Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Семенов Н.А. Техническая электродинамика учеб. пособие для электротехн. ин-тов связи

.pdf

Скачиваний:

302

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

23.29 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 4920 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

т. е.	соблюдалось		неравенство k>%. Известно, что	& = 2 л Д =
— 2nf/veix		. Следовательно, условие распространения волны прини
мает	вид:	/ > x w e n	/ ( 2 я ) = / к р - Существование критической	частоты

/к Р показывает, что полый волновод является своеобразным фильт ром верхних частот. Для него справедливы следующие соотноше

ния:
	о...	2я	2я
/ > / к Р :	/кр = - ^ х ;	х = —	/кр = — = КР,	(9-і)
		1»8Д	Ак р
т. е. поперечный коэффициент % равен волновому числу для				крити
ческой частоты.
Фазовый коэффициент запишем теперь через критическую час
тоту:
Р = VF=tf	= k Y	* і / 1 - ( / к Р / / ) 2 = A ^ К;		(9.2)

он всегда меньше волнового числа k. Для удобства квадратный корень в ф-ле (9.2) обозначен специальным сокращенным симво лом, так как это выражение встречается почти во всех формулах, относящихся к полым волноводам:

	YK ^ YT-^ШЖ	=	/ і - К > > ) 2			= Vі		(9.3)
Длина волны Л в волноводе однозначно определяется его фа
зовым коэффициентом; по аналогии с					(3.30):
	д	_ 2я_ _	2л	1__		Х^		,д ^.
5 полом волноводе		длина	волны		А всегда больше		длины	вол
ны X в	неограниченном	пространстве			при	той же частоте^
Из	сравнения ф-лы	(9.2) и	(9.4)	с	(8.19) вытекает,		что угол	па

дения парциальной волны на стенку волновода определяется со

отношениями

(см. рис. 8.3):

s i n ф =

] / ^ ~ W )

- v * ' c o s

ф =

т•

( 9 ' 5 )

Как

уже

отмечалось,

при

l/ = fKp

угол

падения

парциальной

волны

равен

нулю,

ср = 0,

и волна вдоль волновода

не

распростра

няется

(рис.

8.7).

Фазовая скорость волны

на

основании

соотношений

(8.24) и

(9.2) выражается

как

со

vc,,

(9.6)

v = -

— = - ^ г ,

она всегда больше, чем скорость распространения

однородной

волны в среде, заполняющей волновод.

188

Групповую скорость определим по ф-ле (8.30), найдя предва рительно производную от фазовой скорости (9.6):

dv	d
d со	d со L / 1	- ( 0 ) к р / ( 0 ) 2	[ 1 - ( 0 ) к р / 0 ) ) 2 ] 3 / 2
Тогда
и	=		• == «гц / /С,	(9.7)
	1	+
		ер,

что совпадает с найденным в 8.6 выражением для энергетической

скорости волны в волноводе «Э = У е М sin<f = veiiyr К. Частотные ха рактеристики для v и и приведены на рис. 8.12. Они являются

функцией только отношения рабочей частоты f к критической час тоте /К р данной волны.

9.2. Волноводы прямоугольного сечения

Г Р А Н И Ч Н А Я З А Д А Ч А Д Л Я Е - В О Л Н

Анализ волновода прямоугольного сечения (рис. 9.1) проводится в декартовой системе координат, так как при этом границы волно

вода	легко	совмещаются с				координатными	поверхностями. Реше
ние	граничной		задачи		для	£-волн
должно удовлетворять					волновому
уравнению		для	составляющей E Z и
граничным		условиям			на	стенках
волновода		(считаем		их		идеально
проводящими).			Уравнение			(8.14)
записывается в			декартовой			системе
координат		как
	д*Ег + Х2Ёг			= 0-		(9.8)
	дх*					Рис. 9.1
Продольная составляющая поля Ёг является касательной к по
верхности стенок волновода. На границе с идеальным								проводником
касательная		составляющая				электрического поля согласно ф-ле
(2.27) равна нулю, следовательно,
		Ег \с = 0 (при				х = 0 и а; у = 0	и Ь),		(9.9)
где С — контур волновода в поперечном сечении.
Искомая		функция		в ур-нии (9.8) зависит			от двух	аргументов х
и у. Уравнение этого типа решается методом							разделения		перемен
ных:	искомая функция				представляется в виде произведения двух

