предложенная Герцем.

Кратко сущность первых двух уравнений электродинамики мож но выразить следующим образом. При любом изменении во време


ни электрического поля возникает вихревое							магнитное	поле [пер
вое	ур-ние		( 2 . 1 6 ) ] , любое		изменение	магнитного поля		создает,		в
свою очередь, вихревое электрическое поле							[второе ур-ние		( 2 . 1 6 ) ] .
Таким		образом, переменные			электрические		и магнитные		поля	не
существуют			независимо	друг от друга,		они	непрерывно	переходят
одно	в	другое и, как		будет	показано	ниже,	образуют	электромаг
нитную		волну.

Уравнения с дивергенциями векторов показывают, что непре рывность линий электрического поля нарушается в местах скопле ния электрических зарядов [третье ур-ние ( 2 . 1 6 ) ] , а линии магнит

ного поля	непрерывны,		г. е. магнитных	зарядов не	существует
[четвертое	ур-ние	( 2 . 1 6 ) ] .		постоянных
Если перейти к рассмотрению только				постоянных	полей, и по
ложить в	ур-ниях	(2 . 16)	d/dt = 0, можно	обнаружить,	что в этом

случае электрическое поле возникает только благодаря электриче

ским зарядам [третье ур-ние			( 2 . 1 6 ) ] и не имеет вихревого характе
ра (rot = 0). Магнитное поле			создается вокруг электрических			токов
(первое ур-ние		(2.116)]. И в этом		случае, очевидно, не	утрачивается
связь	между	электрическими	и	магнитными полями,	хотя	теперь
она не	обоюдна.

Соотношения (2 . 18) связывают попарно пять векторов, фигури рующих в предыдущих уравнениях. Очевидно, при их помощи мож но исключить из предыдущих уравнений любые три вектора, что упростит в последующем математические преобразования.

Формула (2 . 19) определяет силовое действие электромагнитно го поля на заряды и токи, которое может рассматриваться как су перпозиция сил электрического и магнитного полей.

Уравнения Макевелла в дифференциальной	форме справедливы
в любой обыкновенной точке пространства, в	окрестности которой

физические свойства среды непрерывны; это обеспечивает конеч

ность входящих в уравнения	пространственных	производных.
Интегральные ур-ния (2.17) остаются справедливыми			даже в
том случае, если входящие в них поверхности		и контуры	пересека
ют границы, где физические	свойства среды	резко изменяются,

хотя формально использованный ранее математический аппарат к таким случаям неприменим. Это противоречие легко-устранить, если представить, что на границе, любого материального тела фи зические свойства изменяются в очень тонком слое А/ хотя и очень быстро, но непрерывно.

2.8. Граничные условия

	ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
На	границе между материальными телами параметры среды	є,	\і,
0 скачкообразно изменяются. Согласно ф-лам (2.18) при этом			не
избежно испытывают скачки некоторые векторы поля. Для		реше
ния	задач электродинамики, помимо уравнений Максвелла,	необ

ходимо знать граничные условия — соотношения между векторами поля в двух очень близких точках, находящихся по обе стороны границы раздела двух сред. Граничные условия являются следст

вием уравнений	Максвелла (2.17) для	этого	особого случая.
Пусть достаточно гладкая поверхность 5			разделяет две среды
1 и 2, в 'каждой	из которых параметры	либо	постоямны, либо ме

няются медленно от точки к точке. Тогда в малой окрестности лю бой точки на поверхности 5 можно считать границу плоской, а параметры сред — неизменными.

Таким образом, из рассмотрения исключаются точки, лежащие вблизи изломов и резких изгибов границы или в области быстрого изме'нения параметров хотя бы одной из сред. Масштабом при оценке малости расстояния служат размеры тела, длина волны (для переменных полей), а также требуемая детализация структу ры поля в пространстве (разрешающая способность метода).

Считаем, что сторонние токи и заряды на. границе отсутствуют.

НОРМАЛЬНЫЕ СОСТАВЛЯЮЩИЕ ПОЛЯ

Определим соотношения между нормальными составляющими по лей. Для этого построим на плоской границе раздела небольшой цилиндр, охватывающий обе среды (рис. 2.7). Считаем высоту ци линдра исчезающе малой A/z-Ч). Основания цилиндра ASi и AS2 лежат в разных средах. Цилиндр настолько мал, что внутри него величины и направления полей в каждой из сред можно считать

неизменными. На поверхности			5 в бесконечно тонком слое может,
в	общем случае,	находиться	поверхностный электрический заряд
с	поверхностной	плотностью	a3=dQ[dS.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 494 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