Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Семенов Н.А. Техническая электродинамика учеб. пособие для электротехн. ин-тов связи

.pdf

Скачиваний:

295

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

23.29 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 4911 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Глава 6.

ВОЛНЫ У ГРАНИЦЫ РАЗДЕЛА СРЕД

6.1.Отражение и преломление плоских волн на плоской границе раздела

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Явления на границе раздела двух разнородных сред: отражение, преломление и поглощение электромагнитных волн — играют боль шую роль в электродинамике. В данной главе рассматривается простейший класс задач такого рода: падение плоской волны на плоскую границу раздела, которую можно считать бесконечно про тяженной (практически с размерами, намного превышающими К). Полученные результаты справедливы также для криволиней

ных границ и .неплоских волн, если их радиус кривизны								значитель
но больше длины волны.		Эти условия			относятся к		приближениям
геометрической	оптики	(см.	7.6)	и	позволяют		рассматривать
электромагнитные волны в виде лучей.
Характеристики явлений отражения и преломления можно раз
бить на два класса:
— угловые — законы		для углов отражения				и преломления, вы
		текающие		из	особенностей			волнового
		процесса и одинаковые для волн любой
		физической		природы;
		— динамические — законы для на
		пряженности			отраженной		и	преломлен
		ной волн, изменения фазы и поляриза
		ции,	зависящие от			конкретных			гранич
		ных	условий.
			ВЕКТОРНАЯ ЗАПИСЬ МНОЖИТЕЛЯ
			БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ
		Вначале покажем, что волна,						распростра
		няющаяся		в произвольном направлении
		вдоль оси		0 £	(рис. 6.1),		имеет		в точке
JM(JC, у, г) множитель бегущей волны				вида
		Р-*'е««><							(6.1)
где к = к е л = к ( с о з а е ж +cospe^-r-cosyezj — волновой вектор,									опреде
ляемый но ф-ле	(3.31); г = x e x		+ yey + zez		— радиус-вектор точки М;
а, р, у — углы	между ортом		е л и положительным				направлением

осей координат. Следовательно,
	к-г =	к (xcosa-4- у cos р" 4- г cos у) = к £,	(6-2)
так как	расстояние	от точки Р до начала координат	£ = . «cosa4 -
+ у. cos	р + 2 cos Y-
	УГЛОВЫЕ	ХАРАКТЕРИСТИКИ

Рассмотрим явления, возникающие при падении плоской однород ной волны на плоскую границу раздела (z=0) двух произвольных сред (рие.^6.2). Среды характеризуются коэффициентами распро странения «і, 2 и волновыми сопротивлениями Z„i,2 (см. параграф 3.5). Очевидно, что волновые векторы падающей, отраженной и


преломленной			волн		равны		соответственно к + = і к і Є л " ; к ~ = « і е 7 ;
к п = к 2 Є л		. Задан угол падения ср падающей волны. Определим								угол
отражения ф ' и угол преломле
ния	t> отраженного и				преломлен				Плоскость падения	!
ного	лучей.
Назовем			плоскостью			распро
странения		волны		плоскость,			про
ходящую		через		луч и	нормаль к			/<nZtt	\
граничной		поверхности.				Для	па			г;
дающей волны				она		именуется

плоскостью

падения

и на

рис.

6.2

"А

совмещена

xOz.

Векторы Е и Н всех трех волн

должны

удовлетворять

гранич

ным условиям

во

всех

точках

плоскости х = 0

и в любой

момент

времени. Поэтому

независимо

от

характера

граничных

условий

должны

совпадать

фазовые множители

этих

волн:

і «>+/—к+-г|2 = 0 =

і art

— к--г | z

= 0 = і со"/—к" • г l z =

(6.3)

При фиксированном г отсюда сразу

вытекает

равенство

частот

всех волн

(о+

= (о_ =соп . Проекция к+,

следовательно, и

проекции

к - и кп

на

ось у равны нулю. А это

означает,

что

все

волновые

векторы

лежат

плоскости

падения.

