Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Семенов Н.А. Техническая электродинамика учеб. пособие для электротехн. ин-тов связи

.pdf

Скачиваний:

302

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

23.29 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 4928 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 > Следующая >>>

Я г = і 2#о cos I x cos T] г/ sin p z

Hj. = І2Я„ — (— ел І sin |д: cost] у— e^Tjcoslxsinii^cospz

Ej. =

2Я 0

^(e„fcsinfcxcosT|j/ — є, п cos £ x sin rj £/) sin pz

(11.17)

Минимально возможное значение q=U

так как q = 0, р = 0 обра

щает в нуль все составляющие поля (11.17). В то же время

Я-вол-

•

ны в волноводе могут иметь

один

из

индек

сов, равный нулю, так что низшими

частотами

будут обладать структуры Яюі с составляю-

щими

£„, Я ж

и Hz

(рис. 11.12) и Я 0 н (Ех,

Ну

и Яг). Структура полей этих двух типов оди

накова;

они

отличаются лишь

ориентацией:

электрическое

поле

параллельно

той оси, кото

рой соответствует нулевой индекс. Заметим,

і /• .

что в обоих случаях m + n+q—2,

т. е. замкну

тая траектория парциальной

волны,

лежащая

в плоскости вектора

Н, имеет

длину 2Я0-

Всевозможные

резонансные

частоты

резо

натора

образуют

бесконечный

дискретный

спектр. Можно показать, что по мере

роста

частоты этот спектр сгущается и резонансные

Рис.

11.12

кривые отдельных типов колебаний все в боль

шей степени перекрываются. Плотность

спект

ра

— число

резонансов,

отнесенное

единичной

полосе

ча

стот Д Л у д / = 4 л У/2 /и|д возрастает

пропорционально

квадрату

ча

стоты. Поэтому

на частотах,

где объем

резонатора

V~^>K3, резона

тор становится непригодным в качестве частотно-избирательной системы.

В этот спектр входят также вырожденные колебания — колеба

ния с разной структурой	поля, но одинаковыми резонансными ча
стотами, например, Emnq	и Hmnq	с одинаковыми индексами в пря
моугольных резонаторах.	Д а ж е	при небольшом искажении формы

внутренней полости резонатора между вырожденными коле баниями возникает связь, искажающая их резонансные характе ристики.

Назовем одномодовым такой режим резонатора, при котором в определенной полосе частот (соответствующей спектру поступаю щего сигнала, либо условиям возбуждения генератора) могут су ществовать колебания только одного типа. Чаще всего одномодовый режим получают, используя основное колебание в резонаторе, г. е. колебание с низшей резонансной частотой. В одномодовом ре жиме полностью реализуются частотно-избирательные свойства резонатора.

Из ф-лы (11.15) легко определить, какое колебание будет ос новным в прямоугольном резонаторе: у основного колебания ну левой индекс соответствует наименьшей стороне резонатора, т. е.

вектор	Е параллелен этой	стороне. Например, в резонаторе	с Ь<а
и b<i	основным является колебание типа Яюь При неравных раз
мерах	ребер резонатора	колебания типов Е\ю, Я ш , #<м	имеют

различные резонансные частоты. При равенстве двух или трех его сторон наблюдается двухили трехкратное вырождение.

ЦИЛИНДРИЧЕСКИЙ РЕЗОНАТОР

Явления в резонаторе, образованном из отрезка круглого волново

да (рис.

11.13), не отличаются

от рассмотренных выше. Для опре

деления

резонансной

частоты

воспользуемся

ф-лой

(11.14), вспом

нив,

что

круглом

волноводе

критическая

частота

определяет

ся через значения корней функ

: 1

1| і

ции

БЄССЄЛЯ Vnm Для

£-волн

или

ее производной v'nm

ДЛЯ

Я-волн

[ф-лы (9.43), (9.45)]:

АЕ

или И)птц

Рис.