функций, каждая из которых зависит от одного аргумента. Запи шем

			Ёг(х,		y) = X(x)Y(y),				(9.10)
подставим ф-лу (9.10) в исходное ур-ние							(9.в), обозначив		произ
водные функций одной переменной штрихами: X"(x)Y(y)									+Х(х)х
XY"(y) + %2X(x)Y(y)			=0;	разделим полученное равенство					почлен
но на	X(x)Y(y):
			^ 4 + ^ -			+ Х2 =	0.		(9.11)
			X (х)		Y (у)
Уравнение		(9.11)	состоит		из трех слагаемых: первое из них за
висит только		от переменной			х,	второе — только от переменной у,
а третье — не зависит от этих переменных. Это уравнение									должно
удовлетворяться в любой				точке		поперечного		сечения волновода.
В частности,		можно	двигаться			параллельно		оси х, сохраняя у =

= const. Второе и третье слагаемые при этом постоянны. Но и пер вое слагаемое не может меняться, не нарушая ур-ние (9.11). Сле довательно, данное уравнение удовлетворяется лишь в том случае,

если все его слагаемые

постоянны (в функции от хм

у). Обозна- •

чим

^li£L

— £2

= const;

^ I M . =

const.

(9.12)

X (x)

Y (y)

Тогда ур-ние (9.11) превращается в уравнение

для

поперечных

коэффициентов:

! 2 +

r f = X2.

(9.13)

где g — поперечный коэффициент

по оси Ох,

г] — поперечный ко

эффициент по оси Оу.

Дифференциальные ур-ния (9.12) являются линейными урав

нениями второго

порядка Х"(х)

+ 12Х(х)

= 0

Y"(у)

+rfY(y)

= 0,

решения которых хорошо известны [5]:

X (х) = A sin |

х + В cos | х;

Y (у) = С sin ц у + D cos г\у.

(9.14)

Функции Х(х)

Y(y)

должны

удовлетворять

граничным

усло

виям (9.9), т. е. Х(х)

= 0

при х = 0 и х = а;

Y(y)

= 0 при у=0

у=Ь.

Следовательно, 5 = 0 и D = 0, если положить в

(9.14)

,v=0

и у = 0.

Требуется также, чтобы при х=а

и у = Ь равнялись нулю синусы со

ответствующих аргументов, т. е. вдоль каждой

стороны волновода

укладывалось целое число полуволн синусоиды.

Следовательно,

аргументы синусов: £а = т я и цЬ = пп,

где

тип

— целые

поло

жительные числа. Ни одно из них нельзя

принять равным

нулю,

так как тогда Ez

тождественно

обращается

в нуль. Итак,

для по

перечных коэффициентов

по осям

Ох

и Оу

должны

выполняться

соотношения:

т л

; Цп =

п л

•

/п 1 с\

—

(9.15)

Обозначив АС=Е0 и введя	по (8.1) зависимость поля волны от
г и t (при а = 0), представим	окончательно	решение	для	продоль
ной составляющей поля в виде
Ёг = Х (х) Y(y) = E0sintxsmrly[		е1	] .	(9.16)

т и п ы г - в о лн

Найденное решение существует только при определенных значениях поперечных коэффициентов 1т и г\п. В свою очередь, согласно ур-нию (9.13), они определяют поперечный волновой коэффициент волновода хтп=const. Эта величина зависит от выбора чисел т и п. Соотношение (9.1) позволяет найти критическую частоту и критическую длину волны:

К;	=	2	•	(9-17)
Каждой комбинации	т и я	соответствует	своя структура	поля
Ez(x, у) (ф-ла (9.16)], т. е. определенный тип волны, который				име

нуется Етп. Первый индекс т определяет число полуволн в струк

туре Ег, укладывающихся вдоль оси Ох, а второй п — число			полу
волн вдоль оси Оу. Чем больше значения тип,		тем выше /К р, т. е.
требуется большая	частота колебаний для существования волны
соответствующего типа. В волноводе заданных		размеров на	дан
ной частоте может распространяться конечное		число типов	волн
(а может быть и ни одного).			Етп.
П о п е р е ч н ы е	с о с т а в л я ю щ и е ^ п о л я	в о л н ы

Запишем поперечный градиент от Ez в прямоугольной системе ко ординат:

		і	г ,	дЕг	,	дЕ,
	grad		Ег	= ех —z + еу —2 .
			-1-	дх		ду
Из ф-л (8.15) при Y = ip и (9.16) получаем:
Ё. = — і — grad			Ёг	= — і	Ё0	(ех I cos \| х sin ц у +
±	у2	Л.		%2
		+ ei / T]sin\|xcos4 y);
Hj. =	— ^ * ( Ё х	X е2 ) =		— і —JJ-	Ё* (еу £ cos \| х sin п у —-
	Р			X
		— е^. т] sin \| х cos и у),					(9.18)
так как е ж Хег= — е„;		e y X e z = e x .					имеют
В поперечной плоскости электрическое и магнитное поля							имеют

по две компоненты каждое, параллельные осям Ох и Оу. Рисунок линий поля образует в этой плоскости повторяющийся орнамент.