Поэтому их

проекции

на

ось z должны

быть равны между собой:

К\ sin ф =

кі sin ф г

к2 sin

(^-4)

что позволяет сформулировать следующие законы:

— закон

отражения:

угол

отражения

равен

углу

падения

Ф' = Ф ;

—закон преломления Снеллиуса: отношение синусов углов пре

ломления и падения равно отношению комплексных	коэффициен-
4*	99

тов распространения в первой и второй средах:

S i n »	£ _	«1 а +	і к і р	(6.5)
sin ф	К2	к2а +	' Ж 2Р

Из этого равенства следует, что в общем случае угол преломле ния •& может быть комплексным. Бели ограничиться рассмотрением диэлектриков с несущественными потерями, то Ка С Кр и закон Снеллиуса запишется в виде

		зіпф	Л 2р	£ 2	°ец1 п2
іде Я і = ї / Г « і Ць'		Л 2 =	V Є2 Li2	— коэффициенты		преломления		сред.
Для	диэлектриков		синусы углов		наклона	лучей	относительно
нормали	пропорциональны			фазовым	скоростям волн		в соответст
вующих	средах	и обратно		пропорциональны		их коэффициентам

преломления.

6.2. Формулы Френеля

КОЭФФИЦИЕНТЫ ОТРАЖЕНИЯ И ПРОХОЖДЕНИЯ

Рассмотрим динамические характеристики при падении линейно

поляризованной волны на границу раздела двух сред. Интенсивности отраженной и преломленной волн определим че

рез коэффициенты отражения и преломления. Назовем коэффици ентом отражения Г отношение комплексных значений напряжен-

ностей электрического поля отраженной Е~				и падающей		Е+	волн
на границе	раздела	(х = 0)	и коэффициентом	прохождения		во	вто
рую среду	из первой Т такое же отношение			для	преломленной
ЕП и падающей воле:
Г = Ё~/Ё+		(при	х = 0); Т= -Ёп1 Ё+	(при	х = 0).		(6.7)

Значения этих коэффициентов зависят от поляризации падаю щей волны относительно плоскости падения. Поэтому рассмотрим два случая, когда плоскость поляризации перпендикулярна и па раллельна плоскости падения волны.

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНАЯ ПОЛЯРИЗАЦИЯ

( Д э т о м случае вектор Е перпендикулярен плоскости падения и па раллелен границе раздела, т. е. плоскость поляризации волны пер пендикулярна плоскости падения. Запишем соотношения для век торов налряженностей полей следующим образом (рис. 6.3):

падающая волна:

Ё+ = Л е - ^ Ч ;	Н + = т " е - к + - ' ( е+ X е,) ,	(6.8)
'	^В1

до

отраженная волна:

Ё - = В е ~ к ~ Л
Н - = А е - к - ' ( е - х е „ ) ,	(6.9)
преломленная волна:
Ё п = С е - к П ' е , ;
Н " = / - е ^ ( с 5 Х в , ) ,	(6.10)
^В2

где е+ , е~, еJ — орты каждого из

Рис. 6.3

лучей.

Приравняем на граничной поверхности в соответствии с ф-лами (2.24) и (2.25) тангенциальные составляющие' векторов Е и Н. В

первой

среде

нужно

просуммировать

падающую

отраженную

волны:

Exi = £ + + £ - ;

Н*\ —H+cosy—#_cos

tp.

Из

выражений

(6.8) — (6.10)

и рис. 6.3 видно, что для выполнения

равенства

Е%\ =

= Е%2 необходимо,

чтобы А+В = С,

а для

равенства Я т 1

Нхії-

{•A/ZB l )cos(p—(fi/iZB i)cosq)= (C/ZB 2)cos 8. Из

ф-л (6.7)

следует,

что

Г = В/А и Т = С/А, тогда

1 + Г х

= = Г х и ( 1 — r j Z r f

cos ер =

T X Z B I C O S T > .

Решая эту систему уравнений, получаем формулы

Френеля

для

перпендикулярно поляризованных

волн:

Г і =

ZB 2

cos Ф — Z B 1

cos

sin (!} — ф)

ZB 2

cos ф + Z B 1

cos

sin (ft 4- ф)

(6.11)

2ZB2COsф

гзіпОсовф

7 \ . =

ZB 2

cos ф + Z B 1

cos

sin (ft +

ф)