11.13

(11.18)

К о л е б а н и я

т и п а

Enmq.

Сложение

двух

встречных

волн

[ф-лы

(9.42),

(9.48)] с разными знаками перед В позволяет

полу

чить составляющие

поля:

Ёг

— 2E0Jn

(х г) cos п ф cos В z

EJL =

2 £ 0

[ — е г

у. / ; (у. г) cos л ф + е

— Jn

(х г) sin п <р sinBz

Нд. =

\2E0^[—t9xJ'n(xr)cosn<p

— er-?-Jn{y,r)smnq>

cospz j

(11.19)

Эти выражения показывают, что нулевое значение q здесь воз можно, оно приводит к тому, что исчезают поперечные составляю щие электрического поля, т. е. £ i = 0. Следовательно, низшее коле бание этого типа Еш не имеет вариаций поля по азимуту и оси г (рис. 11.13). его поле содержит только две компоненты Ez и Я » . Резонансная частота равна критической частоте волны £ 0 i и не зависит от i : f^»>» = (11,47/с [см]) ГГц.

К о л е б а н и я

т и п а

Я „ т д .

Колебания этого

типа

возникают

при

интерференции встречных

волн вида

(9.44),

(9.49):

Нг

і 2H0Jn

(х г) cos п ф sin р* z

Н ±

і 2Я 0

х2

еЛ Z

(х

cos я ф — е ф

— / „ (х г) sin л ф

COSf} 2

Е х =

2Я 0

X 2

е ф X J'n

(//) cos « ф •

J„ (Х г) sinгаф sinpz

(11.20)

При

р = 0 исчезают

все компоненты

поля. Поэтому

q=\,

2, 3...

Из Я-волн в круглом волноводе в свое время отмечалась

волна

типа Ни, как имеющая

низшую критическую частоту, и волна

типа

Яоі

малым

затуха

нием. Этим

волнам со

ответствуют

колебания

с подобными свойства

ми.

Колебание

Я ш

(рис.

11.14)

имеет

бо

лее

низкую

резонанс

ную частоту, чем Е0\о,

РИС.

11.14

если

длина

резонатора

больше

его

диаметра

Колебание

типа

Я 0 ц

(рис.

11.15)

позволяет

получить

высокую

доб

О о о

ротность

резонатора.

о о о о

цилиндрических

7777-

резонаторах

силу

(9.46)

вырождены

ко

Рис.

11.15

лебания

ТИПОВ

Homq И

и ЕЩ. Кроме того,

E \ m q ,

в частности типов

Я 0 н

существует поляризационное вырождение

всех

колебаний,

не обладающих круговой

симметрией

( r e ^ l ) ,

так

как возможен поворот структуры поля вокруг оси резонатора. На стройка резонатора осуществляется изменением его длины или по перечных размеров при помощи подвижного короткозамыкающего поршня, деформацией его стенок, или введением внутрь него ме таллических либо диэлектрических стержней.

11.5. Кольцевые резонаторы

Резонанс можно получить в направляющей системе, свернутой в кольцо (рис. 11.16), если длина кольца по средней линии кратна длине волны в этой системе на данной частоте

tcp = qA или р = <72я//ср, q = I , 2, 3, • • .

(11.21)

Фазовый коэффициент	в два раза больше (при тех же q),		чем
в резонаторах стоячей волны, так как волна, пройдя расстояние			/ с р
один раз, должна оказаться в фазе с первоначальной		волной.
По аналогии с ф-лами	(11.14) и (11.12) найдем	резонансные
частоты для кольца из полого волновода и линии с		волной ТЕМ:

/ Г = V(W~+WjQ*~~»	V =	О 1 - 2 2
На рис. 11.16 показан способ возбуждения кольцевого резона
тора с помощью так называемого направленного		ответвителя. Пос

ледний передает определенную часть мощности волны, распростра


няющейся		в	основном	тракте,
волне	одного		направления		в	НдльцеВой
кольцевом		резонаторе,		так	что
						резонатор
в нем	тоже создается			бегущая

волна.