191

П о л е

в о л н ы

Е\\.

Простей

волны

шая

волна

рассматриваемого

клас

са

минимальными индексами

• Зпюра

т=\

п=\

обозначается

как

Еи.

Она

имеет

минимальную

критиче

скую частоту из всех £-волн

Эпю

ра

распределения

амплитуды

Ег

для этой волны в поперечной плос

кости представляет

собой

куполо

образную

поверхность

(рис.

9.2);.

любое ее вертикальное сечение —

синусоида.

Эта эпюра представлена в том

сечении,

где

составляющая

Ег

максимальна.

Линии

поля

Е х

на

"Ё"и Н

черчены

сечении,

отстоящем

на

Л/4

от

первого, так

как

множи-

тель

(—і)

ф-лах

(9.18)

свиде

Рис.

9.2

тельствует

об

отставании

попереч

ных составляющих поля от продоль

ных на 90° или четверть волны. Вектор

Ej. пропорционален

гради

енту

Ег в поперечной плоскости, т. е. крутизне ската

куполообраз

ной поверхности — эпюры

Е2.

Эта

крутизна максимальна

стенок

волновода и gradx^z направлен перпендикулярно им. В центре волновода крутизна ската и составляющая Ех равны нулю; Е х изображена с помощью линий поля. В том же сечении Н ± пред ставлена семейством линий, перпендикулярных линиям Ех . Их на правление обеспечивает положительную величину составляющей вектора Пойнтинга Пг.

Поле в промежуточных сечениях является суперпозицией полей при z = 0 и z =—Л/4. Магнитное поле всюду подобно изображенно му. Электрическое поле имеет продольную и поперечные составля ющие. На рис. 9.2 показано, что линии электрического поля посте пенно меняют свое направление от продольного к поперечному.

У\ \9

Рис. 9.3

На рис. 9.3 представлены поперечные и продольные разрезы по ля той же волны. Рисунок каждой последующей четверти волны является зеркальным изображением предыдущей. Здесь линии электрического поля сплошные, а магнитного — пунктирные. Черны-

ми кружками изображены линии, направленные к читателю, белы ми — от него.

Рисунок поля	любой волны Етп	образуется	повторением рисун
ка поля волны	Ец, с изменением	в шахматном	порядке направле-

Рис. 9.4

ния его линий. Это видно, например, из сопоставления рис. 9.3 для волны Ец и рис. 9.4 для волны Е&-

Я - В О Л Н Ы В П Р Я М О У Г О Л Ь Н О М В О Л Н О В О Д Е

Р е ш е н и е д л я # 2 . Волновое ур-ние (8.16) для Hz	имеет вид
Э + ^ + № = 0 -	( 9 Л 9 )

Оно решается методом разделения переменных. Общее решение соответствует (9.10) и (9.14):

Нг (х> У) = Х (х) Y (У)= = И s i n 5х + Б c o s і х) (С sin я, у + D cos TJ у).

(9.20)

На границе с идеальным проводником касательная составляю щая магнитного поля, согласно ф-ле (2.32), достигает экстремума:

дНг	=	0
дп с

или Х'(х)		= Л £ с о з \| х — 5 \| s i n \| ^ = 0			при х=0		и	а;
		Y' (у) =	С TJ cos т) у — Dr]sinT]t/ = 0				при у = 0 и Ъ.			(9.21)
При этом Л = 0, С = 0 и необходимо выполнение условий для %т
и цп,	идентичных		(9.15).			выражения		для поперечного		ко
Следовательно, для				Е- и Н-волн
эффициента Хтп, критической частоты и критической									длины	волны
(9.17)	одинаковы.		Продольная		составляющая			поля	Я-волны	изме
няется в поперечном сечении по закону
			Нг (х> У) — Н*cos			£ х cos т] у.				(9.22)
П о п е р е ч н ы е				с о с т а в л я ю щ и е			п о л я в о л н ы			Нтя

определяются по ф-лам (8.17):

7—2

193

		і — Я 0	(—ех \| sin \ х cos т] у—ty		ц cos I х sin г) у);
СОЦа	(Н ± X е2 ) =	— і ^ Я	0	(е^ \| sin g х cos л г/ —	ц cos £ х sin г\ у).
Р		.			(9.23)
		Х			(9.23)
Т и п ы Я - в о л н .		В данном		случае допустимо,	чтобы т или п

были равны нулю. Тогда поле не меняется по одной из координат.