За

положительное

направление

векторов

Е принят орт еу ,

сов

падающий с положительным направлением оси у. Следовательно,

если коэффициент		Гх	оказывается отрицательным,			вектор Е при
отражении поворачивается на 180° в пространстве,						что равнознач
но изменению фазы волны на 180°.
Выражения в		(6.11)	справа, отделенные		стрелкой {-*•), спра-
ведливы	для немагнитных сред, когда \x,\ = \iz и Z B i / Z B 2 = Yre2/e\. В
этом случае по закону			Снеллиуса
sin ft =	. / £і_ и		е2	cos ф — cos ft	sinftcos ф — cosftsin ф
		р - V&1 /бг			sinftcos ф + cosftsin ф '
sin			Y&i /е 2	cos ф + cos ft

аналогично упрощается выражение для Т±

ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ ПОЛЯРИЗАЦИЯ

В этом случае вектор Е лежит в плоскости падения, а вектор Н" перпендикулярен ей и параллелен границе раздела, т. е. плоскость поляризации волны параллельна плоскости ее падения. По анало гии с ф-лами (6.8) — (6.10) выписываем составляющие поля (рис. 6.4):

Ё + = Л е - к + г ( е + х е , ) ;	н + ^ - А е - ' + ' е ,
Ё - = - В е - к ~ - г ( е - Х е , ) ;	Н - = # е - к " - Ч		(6.12>
	2ві
	С	- к п -
	"Z~	Є

г	21£*
	і
	1
/у	і
/у	і	"'Л
	і
	cz
	\ґ	М
	* г	М
Аг	0

Ніп

№\

П '>/П9г

Приравнивая выражения для ка сательных составляющих на гра нице раздела сред, получаем:

A cos ср + В cos ф = С cos f};

AlZvl-BlZBl= CJZB2

или, переходя к коэффициентам отражения и прохождения, име ем:

(1 + Гц) cosqp = Гц cosr>;

(1 — Г ц ) Z b 2 = Гц ZB1.

Рис. 6.4				Из этой	системы уравнений
			получаем формулы Френеля для

параллельно поляризозанных			волн:
^11	ZB 2 cosft—ZB 1 cos<p			_ ^tg(ft — ф)
	Z B 2	cos 8- -f- Z B l cos ф		І й ( » + Ф )
						(6.13)
		2ZB 2 cos ф		2sin ft cos ф
г„
	Z B 2	COSft+ Z B 1	cos ф	sin (ft +	ф) cos (ft — ф)

За положительное направление векторов E выбрано то, которое имеет положительную составляющую Ег. Части выражений (6.13),

Отделенные СТреЛКОЙ ->-, СООТВеТСТВуЮТ Случаю Ц,1 = Ц2.

В общем случае поле падающей волны раскладывают на две составляющие, поляризованные перпендикулярно и параллельно плоскости падения, и затем отдельно находят те же составляющие отраженной и преломленной волн. Соотношения между этими со ставляющими, определяющие характер поляризации, в этом случае различны у падающей, отраженной и преломленной волн.

Из выражений (6.11) и (6.13) легко получить формулы для вол ны, падающей на Границу раздела сред нормально1 , положив ср = =f>=0:

Г 0 = Z b 2 ~ Z b 1 ; Г„ =	2 Z	b 2	.	(6.14)
^В2 + 2 В 1	Z B 2	-(- ZB ; 1

6.3.Отражение и преломление волн на границе идеальных диэлектриков

ПОЛНОЕ ПРОХОЖДЕНИЕ
Считаем, что потери в средах малы	( к а < С к в )		или вообще		отсут
ствуют, тогда справедливо равенство	(6.6)	для	определения		угла
преломления.
Покажем, что для волн с параллельной		поляризацией		сущест
вует угол падения, именуемый углом	Брюстера		Ф Б Р , при	котором

отраженная волна отсутствует, т. е. волна полностью переходах во

вторую

среду. Рассмотрим

немагнитные

диэлектрики

(ці^цг),

исключив тривиальный случай равенства параметров сред

(єі = єг).

Действительно, согласно

ф-лам

(6.13) Г g = 0

при •б, +ф=90°, так

как

тогда

tg(#+<р)->оо.

П о

закону

Снеллиуса отсюда

находим:

зіпф =

sirup

6 Л 5 )

в!

Sin &

Sin (90

— ф)

Т Б Р

тБр

Єй

Угол

Брюстера

можно найти

для

любого

соотношения

между

еі и Є2.