Можно так			согласовать
тракт,	чтобы	вся	мощность
волны,	распространяющейся
по основному		тракту, воспол

няла потери в кольцевом резо

наторе		Рт = Ро. Энергия,		запа
сенная		в резонаторе,	определя
ется	соотношением		W =	qPKT,
где	Т	— период	колебаний.

Тогда по ф-ле (11.2) находим добротность резонатора Qo—

От

генератора

Рис. 11.16

Налрдвленный

отдетвитель

Основной

транш

= 2nqPKT/ (PQT) =2nqPK/Po		и	мощность	волны	в	кольце
PK = PTQ0/(2nq),	которая	в Q0/(2nq) раз больше чем			мощность ге

нератора. Благодаря этому кольцевой резонатор можно использо вать для испытания волноводных элементов на больших мощно стях, многократно превышающих мощность свч генератора. Испы туемый элемент вставляют в разрыв кольца.

11.6. Открытые резонаторы

На миллиметровых и субмиллиметровых волнах, а тем более в оптическом диапазоне, объемные резонаторы оказываются непри годными: на низших типах колебаний их размеры слишком малы, а на высших они теряют частотно-избирательные свойства из-за чрезмерной густоты спектра их собственных колебаний. В указан ных диапазонах применяются открытые резонаторы, в которых по ле не замкнуто металлической оболочкой; они отличаются высо кой добротностью, значительными колебательными мощностями и малой (по сравнению с объемными резонаторами) плотностью спектра собственных колебаний.

Открытый резонатор представляет собой систему из двух (иног да более) зеркал (рис. 11.17), отражающих, друг к другу пучок лучей. Отражатели располагают в свободном пространстве, либо

между ними устанавливают открытый волновод (например, ди электрический). Зеркала резонатора обычно выполняют из нес кольких чередующихся четвертьволновых слоев диэлектриков с большими и малыми значениями є, их коэффициент отражения Дифракционные \Г\ >0,99. Из ф-лы (6.39)


Фокусь	потери	следует, что диэлектриче
		ская	пластинка толщиной
		в четверть		длины	волны
		отражает		значительно
		сильнее,		чем	граница
Рис. 11.17		двух	диэлектриков,			так
		как	складываются		в	фазе
		две	отраженные		волны.

Указанный принцип положен в основу создания многослойных от ражателей. Металлы для этой цели применяют редко, так как ко эффициент отражения от их поверхности в оптическом диапазоне недостаточен.

Все размеры резонатора значительно больше длины волны, по этому довольно точное представление о его работе можно полу

чить с помощью геометрической	оптики. Отражающийся от зеркал
пучок лучей создает стоячую волну на		любой из частот	, опре
деляемых ф-лой (11.12), тогда	длина	резонатора кратна	длине

резонансной полуволны. Обычно длина резонатора составляет не

сколько	десятков	сантиметров, а Я « 1	мкм, поэтому численное
значение	q очень	велико: используются	колебания высших (по

продольной оси) типов. Разность двух соседних резонансных ча

стот

					(11.23)
значительно меньше каждой из этих частот. Например,					при 1=1 м
и vep=c	получаем / г = 150	МГц. Длине волны k=l		мкм соответ
ствует / = 3-101 4 Гц = 300		ТГц. Следовательно, q=(JF		= 2-l06.		Ак
тивная среда газового лазера (оптического			квантового генератора)
возбуждает колебания в более широкой полосе, чем F, например,
1000 МГц. Поэтому лазер излучает сразу в нескольких					частотных
полосах.
Плотность спектра собственных колебаний AN0/Af=l/F					=	2i/vm
что в 2 л 5 Д 2 раз меньше,		чем в закрытом	объемном		резонаторе
объемом	V=Si.

