Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Семенов Н.А. Техническая электродинамика учеб. пособие для электротехн. ин-тов связи

.pdf

Скачиваний:

295

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

23.29 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 4912 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

вания является

толщина

скин-слоя

А [ф-ла (3.44)]; на этой

глуби

не поле убывает в е раз по сравнению

с его величиной

на поверх

ности. Волна,

преодолевающая

рубеж

z = A , несет

всего

лишь

13,5% первоначальной

энергии.

ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИМПЕДАНС

соответствии

с ф-лой

(6.22)

волновое

сопротивление

проводника

2В 2

(3.49) является одновременно его поверхностным

импедансом

Zs ,

так как | / С 2 І / | / й | =

У ргог/соєаі^ 1. Следовательно,

= Rs+iXs=

Л + * - Г ; Rs=Xs

= ±

k-^V*b.

оД

аД

(6.25)

Эту формулу легко запомнить, если заметить, что активная

состав

ляющая поверхностного импеданса равна сопротивлению

для по

стоянного тока

ленты

из того же металла

шириной

и длиной в

1 м и толщиной, равной скин-слою А.

Поверхность проводника обладает также индуктивной

состав

ляющей импеданса, равной по величине активной.

ПОГЛОЩЕНИЕ ЭНЕРГИИ

Определим мощность волны,

входящей

в проводник.

Составляю

щие поля на границе раздела

сред равны Е% и Нх , следовательно»

комплексная мощность

волны, проходящей

через

1 м 2 граничной

поверхности, с

учетом ф-л (6.22)

и (6.25),

выразится как

П = Ё т X Н т = ErHxn

= Zs\Hx\2n=

(Rs

- H X s ) | t f T | 2

n . (6.26)

Векторное

произведение взаимно перпендикулярных

векторов

Ет

и Нт равно произведению их величин

и направлено

по норма

ли к поверхности. Итак, вектор плотности

потока

энергии,

направ

ленный в проводник, состоит из равных_по величине вещественной

и мнимой частей. Активная компонента П соответствует	мощности,
которая превращается в тепло внутри проводника:
П = Ren = Rs\Hx\2n.	(6-2 7 >

Эта формула напоминает закон Джоуля—Ленца в теории цепей, только здесь ток заменен напряженностью магнитного поля.

Реактивная компонента вектора Пойнтинга П р т = Х 8 | Я т | 2 п соответствует колеблющемуся потоку энергии, который поперемен но входит в проводящую среду через ее граничную поверхность и выходит из нее, периодически меняя направление своего движения.

ЭКВИВАЛЕНТНЫЙ ПОВЕРХНОСТНЫЙ ТОК

Проникающее в проводник поле вызывает в нем ток с плотностью J—оЕ, направление которого параллельно поверхности проводни ка. Как и напряженности поля, плотность тока быстро убывает по

к Нх по (6.22) н под

мере удаления от поверхности. Интерес представляет плотность

суммарного тока, протекающего под данной точкой					проводящей
поверхности. Назовем			его плотностью эквивалентного		поверхност
ного	тока j3KB, условно сконцентрированного на поверхности и рав
ного	интегралу	от реального		распределения J по глубине (рис.
6.7). С учетом		ф-лы (3.46)
		00	00	00 , - ( ! + «)г/А dz =
	JSKB = \| J d z = a j			Ё dz = оЁ г f е
		о	о

-(1 + |)г/Д

1 + i

где Е х = Е 0 — напряженность поля на поверхности проводника.

Перейдем в полученной формуле от £т ставим в нее значение Zs из (6.25). В ре зультате получим

		г Zs	(Н, X п ) =			(Н. X п) .
	1 +
							(6.28)
	Плотность эквивалентного						поверхно
стного JOKU		равна	по величине				касатель
ной	составляющей			Нт	и	перпендикуляр
на	ей по направлению				(рис. 6.6).
	Вспомним, что точно так же опреде
ляется поверхностный					ток	идеального		Рис. 6.7
проводника		{ф-ла (2.27)]. Следовательно,
суммарный ток в металле определяется только									значением	Htj у
его	поверхности. В			зависимости			от проводимости		металла	Ъ этот
ток	распределяется			на	меньшую		(Д->0 при а->оо) или большую

глубину.