Из ф-л (6.11) вытекает, что для перпендикулярной

поляри

зации

(при ці = (яг)

угол

полного прохождения

между

разнородны

ми диэлектриками

не существует,

\Г±

\ всегда больше нуля. Угол

Брюстера

называют также углом полной

поляризации.

Если вол

на с произвольной поляризацией направлена на диэлектрическую пластину под углом <рвр, отраженный луч имеет только перпенди кулярную поляризацию, так как параллельно поляризованная ком понента полностью проходит через пластину.

Диэлектрические пластины и шайбы, служащие для гермети зации и крепления в различных устройствах, часто ставят под углом Брюстера. Тогда они полностью прозрачны для проходящих волн.

ПОЛНОЕ ОТРАЖЕНИЕ

Рассмотрим случай, когда волна проходит из среды оптически бо лее плотной в менее плотную (пі>п2) при малых потерях ,в обеих средах.

Из ф-лы (6.6) находим условие

sin •& = — sin(p<l,

(6.16)

когда угол Ф веществен. В этом случае вещественны также коэффи циенты отражения и прохождения в формулах Френеля.

Однако неравенство (6.16) нарушается при превышении				<р не
которого значения <рКр, называемого критическим			углом:
-^-sinq>K P = 1, т. е. ф к р = arc sin		=arcsm ] / ~ - ^ - •		(6.17)
Если угол падения больше критического, то sin •f>=!(rti/rt2)sin ф =
= sin ф/sin <ркР >1	и угол т> не может быть вещественным. Поэтому
найдем решение	по закону Снеллиуса	(6.6) в виде комплексного
угла ^ Ф ' - К в :
sin ft = sin (ft' + і в) = {tiling		sin ф >	1 или

sin ft' ch 9 + і cosft'sh 0 = (Иі//г2) sin ф.

Отсюда следует, что cosT}'sh9=0. Решение 0 = 0 приводит

к не

равенству

sin •в, / > 1,

что

невозможно. Следовательно,

т}' = я/2 и

угол д = я/2 + і9; тогда

snrr} =

ch9 =

-^-sinq> =

_?iIL5E_.

(6.18)

п2

sin фк р

cos ft ~ cos I —

і 01 = cos — ch 0—і sin — sh 0 = — і sh 0.

V 2

Определим коэффициенты отражения

(6.11)

и (6.13):

__ Z B 2

cos ф +

і ZB 1

sh 8

Z B 1 cos ф + і Z B 2 sh 8

^ j

Z B 2

COS ф — і Z B 1 sh 8

Z B 1 cos ф — і Z B 2

sh 8

Легко

видеть,

что модули

числителей

и знаменателей в обоих

случаях

равны

\TL

| = \Г ц | = 1,

значит

амплитуды

отражен

ной и падающей волн равны. Отраженная волна уносит всю энер

гию, принесенную падающей

волной.

Парадоксальным

кажется

факт, что подстановка

тех же выра

жений

в формулы

для коэффициента

прохождения

не приводит

Т±

= 0

и Т к = 0,

т. е. при полном отражении

волны

в среду

одновременно

создается поле

среде

2. Чтобы

это объяснить,

обратимся к пространственной

структуре

Е и Н прошедшей

волны

в соответствии с ф-лами (6.10)

и (6Л2), где к-г определяется

соот

ношением

(6.2). Д л я данного

случая

(a = ft; р = 90°; у = 90°—ft),

считая «2 = 1^2,

находим

- к п г

-iktixcofe+z

siifS)

- і М - l *she+zch0)

—ft, she*

- і ft, chG-г

= e

(6.20)

Второй

сомножитель этой формулы

соответствует волне во вто

рой

среде,

распространяющейся

параллельно

границе

вдоль оси

z с

фазовым

коэффициентом

&zch0>&2, т. е. с

меньшей

фазовой

скоростью У = У2 /СЬ0, чем у обычной волны во второй

среде. Из пер

вого сомножителя

следует,

что ее

амплитуда

экспоненциаль

но уменьшается по мере удаления

от границы

(вдоль оси х). Бы

строта

уменьшения

амплитуды

определяется

коэффициентом

k2 sh9 при аргументе

х. Итак, во второй

среде образовалась

волна

с плоским фазовым фронтом, перпендикулярным оси z, и меняю


щейся вдоль этого фронта амплитудой — плоская				неоднородная
волна.	Неоднородная волна с экспоненциально		убывающей ампли
тудой	при удалении от граничной поверхности		(как бы прилипаю
щ а я	к этой поверхности)	называется поверхностной.		Таким	обра
зом,	вещественная часть	угла f>, равная я/2, действительно,			пока