Форма и размеры пучка лучей определяются размерами зерка ла; пусть это будет круг диаметром 2а. Так как 2а^>Х, между зер калами распространяются волны с продольными составляющими поля, на несколько порядков меньшими поперечных. Их обычно называют ТЕМ-волнами. Однородная волна типа ТЕМ с одинако вой амплитудой по всему сечению пучка будет иметь большие по тери на отражение, поскольку существует дифракционное расши рение пучка и часть его энергии оказывается за краем отражаю-

шего зеркала. Малые потери имеют только такие ТЕМ волны, у которых амплитуда спадает к краю пучка.

Дифракционное расширение		пучка в	значительной степени
уменьшается при использовании		вогнутых зеркал. Система из			кон
фокальных	сферических зеркал	с радиусом	кривизны	Д = 1 имеет
оба фокуса	в центре резонатора	(фокусное	расстояние	равно	R/2).

По законам геометрической оптики параллельный пучок лучей со бирается каждым из зеркал в фокусе. Однако дифракция волн при отражении от зеркала конечных размеров вносит поправку: сече ние пучка в фокальной плоскости минимально, но конечно.

Рассмотрим в цилиндрических координатах ('tp, г, z) те типы колебаний в открытом резонаторе, которые имеют малые потери. Обычно в резонатор включают устройство, фиксирующее плос кость поляризации, поэтому ограничим рассмотрение плоскополяризованными полями. Постоянство отношения Е/Н и практическое отсутствие продольных компонент поля позволяют называть эти


колебания	TEM n m ,j .		Здесь п — число			вариаций	поля	по углу		ср;
т — число	вариаций		по радиусу		г; q — число полуволн				по оси	г.
Колебания, различающиеся				по	тип,	называются		в	открытых
резонаторах угловыми			модами,	а	различающиеся		по	q — аксиаль
ными модами.		На рис. 11.18 показаны				поперечные распределения
электрического		поля	для четырех		простейших угловых				мод.

Рис. 11.18

С увеличением индексов п и т повышается напряженность по ля на краю зеркала и возрастают дифракционные потери. Эти по тери зависят также от относительного размера зеркала, выражен

ного числом	Френеля	N = а2/(IX).	На рис. 11.19 сплошными кривы
ми показана	зависимость дифракционных потерь мощности			от N
за один цикл движения волны			(отражение от двух зеркал)	для
разных типов волн в конфокальном резонаторе.
Основная	волна ТЕМ0 о дает колебания ТЕМоо? с частотами
f(04)=qF. Для	волн с	более сложной поперечной структурой		экви

валентная длина конфокального резонатора несколько уменьша ется, так как основная часть энергии распространяется параллель-

но оси 2 по более короткой траектории ближе к краям зеркал. По этому резонансные, частоты для колебаний T E M n m g определяются соотношением:

С = ІЯ + ° - 5 (* + m ) J F ' F = VJ(21)-		(! 1 - 2 4 )
В результате резонансные частоты	колебаний ТЕМшд и TEMoi?
оказываются в середине промежутка	между частотами	ТЕМоод,

а частоты колебаний ТЕМоо9 совпадают с ТЕМ2 од . Следо вательно, в открытом резо наторе наблюдается вырож дение колебаний.

Режим работы открыто го резонатора считают одномодовым, если в нем воз буждены только колебания ТЕМоод, т. е. при определен ной структуре поля в попе речной плоскости, соответ ствующей основной угловой моде, допускаются колеба ния на нескольких резо нансных частотах (11.24) с разными значениями q, раз ные аксиальные моды. В многомодовом режиме в откры том резонаторе наблюдается несколько различных угло вых мод TEMnm, с отлича

ющимися п или т. Нужно иметь в виду это различие в определе ниях одномодового режима открытых и закрытых резонаторов.