6.6.Скин-эффект в круглом цилиндрическом проводе

СЛАБЫЙ СКИН-ЭФФЕКТ

Многие типы линий передач электромагнитной энергии состоят из двух или нескольких цилиндрических проводов. Рассмотрим, к ка ким последствиям приводит скин-эффект в одиночном прямолиней

ном проводнике (рис. 6.8).
Постоянный ток, как известно,		распределяется по сечению про
водника	равномерно и поэтому сопротивление на единицу длины
провода	вычисляется по формуле
	Д 0 1 = ^ = - = — =	при а <0,5 А,	(6.29)

oES

о па2

				где S — площадь			поперечного сечения
				проводника.
				Пока		А ![ф-ла		(3.44)]	больше,	чем
				радиус провода а, поле хорошо прони
				кает в проводник, заполняя его почти
				равномерно по сечению. Это значит,
				что в определенном диапазоне частот,
				начиная с самых низких, распределе
				ние плотности тока почти не отлича
				ется	от	распределения			при постоян-
Р я с 6 8				ном токе и можно использовать						ф-лу
				(6.29). Расчеты показывают, что ука
занная	формула		применима до тех пор, пока					Д ^ 2 а . Это область
слабого	скин-эффекта.
	СИЛЬНЫЙ СКИН-ЭФФЕКТ
Если радиус		проводника велик			по сравнению			с толщиной		скин-
слоя: о ^ А ,		можно		применить к	криволинейной поверхности					про
водника	условие		Леонтовича и полученные				выводы		теории	скин-
эффекта для плоской границы.
Исходя из ф-лы				(6.25), активную		составляющую сопротивления

провода на единицу длины рассчитываем, как сопротивление его скин-слоя толщиной А постоянному току:

Ri= 1/(ст5с) = 1/(о2яаА),

где Sc — поперечное сечение скин-слоя проводника.

Реактивное сопротивление при сильном скин-эффекте равно по величине активному. Следовательно, полное сопротивление про

водника комплексно и определяется						выражением
Zi =	R1	+ \Xl	=	- ± І - = Я 0		і — (1 4-і)		при а > 6 А .			(6.30)
				о 2я а Д		2Д
По мере	увеличения			частоты	толщина		скин-слоя уменьшается
и сопротивление провода растет. Формулы							(6.29)		и	(6.30) не охва
тывают всех	возможных			частот.		Заполнить		этот		пробел	можно
лишь строгим решением				задачи.
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ
Рассмотрим	распространение				электромагнитной					ТЕМ-волны
вдоль одиночного цилиндрического						проводника			(рис. 6.8).		Поле
волны обладает		осевой симметрией				и имеет в диэлектрике					состав
ляющие Ег и Я ф		, вектор П направлен вдоль оси провода и опреде
ляет энергию, переносимую волной.
Преломляясь		на	границе с проводником,					затухающая			волна

распространяется в нем по нормали к поверхности; ее составляю щие в проводнике Ez, Я ф также симметричны относительно оси;

1,10

вектор П направлен радиально и соответствует тепловым потерям волны. Плотность тока в проводе, как и электрическое поле, имеет только продольную составляющую Jz = aEz. Составляющая электри ческого поля Ez должна удовлетворять в любой точке однородному

волновому ур-нию j(3.22): V 2 Ez—к2£2=0,	где для проводника, со
гласно ф-ле (3.45) к = ( 1 + і)/Д.
Решим волновое уравнение в цилиндрической системе коорди
нат. Для этого представим лапласиан	V 2 по ф-ле (3.19). Поле
симметрично, поэтому д/с5ф=0. Так как	\|/Спр\|~>\| к д \| , т. е. Д-СА* н