Однако,	если положить одновременно т = 0 и п = 0,	то Я г = Яо =
= const в поперечном сечении, что в соответствии с		ф-лой (9.23)
приводит	к нулевым поперечным составляющим, т. е	свидетельст

вует об отсутствии электромагнитной волны. Следовательно, про

стейшие волны

этого класса

с минимальными

индексами: Яю, Н0І

и Ян.

Волну,

обладающую

в волноводе

данной

О с н о в н а я

в о л н а .

формы

минимальной

критической

частотой,

называют

основной.

Наименьшие

индексы у волн

Я 1 0

и Яоі. По ф-ле (9.17) /по

їкр —иЄц/2Ь.

Если

а>Ь,

то

/кр </° р < / « р и

критическая

частота

волны Яю меньше, чем критические частоты

волн Я0 і,

Ян, £ ц и

всех остальных волн с еще более сложной структурой.

Поэтому

волна

Яю в

прямоугольном

волноводе с а>Ь

является

основной,

а все остальные типы волн именуют волнами

высших

порядков.

Согласно

ф-лам (9.22) и

(9.23)

поле

волны Я ) 0

(пг=\,

п = 0)

имеет только три составляющих:

Нг

Я 0

cos I х е' ( t 0

' - p z ' ; Нх =

і (p/fc) Я 0

sin \ х е1 ( (

й ^ р г

) ;

где 6 =

х =

я/а.

= — i (kZJl)

Я 0

sin 6 хе{

( 0

> М

3 2 , ;

(9.24)

Структура волны Яю показана на рис. 9.5 в трех проекциях. На рис. 9.6 дано объемное изображение электрического поля Еу этой

-о	of
-о

о ° / 0 /	^	—
\ ОчОРо/Ь /	^

I о jofigSfofо (о

Рис. 9.5

194

волны в виде функциональной поверхности для фиксированного мо

мента времени.
Я-в о л н ы в ы с ш и х	п о р я д к о в .	Структура	поля	волн
Иго, #зо,..., Нто получается	повторением	картины	волны	Яю по

оси х т раз, если менять каждый раз направление линий напряжен ности поля. Структуры поля

Рис. 9.6

Рис. 9.7

Для образования остальных типов волн класса Я исходной яв ляется волна Ян (рис. 9.7). Повторяя эту структуру по горизонта ли и вертикали с переменой в шахматном порядке направлений линий поля, можно получить поле любой Я-волны.

ОБЩИЕ СВОЙСТВА ПОЛЯ Е- И Я-ВОЛН В ВОЛНОВОДАХ

Структуру поля любой волны нетрудно представить графически по известному распределению продольных составляющих, основыва ясь на общих ф-лах (8.15) или (8.17) и не обращаясь к полному аналитическому описанию поля. Необходимо лишь учитывать сле дующие свойства полей в волноводе (при отсутствии потерь):

1. Составляющие

Е х

и H i отстают

по фазе

от продольных Ez

или Hz на

90°. Перейдя

к мгновенным

значениям

поля,

получим

следующие

законы

изменения

его

составляющих

функции

от t и г:

для

Ег

или Я г : Re [ е1

( 1 С '~р г )

] = cos (to t — р г);

для

Е ±

H x : R e [ - i e i ( f i r f

- p 2 ) ] =

Re[е 1 ^

] =

cos (со / — р z — 90°) =

sin (со / — р г).

(9.25)

Если максимум продольной составляющей при t=0 находится при г = 0 , то максимум поперечных составляющих в этот же момент соответствует значениям рг = —я/2, т. е. z — —Л/4. Таким образом, по длине волновода чередуются (с интервалом Л/4) области попе-

195

речной и продольной ориентации

поля. В промежуточных сечениях

электрический

(для

£-вол.н)

или

магнитный

(для

Я-,волн) век

тор направлен

наклонно

к оси волновода. Поле

произвольной

точке (Hz=0

для

£-волн,

а £ 2

—0 для

Я-волн):

Е(х,

у ,

г,

Ц-еЛ^х,

у)

)

c o s ( ( 0 , _

Н(х,

у,

t) = с г Н т ( х ,

у) J

Е.-Д*. у ) '

~±т '

sin (at

— р г).

