книги из ГПНТБ / Семенов Н.А. Техническая электродинамика учеб. пособие для электротехн. ин-тов связи

Ответ: <7=1 666 665+А

(£=0, 1,

2,

3); /„,=499 999,5 + 0,3 6

ГГц; Qo = 3,74x

Х107 ; Я=13,4 МГц.

добротность

цилиндрического

объемного резонатора с

11.10. Нагруженная

колебанием типа

Нщ

на резонансной

частоте

/о = 3 ГГц

составляет

Q a =10 2 .

Радиус резонатора а=3,5 см. Резонатор

возбуждается

круглой

петлей площадью

S =0,2 см2 на его торцевой стенке;

ток

в петле

/ В х = 1

А. Определить

оптималь­

ное положение

петли,

напряженности

полей в

резонаторе

на

резонансной ча­

стоте и входное сопротивление петли.

Решение.

Длина

резонатора,

отвечающая резонансной

частоте, опреде­

ляется из ф-лы (11.18)

при v'ii == 1,841

и q=l;

7 = 9,1 см. Для

определения нор­

энергию

через коэффициенты

Н0 в

ф-ле (11.20).

Интегрирование

по ф-лам

(11.37)

сравнительно сложно.

Проще

использовать

в данном случае

соотноше­

волны

в волноводе

(см. параграф 11.7);' W =*(Рбет/u)2l=QlРоет £/(Рс). Мощность

волны

Я н

в

круглом

волноводе

определяется

ф-лой (9.53).

Следовательно,

№=41,67(62 /с)2/ a4 (Z„/ZB o)

Н20 = 150-10~12Н\

, Дж. Учитывая, что

№н =(2

Дж,

определим

нормированное

значение

коэффициента:

HQ =

У 2/(150- Ю - 1 2 )

=

= 115 кА/м. Оптимальное положение

петли — в

центре торцевой

стенки

резона­

тора

(г = 0;

2 = 0),

где

магнитное

поле

максимально.

В соответствии

с

ф-лой

(11.20)

=

і (Р/Х) Н*0 =

і 75,5

кА/м

(при

«р = 0).

Дипольный

момент

элементарного

магнитного

излучателя

находим

по

ф-ле

(7.23):

(/"т /) =

і бо ZEo / С Т SB

=

i 2,37

В-м.

Нормированные

амплитуды

при

резонансе определяются ф-лой (11.39):

UB

=

h =

QH

( /"т О н"

I ( 2 ^ "

ш о)

=

= і 4,75 -10- 4 .

Следовательно,

ненормированное

значение

коэффициента

Н0

=

= / о / / д = і 5 4 , 6

А/м. Поле

в

любой

точке

резонатора теперь

определяется

по

ф-лам (11.20).

W=\U0[2Wa

+

Энергия,

запасенная

в

резонаторе

при

резонансе,

+ |/ 0 | 2 W' H =2|U| 2 W H =0,451

мкДж. Мощность потерь

в резонаторе

и выходной

нагрузке P=U)OW/QB=85

Вт. Входное сопротивление петли RBX=P!I2X

=85

Ом.

11.11. Полуволновый

коаксиальный

резонатор

изготовлен

из

линии

с

ха­

рактеристическим

сопротивлением

Zcp=25

Ом

и

коэффициентом

затухания

а = 0,001 1/м. Он включен

в разрыв

коаксиальной

линии с Z c = 75 Ом, 2о =

5 см.

Резонансная

частота

/о = 300

МГц.

Определить

собственную

и

нагруженную

добротности,

а

также

коэффициент

ослабления

резонатора

на

частотах

/о и

/і = 310 МГц.

Ответ: Qo =

3140;

Q„=24,6;

| Л 0 | =

1,008; | ^ 4

| =

1,9.

11.11,

чтобы

сделать

11.12. Найти

положение

го для

резонатора

в

задаче

QH =100.

= 2,4

см.

Ответ: z0

коаксиального

резо­

11.13. Вывести формулу для входного сопретивления

натора, разомкнутого

на обоих концах.

НаХОДИТСЯ В Промежутке М е ж д у ВОЛНОВЫМИ

ЧИСЛаМИ & l = t o ] ^

8 a i p . a l

и &2=со 1/єа2Ца2 сред, образующих волновод

( 8 . 2 3 ) : &І>І|3 >&2

. Бла­

скорость

vе д 2 во второй, оптически

менее плотной среде (см.

рис. 8 . 12) .

Такая волна называется

замедленной.

ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИМПЕДАНС

В тех случаях, когда речь пойдет

о волнах класса Е или

Я, будем

приравнивать

тангенциальные

составляющие Ех и Нх

на

границе

двух сред 5,

пользуясь для

упрощения следующими

приемами:

1) обеспечим

равенство продольных составляющих поля Ez или Нг

на 5 и 2) установим по обе стороны границы S равенство для по­

верхностного

импеданса:

ZB = A*.\

или Z" =

(12.1)

Й±

Is

Н2

Ё х или Н х

Условимся, что в ф-лах

( 1 2 . 1 )

направление вектора

выбрано так, что нормальная к 5

составляющая вектора

Пойнтинга

соотношения (8 . 15) , (8.17) позволяют обнаружить,

что для волны

без потерь (у = ір) поверхностный импеданс чисто

реактивен, при­

С помощью этих обозначений запишем уравнение

нормирован­

ных поперечных

коэффициентов

,

-2 + ^ = p_

( 1 2 > 6 )

ношение. Запишем

его пока в общем виде как Dn(%, | ) = 0

и назо­

вем дисперсионным

уравнением. Оно определяется для

каждого

щих поля волны на

границе сред, разделяющей поверхностную

и внутреннюю части

волны.

(Р а)» = (М 2 + ? = - g ± f + Г2 = 2 ^

(12.7)

° ~

Р

Е »2 Р " K T F W

4,8 К " t f + ^ p "

•

( 1 2 - 8 )

при £ 2 / х 2 ^0,01 удобнее использовать

соотношение

» = ^ І 1 — °.5(е|* — 1) £S/X*].

Итак, по известным значениям поперечных коэффициентов

мож­

но найти

фазовую скорость волны. Из соотношения (12.8)

следует,

что v < v e t l 2 >

т. е. поверхностная волна всегда замедлена,

причем

которой быстро убывает в поперечном

направлении.

Из

(12.8) ^и

(12.6) вытекает,

что фазовая

скорость

зависит от

частоты — волна

диспергирует.

Ее групповая

скорость [ф-ла (8.29)]

u = da/d$ = ve^dfb/d$

= vm(dk2ld%)/(d$/d%)

зависит от

отношения

двух производных:

Х. +

Р

_ X

+

i d % _

ец—1

k2(e\i — 1)

&2(ец— 1)

А_}_ =

^_л[

X2

+ ец£2

=

Х(1 +еци)

d% ~

dx У

ец —1

Р(8(І—1) *

u

_

d(Z?)

_ l d l

(12.9)

dW)

%d%

—

крутизна

квадратичной

дисперсионной

кривой

в

коорди­

натах (£?—х2)> определяемая

дисперсионным уравнением.

Напи-

Ю*

291

и =

ИЄЦ2 Р

1 + 0

„2

1 +

"

(12.10)

1 +6|XU

1 +

8Ц.0

при и < 1 0 ~ 2 используется

формула: и==

' В (v*Ц / 2«/v)[lП ' -

"(В|1—1)13].

Диэлектрический стержень

1 радиуса а, окруженный диэлектриком

с меньшим коэффициентом

преломления « 2 =

или воздухом 2,

ны (рис. 12.1). Структура поля и параметры

волн в

волноводе

определяются

дисперсион­

ным уравнением, для получения которого не­

обходимо

решить

граничную

задачу:

найти

уравнения полей в каждой из сред, удовлетво­

ряющие волновым уравнениям, и затем свя­

зать их между собой условиями на Границе

между средами. Потери в средах на этом эта­

пе решения не учитываются.

Р а с п р е д е л е н и е

п р о д о л ь н ы х

к о м п о н е н т

п о л я .

Волновое

ур-ние

(8.5)

для любого круглого волновода, как было по­

казано

в

9.5,

распадается на

гармоническое

ур-ние (9.37) и уравнение Бесселя (9.39). Ре­

шение для поля внутри стержня записывается в виде,

аналогичном

ф-лам (9.42), (9.44):

Et(r,

4>) = Et[Jn(xr)/Jn(%a)]cosnq>

1

q

(12 11)

Нг{г,

Ф) = H0[Jn(xr)/Jn(xa)]sinn<{>

J

, 1

dR

Г, •

«г ] R = 0

+

1 +

(12.12)

Это уравнение получается из уравнения

Беоселя

(9.39)

заменой

по (12.3) і%2 на £' и отличается

от него лишь знакомпри одном из

слагаемых. Общее решение

модифициро­

ванного уравнения — сумма двух моди­

1 і

фицированных

цилиндрических

функций

/„(£/) и Kn{t,r);

их графики

приведены

\к,(у)

на рис. 12.2.

|\

Быстро растущая функция 1п(у)

со­

ш\

ответствует полю, неограниченно

возра­

стающему при удалении от оси волново­

да. Такое поле не может

принадлежать

направляемой

волне вне стержня, у ко­

торой вся (или почти вся) энергия

долж­

на проходить через поперечное сечение

конечных размеров.

Кп(у)

Рис. 12.2

Функция

Макдональда

при

чем по

экспоненте:

больших аргументах уменьшается

быстрее,

Кп(У)=

Vit^

ПРИ У>>1>

(12ЛЗ>

Поэтому описываемое ею поле на определенном

расстоянии от

оси волновода

практически

равно нулю. Это решение

соответствует

направляемой

волне. По аналогии с ф-лами

(12.11) запишем:

Ёг

(г,

ф) =]Ё0

[К„ (Е r)/Kn (С a)} cos п Ф >/->а,

(12.14)

Нг

(г, Ф) = НЛКП

{I r)/Kn (S a)] sin п ф

где % удовлетворяет ур-нию (12.4).