Резонатор с плоскими зеркалами, называемый также интерфе рометром Фабри-Перо, концентрирует пучок волн в меньшей сте пени, чем конфокальный. При круглой апертуре в нем создаются такие же волны, но с большей напряженностью на краях зеркал. Поэтому дифракционные потери в этом случае больше (пунктир

ные линии на рис.	11.19). Резонансные частоты всех колебаний при
плоских зеркалах	практически	совпадают и рассчитываются по
ф-ле (11.12). Приведенные здесь соотношения основаны на			стро
гом решении весьма сложной задачи [7], которое не может			быть
рассмотрено в пределах данного		курса.

11.7. Собственная добротность резонаторов

ДОБРОТНОСТИ ПРОВОДЯЩЕЙ ОБОЛОЧКИ И ДИЭЛЕКТРИКА

Добротность резонатора определяется ф-лой (11.2), и ее расчет сводится к нахождению запаса энергии в резонаторе и мощности потерь Р0. Эта добротность называется собственной, поскольку

не принимаются во внимание потери во внешних цепях. Собствен ные потери складываются из потерь в проводящих стенках резо натора Рпр и в диэлектрическом заполнении Р д : Ро = Рщ> + PR- В со ответствии с этим, ф-ла (11.2) дает расчетное соотношение для собственной добротности Qo резонатора:

^ПР

Рц_

| _

/ j j

25)

a>0W CD0W

<s>0W QnP

QA '

Собственная добротность резонатора определяется через доб

ротность проводящей

оболочки

Q n p

и добротность

диэлектрика

<2Д.

Найдем эти величины.

Запас энергии в резонаторе складывается из равных в среднем

запасов электрической

и магнитной

энергии:

Iа dV.

W = Wu

2W№

= 2W3 =

ц а

I H\4V

ea V

£|

Со

М о щ н о с

т ь п о т е р ь

п р о в о jд я щ е й

о б оj

л|о ч к е .

гласно ф-ле (6.27) и по аналогии с (8.44)

определяем

Pnp

j^npdS^R^lH^dS.

	Добротность проводящей оболочки теперь выразится в виде
Q„P	= ^	=	v—£	= Л ^ ^				• <1L26)
	F n	P	« ш © в и » п р Д д ) \| ^ \| * < й		ш	^ п р	\|>\|Wt \|»ds
	Чаще	всего оболочка резонатора			и его заполнение			немагнитные
и	р. = \|яП р=1-		Для вычисления	Qnp	нужно		знать	распределение

магнитного поля данного вида колебаний в резонаторе. Ориенти

ровочное значение Qnp легко определить, считая,	что энергия	маг
нитного поля в среднем распределена одинаково	по всему объему,
т. е. \| Я \| 2 = \| # т \|2 =const. Тогда (при равенстве	р, в средах)	по
лучается очень простое соотношение:
*»-^гт-	("-27)

Несмотря на простоту, ф-ла (11.27) в ряде случаев дает точные оезультаты и редко приводит к ошибке, превышающей 10%.

Наибольшую добротность имеют выпуклые резонаторы простой формы, близкие к шару или кубу, с максимальным отношением V/S. При использовании определенного вида колебаний и сохра нении одномодового режима линейные размеры резонатора про порциональны Я, тогда У/3~13/к2~1~\/}. Следовательно, Qnp~ Vf/f= 1/ V T — с повышением частоты добротность падает.

275

М о щ н о с т ь	п о т е р ь	в д и э л е к т р и к е , согласно ф-ле
(8.39), Рд ==,ш і єа t^6 р£\|2 й?1/.
	V
Следовательно,	добротность	диэлектрика

(11.28)

равна обратной величине тангенса угла потерь. При воздушном


заполнении <3д3>(3пр			и практически оказывается, что Qo — Qnp-
	РАСЧЕТ ДОБРОТНОСТИ ПО КОЭФФИЦИЕНТУ ЗАТУХАНИЯ
	ВОЛНОВОДА
Добротность Qnp резонаторов со стоячей						волной и кольцевых		удоб
нее	рассчитывать,		беря	за	основу	коэффициент	затухания
а = Рі/2РбЄт [ф-ла		(8.38)]		направляющей		системы, из которой обра
зован	резонатор	(Рбег—мощность			бегущей волны).
В резонаторах со стоячей волной существуют две встречные
волны, потери которых в диэлектрике и боковых стенках							Рв	такие