скорость изменения поля по радиусу внутри провода значительно

больше, чем .вдоль линии, и можно				считать d/dz=0. Тогда
v z	г	dr	\ dr )	dr*	г	dr
Внося это ^значение		в волновое уравнение и разделив					его поч
ленно на (—і к)2,	получим
*^	+			dA^_	+ E	Q
		(—і	к г) d(— і к		г)
Это — дифференциальное			уравнение		Бесселя	нулевого	порядка
с комплексным аргументом			(—і к г).	Из двух возможных			решений

данного уравнения функция Вебера Y0 отпадает: при г = 0 она при

нимает бесконечные значения, а бесконечные значения поля на оси проводника физически нереальны. Следовательно, электрическое

поле записывается

через

функцию

Бесселя Ez(r)=AJo(—ікг),

где

^4=const. Напряженность поля на

поверхности

проводника[г=а)

обозначим через Ео. Тогда постоянная Л=£о//о(—і к а).

Введем безразмерный параметр х=а

\ 2/А и выразим через не

го аргумент функции Бесселя:

.—

. 1 +

а У 2 1 — і

= х

і — »

_і 45»

— і ка = — і

а = —-

= х е

У 2

У~2

Функция

Бесселя

комплексного

аргумента также

комп

лексна: / п ( * е - і 4 5 ° ) =bn(x)e~*pn(I).

Численные

значения

Ъп и р«

приведены в

таблицах

(см. например, [37]).

Так

как

—\кг=

= (г/а)хе~м5°

, модули Jz(r)

и Ez(r)

представляются

формулой

і г (Г)

J9 (— * КГ)

Jt(x

e-i45° г/а)

b0 (xr№ . (6.31)

1 Ёг(а)

h (—»"ка)

/e(xe-i45°)

На рис. 6.9 представлены

графики

распределения

плотности

тока по сечению проводника, вычисленные по ф-ле (6.31)

при раз

личных отношениях а/Д. Они отражают особенности

скин-эффекта

в круглом проводнике. Волны распространяются к оси проводника

по радиусам навстречу друг другу. Поэтому		напряженнность		поля
и плотность тока	уменьшаются с увеличением	расстояния	от	гра
ницы проводника	медленнее, чем при плоской	граничной	поверхно-

сти.

Полный

ток / в

проводнике определим

интегрированием

h(r)

по

его

поперечному

сечению. Вследствие

осевой симметрии

интеграл по углу <р дает 2я. Поэтому

2 j t j y z

(r)rdr

2ло En

Jо (— І кг)

rdr.

Jо (—їіса)

Неопределенный интеграл

вида

j / 0 ( 2 ) 2 ^ 2

= 2 / 1 ( 2 )

является

таб

личным

ф-ла

(5.52)].

Следовательно,

ток

7 =

і2яао£еХ

it)

Х/і(—Ска)ЦкІ0 (—(ка)}.

Напряжение на еди-

Ий-К

to)

ц у Д л и

провода

равно Е0. Поэтому

комп

Wl411!*'

н и

н ы

—

лексное сопротивление

одного

метра

провода

Zi = E0/I.

Удобно отнести Zj

сопротивлению

того

же

проводника

постоянному

току R0i

— ^

В а/А

Рас 6.9

Рис.

6.10

(ф-ла (6.29)]; заменим также аргументы через х:

45° Jo (хе

' 45°)

bp (Х) p i[0t (*)-3„W-45°] ( g 3 2 )

Є • ~ - ! ! _ ^

_ _ Є

Кої

Мої

(х є " 1 4 5 0

)

2 bx (х)

часги

Теперь несложно определить вещественную и мнимую

сопротивления

провода

единичной

длины

Zi=\Ri

+ iXi:

F - = " Г

Г 7 Т С 0 8 ^ W - P » W - 4 5 ° ] ]

«01

°1 \ х )

(6.33)

^ - = 4 " Г Т Т 8 І п [ Р і ( х ) - р 0 ( х ) - 4 5 1

М*)

Сопротивления /?І и

рассчитывают с помощью таблиц числен

ных значений модуля нормированного комплексного

сопротивления

(x/2)(bo/bi)

фазового

угла

(р0 —Pi)

при

различных х (см. [37,

табл. 64]).

Можно

непосредственно

использовать

графики

рис.