(9.26)

Hj . m (* .

У)

2. Для £-волн

вектор

Еь х

пропорционален

коллинеарен

g r a d x £ 2 , для

Я-волн

Н ±

~ д г а о ! х Я 2 .

3. Поперечная составляющая поля Н Х синфазна с поперечной

составляющей

поля

Е ± и пропорциональна ей.

Эти

составляю

щие, кроме того, перпендикулярны друг другу. Взаимное располо

жение

Е ± и Н Х

должно обеспечить 'совпадение направления

век

тора Пойнтинга и направления распространения

волны.

КРИТИЧЕСКАЯ

ЧАСТОТА

Как

следует

из

ф-лы

(9.17), критическая

частота волны

любого

типа зависит

от размеров

волновода

сложности

структуры

вол

ны,

т. е. численных значений индексов

m и

п.

При

заполнении

волновода каким-либо диэлектриком с

"огУ

в|х>1

критические

частоты

всех типов

волн

понижаются

пропорционально

Поз

Нщ

.ДН22

На

рис.

9.8

графически показаны

Н-,

критические

размеры

волновода

для

простейших

типов

волн.

В табл.

9.1

приведены значения /К р и ЯКр для од

w/щ

ного из

стандартных размеров

волно

вода.

Волн >,

"to

данной

неп

і "в

"го

H30

Если размеры волновода на

1,5 -

a/A

частоте

пригодны

для

распростране

Рис. 9.8

ния какой-либо волны высшего поряд

ка, то

выполняются

условия распрост

ранения

для

всех волн

более

низкого

порядка,-включая основную. Например, на частоте 19 ГГц в дан

ном волноводе распространяются волны типа			Н ю , Я 2 0 , Яоь Я ц и
Ен. Критические	частоты Е-	и Я-волн с одинаковыми индексами
совпадают.
Если два или более типа волн в волноводе имеют одинаковую
частоту, то они	называются	вырожденными.	Все параметры вы

рожденных волн, приведенные в параграфе 9.1, совпадают. В дан ном случае вырожденными являются волны Я ц и ЕЦ, Я 2 І И £ 2 1

Ж.

													Т а б л и ц а		9.1
Критическая частота и критическая длина волны 18 типов волн
в шрямоугольном волноводе с размерами аХ*=23ХіЮ мм
		н	ы	я	0 1		Я,	0	я 2 1	t0	н	02			Н„
Типы волн		н		я		я "	Я,			H	н
						я "
ЫР, ГГц	6,52	13,0		15,0		16,4	19,5		19,8 24,6 26,1		30,0		30,2	30,8	32,7
Як р, мм	46,0	23,0		20,0		18,3	15,3		15,2 12,2 11,5 10,0 9,95 9,76 9,17
и т. д. Если размеры волновода									сделать	кратными,			например, а =
=Qb, то .появляются новые							группы вырожденных волн:							Я 2 о и Я 0 ь
Яю и Яог, Нц,		Ей, Ніч и £22-

ТОКИ В СТЕНКАХ ВОЛНОВОДА

Тангенциальная составляющая магнитного поля достигает макси мума у стенок волновода. Это следует из граничных условий (2.32) для идеального проводника. Известно, что наличие Н т у проводя щей стенки вызывает в идеальном проводнике поверхностный ток [ф-ла (2.27)] j = H T Хп. Такой же эквивалентный поверхностный ток j8 K B [ф-ла (6.28)] в реальном проводнике проникает на неболь

шую глубину от его поверхности (нормаль				п направлена		из	ди
электрика		в металл).
Линии		магнитного поля у стенки волновода имеют довольно
сложный		рисунок. Линии тока	j всюду перпендикулярны			линиям
Нт и образуют картину, являющуюся своеобразным					отображением
картины	линий Н т . Рассмотрим, например,			поле	волны	Яю. На
рис. 9.5	изображена структура		этого поля.	Соответствующая			ему
структура		токов представлена	на рис. 9.9.	Процесс	распростране-

1 1 1 1 1

Рис. 9.9

ния волны состоит в том, что эта картина движется с фазовой ско ростью вдоль оси волновода. На отдельных участках направления токов противоположны направлению распространения волны; это явление обычно для любой электромагнитной волны, распростра няющейся вдоль проводников.

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 4920 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