же, как у волновода с тем же потоком энергии. Кроме того, сле

дует учитывать потери Рк при отражении волны на замкнутых			кон
цах резонатора.		*

Пусть известно распределение вектора Пойнтинга Пг=		( Е х Н ) 2 =
= \| Н± 12Z^'H по сечению волновода или линии. Тогда	мощность		бе
гущей волны Рбег= J* nzdS. В соответствии с ф-лой	(8.26) энерге
тическая скорость волны Мэ=Рбег / ^ 1 , где Wi — запас		энергии	на

единицу длины линии.

Определим запас энергии в резонаторе как сумму энергии пря

мой и обратной волн,		протяженностью	/ каждая: W=W\-2l =
= (Рбег/иэ )2/. Мощность		потерь в волноводе на удвоенной длине2/:.
PB = Pl2l =	a2P6er2l.
Тангенциальная составляющая магнитного поля при отражении
от проводящей стенки удваивается, т. е: Нх			равна	арифметической
сумме Hi	обеих волн. Поэтому потери на		концах	волновода опре
деляются	как

P« = Ws]\Hx\4S

= Ws$\HLfdS

Теперь остается лишь подставить найденные значения в фор мулу для добротности резонатора:

Q _ top W =	о)0	Г _	со0 21Р6гт/иэ	_
Р0	Рв +	Рк	4 / a P e e r + 8/? s P e w . /Zf	н

(11.29)

2 / / C [ a + 2 P s / ( Z f - w z ) ]

Эта формула пригодна для расчета резонаторов со стоячей вол

ной по продольной оси (<7^1). Для резонаторов		с волной	типа
ТЕМ следует заменить Z^H	на ZB . В кольцевых	резонаторах	нет

концевых отражателей, поэтому второе слагаемое в знаменателе следует положить равным нулю:

0	2a УК

Для ^-колебаний, не имеющих вариации поля по длине резо натора (^ = 0), физические соображения, положенные в основу вы вода ф-лы (11.29), непригодны. В формулу необходимо ввести по правку: поскольку величина поля вдоль оси г неизменна, запас

энергии W и потери	Рв увеличиваются вдвое, по сравнению с пре
дыдущим случаем. Учтем		также ф-лу (8.15e): Zl =ZB$/k	= ZBy К
Тогда для колебаний типа		Етп0 получим
Qo =	— k	— . - (при ? = 0).	(11.31)
2[aV	К +	Rs/(ZBl)]

Использование ф-л (11.29) — (11.31) позволяет избежать инте грирования полей при расчете Qo.

РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ТИПОВ КОЛЕБАНИЙ В ОБЪЕМНЫХ РЕЗОНАТОРАХ

П р я м в у г о л ь н ы й р е з о н а т о р . Для колебаний типа Етп0 из решения задачи 9.4 и ф-лы (11.31) следует, что

	Qiпр	k , n p	A ( A		п» + п		+	_ЦгП	J	( 1 1 . 3 2 )
		ш Г п	р	\аЬ	mW	+ nW		I }

Аналогичную формулу можно получить для колебаний										Hm0q	с
заменой в ф-ле (11.32)			n-+q; b^l;			l-^b.				Enmq
Ц и л и н д р и ч е с к и й				р е з о н а т о р .				Для	колебаний		и
Епто	ф-лы (9.56), (11.29) и (11.31) приводят к соотношениям:
Qnp = [ « ш	^ п р А ^ +		у )		q>	1; Q n p	=	к ш (^пр А
								о =	0.	(11.33)

277

<<< < Предыдущая 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 4928 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