6.10, рассчитанные по ф-ле (6.33). С ростом частоты

обе компонен

ты Ri и Xi увеличиваются,

причем

фазовый

угол

растет

от 0

до 45°

С помощью асимптотических формул для малых аргументов функций Бесселя получим из ф-лы (6.32) приближенные соотно шения:

	Zi _	1 +	ілг*/4-дг«/64 _	{	х*	. х*
	#oi ~	1 + 1 */8 — V192 ~			1І32	8
ИЛИ
	Яі = #«. [ 1 + 0,0208 (а/А)4 ];			Х І =	R0l	• 0,25 (а/А)2 .		(6.34)
Точные ф-лы (6.33) дают возможность						вычислить		погреш
ность	приближенных		соотношений.	Так,	использование ф-лы
(6.29)	в пределах а ^ 0 , 5 А приводит к ошибке до 0,3%						по	модулю
и до 3,5° по фазе. Формула (6.34) при а^1 , 5						А дает	погрешность
менее 0,5% для Hi		и менее 5% для Xi. Формула (6.30) при а = 6 А
дает ошибку на 7%		для Ri и 1% для Хх; эта ошибка уменьшается

сростом а/А.

6.7.Метод ориентированных графов. Прохождение волны через пластину


	ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
Анализ	и расчет цепей свч и электродинамических		устройств зна
чительно упрощается при использовании метода			ориентированных
графов	— нового топологического1 ) способа определения			их харак
теристик {31]. Его достоинствами являются наглядность				графичес
кого изображения и быстрота		получения конечного результата.
Анализ	сложного устройства методом графов не требует			решения
граничной электродинамической		задачи (если она решена для эле
ментов	этого устройства) и составления системы		алгебраических

уравнений, а также позволяет избежать громоздких математичес ких преобразований. Рассмотрим этот метод подробнее.

Линейный ориентированный граф изображает линейную зависи мость между несколькими переменными. Он имеет вид цепи, со

стоящей	из узлов,	соединенных		ветвями.	Узлы	характеризуются
узловыми	сигналами,		например,	комплексной		напряженностью
поля волны в соответствующей точке системы.						Ветви	характери
зуются	направлением		и коэффициентом		передачи	Т	(передачей).
Узел-—источник,		из	которого ветви только исходят,				называется
независимым. Стоком			считают тот узел,		к которому ветви только

подходят. Если к узлу подходит хотя бы одна ветвь, он считается

зависимым. Совокупность ветвей,	проходящих	через каждый узел
не более одного раза, называется	путем, Tj —	передача /-го пути,

равная произведению передач всех пройденных ветвей. Замкнутый путь называется контуром первого порядка; Ljl) — передача /-го

4 ) В топологии изучаются наиболее общие свойства геометрических фигур, такие, например, как замкнутость. Любые деформации линий и поверхностей не меняют топологических свойств фигур.

контура первого порядка. Контур п-го					порядка		— совокупность п
контуров первого порядка, у которых нет общих узлов;									его переда
ча	определяется		произведением передач входящих їв иего кон
туров	первого порядка.
Назовем		коэффициентом		передачи	Sum отношение			комплексных
напряженностей поля			волны, пришедшей			в k-й	узел,		и волны от
источника, находящегося в пг-м узле. Если						m = fe, то Skh				представ
ляет	собой	комплексный		коэффициент	отражения.			Эти		коэффи
циенты определяются			с помощью ориентированных							графов по
«правилу некасающегося контура»:
	}km									(6.35)

где Tj — передача /'-го пути из узла m					в узел k; L <"> — передача

і-го контура п-го порядка. В знаменателе этой формулы суммиро вание выполняется по всем .контурам, в числителе — только по контурам, не касающимся /-го пути.