Выражения

(12.12)

и (12.14)

для

продольных

составляющих

Г р а н и ч н ы е

у с л о в и я . Следующий этап в решении зада­

чи — установление

связей между нолями по обе стороны границы

было учтено при записи соотношений

(12.12)

и (12.14).

Поперечные компоненты поля определяются через продольные

соотношениями

(8.9) и

(8.10), которые

в цилиндрической системе

координат записываются в виде:

Ег(г,

Ф ) ] =

-

X2 V

дг +

1 г

Зф /

£Ф

(г,

Ф) =

-

дЕг

дг )

Зф

(12.15)

НЛг,

ф) =

-

дг — 1

dEz

Г

З ф

н,(г,

Ф ) = : -

1

V

дН-

-f- і шє(

' ЗЁ2

X* \ г

Зф

1

"

дг

где х, е а и р а имеют в каждой среде свои

значения

її

[n/„(x) —Фп(£)1

= 0, (12.18)

1 ' Ш - Ф « ( С ) 1 Щ ± +

^ І

і

\

~Х + е|хСУ 1 .

1 \ . єн . 1

1

1

2

Є£Х

"2 \ X"

b- /

yva + $ 2 XА

оп(ъ

£) = [«/»(Х)-ФЛ£)][ІІШ-ФЯ (С)]

_ n * M + J _ \ ( ^ +

М = = о .

(12.19)

\ х 2

S 2 / V x 2

£ 2 /

ТИПЫ ВОЛН В ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ВОЛНОВОДЕ

О т н о ш е н и е

п р о д о л ь н ы х

с о с т а в л я ю щ и х Ez

к Нг (мак­

шению коэффициентов

в любой строчке определителя (12.18):

Ег (г. 0)

*2 \ х 2

£2

/

=

Z2

^/л ( х) —Фя(1)

(12.20)

Є fn(% ) — <Р« (Є )

Д и с in е р с и о и н ы е

к р и в ы е .

Ур.а вн ение

(12.19)

тр ансцен -

дентно; поэтому зависимости между £ и % — дисперсионные

кривые

определяются

численным

методом.

Вид этих кривых

зависит

от

значений є и

р., а также

от периодичности

п

структуры

поля

по

и определяет

порядок

функ­

ций Бесселя и Макдональ-

да. Второй индекс т равен

номеру корня

функции

Бес­

селя

/п (х)

в

точке,

где на­

чинается

соответствующая

ветвь

характеристической

кривой;

ориентировочно т

соответствует

числу

полу­

волн поля стоячей волны в

диэлектрическом

стержне,

0

1

2

3

4

5

укладывающихся

вдоль ра-

диуса

а.

Рис. 12.3

В о л н ы

с

о с е в о й

с и м м е т р и е й

п о л я .

Вто­

рое слагаемое в ур-нии

(12.19)

при п = 0 равно

нулю;

в этом

слу­

чае уравнение удовлетворяется при равенстве нулю любого

из вы­

ражений в квадратных

скобках.

£-волны соответствуют условию:

є/Дх)-фя (Ю = 0;

(12.21)

тогда, согласно

(12.20), £0 /#о-»-оо и, следовательно,

# 2

= 0 .

//-вол­

ны определяются

уравнением:

1*/я(х)-ф«(Ю = 0;

(12.22)

в этом случае EQ/H0=0,

£ 2 =

0.

Н е с и м м е т р и ч н ы е

в о л н ы (n^l)—гибридные.

Ни

одно

из выражений в скобках

(12.19)

в этом случае не равно

нулю, по­

этому Ео/Но в (12.20) .конечно,

т. е. существуют

обе

продольные

составляющие поля Ег

.и # г ;

отношение их величин несколько ме­

няется с частотой.

Дисперсионное уравнение при каждом п имеет два решения,

которым соответствуют

два класса гибридных волн. Для

одной

из них при £<0,2, согласно ф-ле (12.20), EuIHu7nZ%Y

Дл я ди­

электрического волновода из полиэтилена или полистирола, нахо­

дящегося в воздухе (fx=l, e = 2-+2,5)£, o/#o~0,7Z2 ,

т. е. меньше, чем

в однородной волне в воздухе. Относительное преобладание HZ

над

Ег приводит к обозначению

НЕпт

для

волн

этого класса.

Волны

другого класса имеют обозначение ЕН

ная величина Ez

пт, так как у них относитель­

больше: £ , o / ^ o « Z 2 .

Определение поперечных коэффициентов на каждой частоте тре­

бует совместного решения дисперсионного уравнения (12.19) и

уравнения

поперечных коэффициентов

(12.6). Последнее

представ­

ляет

собой

на плоскости

х. £ окружность радиуса

F. На

заданной

частоте значения % и £ данной волны представляются

графически

как

координаты

точки

пересечения

соответствующей

ветви

(рис.

12.3)

с этой

окружностью.