ПРОХОЖДЕНИЕ ВОЛНОЙ ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ

Рассмотрим методом графов практически важный случай нормаль ного падения плоской однородной волны на плоско-параллельную пластину. Три произвольные однородные среды, характеризующие ся коэффициентами распространения кп = Кап + і щп {п — \, 2, 3) и волновыми сопротивлениями Z B n (индекс «в» в дальнейшем опу-

А~ . В

Среда 1	CpedaZ	СредаЗ
Рис. 6.11
скается) разделены	плоскостями А	и В (рис. 6.11) так, что среда

2 образует слой толщиной d. Требуется определить две характери

стики: коэффициент	отражения от пластины Г=Su = ET/Et	и
114

коэффициент	прозрачности		пластины	T=S3i		= E3/Et	(JEi опреде
ляются при	2 = 0, а Е3— при z=d).			Волны		испытывают		много
кратные отражения от гра-ниц, раздела				/	и 2,	поэтому	отраженная
ЕГ и прошедшая Е3 волны			образуются		в результате		интерферен
ции бесконечного ряда		волн.
Составим	вначале	граф,	соответствующий			прохождению		через

границы А прямой и обратной волн (рис. 6.12). Считаем, что па

дающая из среды / волна Et

попадает в узел ai;

далее она

частич

но отражается с коэффициентом Ги=

(Z2—Zt)/(Z2+Zi),

что

показа

но ветвью

афи

а частично

проходит

во

вторую

среду

коэффи

циентом

Tu = 2Z2/(Z2+Zl),

чему

соот

ветствует

ветвь ахЬ2.

Оба

коэффициен

Среда 2.

та

определяются формулами Френеля

(6.14). Для

волны £ Г ,

падающей

на

ту же границу из второй

среды — из

узла

а2,

коэффициенты

отражения

прохождения

находятся

из

преды

дущих

заменой

индексов

сред

1+±2: r2Z={Zi—Zz)l(Zi+Z2)

для вет

ви

аф2

Ti2

= 2Zi/(Zl+

Z2)

для

ветви

а2Ь\.

Двойные

индексы следует

читать

Рис. 6.12

так:

«21»

—

«в среду

из

среды

/».

В узлах bi и Ъ2 объединяются две волны: отраженная в той же среде и пришедшая из другой среды.

Обратимся снова к рис. 6.11. Прохождение волной пластины

толщиной d в среде 2 описывается множителем e~~Kld , который и является передачей соответствующих ветвей: исходящей из Ь2 и входящей в а2. Граф для границы В аналогичен рассмотренному; нужно лишь учесть, что волна, падающая из среды 3 через узел аз, отсутствует. Теперь несложно изобразить граф, соответствую-

.Среда! А	CpedaZ	В CpedaZ
а,

Рис. 6.13

щий поставленной задаче (рис. 6ЛЗ). Здесь по аналогии с преды

дущим случаем Г'п	= (Z3—Z2)/(Z3+Z2)	и	T32=2Z3/(Z3+Z2).
Коэффициенты Г и Г определяются по графу рис. 6.13 и ф-ле
(6.35). Этот граф	имеет только один	контур	а2Ь2а'2 ь'2 а% еоответ-

1:15

ствующий волне, многократно4 отраженной от границ А и В; его

передача

=Г2 2е_ , с » *Т2 2е- ** <* . Для волны, прошедшей

из сре

ды / в среду 3, возможен только один

путь

aibza'2b3

передачей

Ti = T2ie~K*

dT32r касающийся

контура Li < ! ) .

Коэффициент

прозрач

ности пластины

находим по ф-ле (6.36)

т = s

ТпТзге~ку

J Z 2 Z 3

З б

Для

отраженной

волны

на

рис. 6.13

есть два пути: ai bi и

aib2a'2

ь'2а2Ьи

из

них только

первый

не

касается

контура

Передачи

этих

путей:

ї"і = Л і ; T%=TvA ~к'

аГ22е~к'

аТі2.

Следова

тельно, коэффициент отражения от пластины:

o u

r n

( l - r 2 2

^ e - ^ ) + T a r 1 2 r ; 2 e - 2 ~ « d

1 =

Z 2

(Z, -

Z,) ch% d +

( Z\

- ZXZ3)

sb72 d

Z 2 ( Z 3 + ZJ cb^d + ( Z\ + Z^s) sh72 d

Этим же методом

нетрудно

найти соотношения для Г и Г при

наклонном падении волны на пластину.

ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ

ПЛАСТИНА

Предположим,

что все среды

на

рис. 6.11

диэлектрики

с малыми

потерями,

так что затуханием

волны в пластине 2 можно

пренеб

речь. Тогда

везде

сопротивления

Z B вещественны,

а коэффициен

ты K2 —'\k2мнимы. В

формулах

(6.36)

и (6.37) следует

заменить

гиперболические функции тригонометрическими:

Т =

;

(6.38)

(Z3

Zj) cos ft2d +

і ( Z\ + ZXZ3)

sin £2 d

(Z, -

Z J cos M +

» ( Zf — Zt Z 3 ) sin k2d

(Z3

+ ZJ cos A2d +

і ( Z | + Z^s) sin k,d

Найдем условия

полного

прохождения

волны: Г — 0.

При

одинаковых

параметрах

сред

1 и

(Zi=iZ3)

в числителе

ф-лы (6.39) исчезает

первое

слагаемое, а выражение в скобках

второго 'слагаемого \Z\ —*Z\Z3)

не может быть равным нулю. Сле

довательно,

равенство

Г=0

выполнимо

лишь

при

условии

sink2d=0,

что требует

kzd^mn

(от=1, 2,

3...) или d=mX2/2.

Тол

щина пластины должна быть кратна полуволне во второй среде;

полуволновая	пластина в этом	случае	абсолютно	прозрачна.
При различных параметрах		сред	/ и 3 (Zi=^=Z3) первое ела

гаемое в числителе ф-лы (6.32) может быть равно нулю лишь при Мб

условии

cos& 2 d=0

или kzd=(2m—1)я/2;

одновременно положить

нулю sin& 2 d нельзя, поэтому

необходимо,

чтобы

Z | — Z i Z 3 = 0 ,

Итак, условия полного

прохождения:

d = (2m —

1)А,2/4 и

Z2 =

/Z^Z7.

(6.40)»

Пластина

должна

быть

четвертьволновой

(или

ее толщина;

должна

быть

равна

нечетному

числу четвертей длин волн в ней)<

иметь

волновое

сопротивление,

равное

среднему

геометрическо

му

от волновых

сопротивлений

разделяемых

сред.

Свойство абсо

лютной прозрачности четвертьволнового слоя (6.40)

используется

для

«просветления

опти

IN2

ки»,

т.

е.

создания

неот

ражающих

линз

призм

для

волн от

оптического

0,6

диапазона

до

дециметро

0,5

\\ />•/,

вого.

На рис.

6.14

представ

Oft

лены

графики

для

коэф

, /

фициента

отражения

по

0,2

мощности

\Г\2,

вычислен

ного

по

ф-ле

(6.39)

при

ГУ

следующих

параметрах

IJ2

Лг/і a:

идеальных

диэлектриков

єі = 1;

кривая

/ — е 2 = 2

Рис.

6.14

ез = 81;

кривая

2 — е2

= 4

є3 = 81; кривая

3—є2=9;

є 3 = 8 1 ; кривая

4 — « 2

= 4;

е 3

= 1 . Эти гра

фики подтверждают полученные

выше условия. Из рисунка видно,,

что полная

прозрачность (кривые 3

и 4)

достигается

лишь в срав

нительно узкой частотной полосе. Частотные характеристики, по добные кривой 4, позволяют измерять длину волны, если известны 82 и d, либо диэлектрическую проницаемость е2 пластины при из вестной частоте и толщине d. По этому же принципу можно по строить фильтр, пропускающий определенную полосу частот.

6.8. Электромагнитный экран

ОБЩИЙ СЛУЧАЙ

Электромагнитный экран представляет собой пластину из метал ла или другого поглощающего материала и используется для за щиты от высокочастотных полей. Обычно форма экрана довольносложная и определяется видом защищаемой аппаратуры или ли нии связи; однако криволинейные поверхности экрана можно поч ти всегда рассматривать как плоские, если выполняются условия, изложенные в 6.4.

Экран препятствует проникновению к данному устройству по сторонних высокочастотных полей, в то же время он подавляет излучение от устройства во внешнее пространство. Заземленная

ыт

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 4912 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