зывает направление распространения волны, в то время как вели

чина мнимой части 9 определяет быстроту убывания	ее	амплиту
ды вдоль оси х с коэффициентом £=&2Sh 0.
Экспоненциальное убывание амплитуды волны	не	связано с

потерями во второй среде (они здесь не учитываются), а опреде ляется тем, что в среднем энергия из первой среды во вторую не переходит. Следовательно, волна проникает во вторую среду, про ходит в ней какой-то путь и полностью возвращается обратно в первую среду. Более детальные исследования (см., например, [4]) показывают, что волна в среде 2 движется по эллиптическим тра екториям, проходя определенное расстояние вдоль оси z (рис. 6.5).

Таким образом, поверхностная			волна в среде 2 не существует
изолированно	от поля в	среде	1, представляющего собой сумму
падающей	и отраженной	волн. Возникновение поверхностной вол

ны можно рассматривать как проявление «инерционности» волны при полном отражении. Она не может сразу изменить направле

ние своего движения. При значениях	<р><рКр и не очень близких	к
<jpK p граничное расстояние волны в	среде 2 хо= 1/£= 1 / ( & 2 s n	9),

определяемое по убыванию поля в е раз, сравнимо с длиной волны.

Поэтому поверхностную		волну нельзя		непосредственно		наблюдать
в	оптическом диапазоне	и легко	экспериментально обнаружить
на	радиочастотах.
	6.4. Граничное условие Леонтовича
Назовем отношение тангенциальных составляющих Ех]						и Нх на
граничной поверхности 5		поверхностным			импедансом:
		Zs=	4 г	•		(6.21)

За исключением идеализированного случая бесконечной прово

димости одной из сред составляющие Ет и Ят				непрерывны				при
переходе через границу, 'следовательно, выражение				(6.21) в			равной,
степени относится к полям по	обе стороны	границы.
	Теперь перейдем к вы
	воду	граничного условия.
	Предположим,					что	опти
	ческая плотность						среды 2
	намного			больше,			чем у
	среды		1: /срг^жрі и в каж
	дой	среде			К о ^ к р ,			т. е.
	\| к21 >		\| Кі \|.		Тогда,			сог
	ласно ф-лам (6.5) угол
	преломления				весьма			мал:
	f)->-0.		При		любом			угле
	падения			волна		во	второй
	среде		распространяется
практически по нормали п к границе раздела			(рис. 6.6). Следова
тельно, в этой среде векторы напряженностей			поля		параллельны
границе, а соотношение между	ними записывается в				виде		(3.34):
E2 = Z B 2 ( H 2 X n ) .
Это соотношение справедливо для любой точки во второй сре
де, в том числе и для границы	раздела. Так как нормальные							со
ставляющие поля во второй среде практически			отсутствуют,				а тан

генциальные непрерывны при переходе через границу, можно за

менить Ег на Е2 т = Еіт, а Н 2			на Н 2 т — Ни .
В этом случае	из ф-лы (6.21) вытекает, что Zs=Zh2.					Теперь за
пишем окончательно соотношения для касательных						составляющих
поля в первой среде при выполнении условия					\| Кг \ ^> \ кі \:
	Ен	= Zs	(Н„ X n ) ;	Zs =	Z b 2 .	(6.22)
Поверхностный	импеданс		на границе	раздела с оптически очень
плотной средой равен		ее волновому сопротивлению.				Соотношение

(6.22) было выведено М. Д. Леонтовичем при исследовании распро

странения радиоволн. Оно называется приближенным		граничным
условием Леонтовича1).	Использование этого условия	значитель

но облегчает анализ волн в тех случаях, когда оптические плотно сти сред, в которых они распространяются, существенно различны

(например, воздух и металл). При этом не требуется			определять
электромагнитное	поле в оптически плотной среде. Решение зада
чи для двухслойной системы сводится к задаче для одной				среды с
заданным импедансом Zs на ее границе.
В отличие от	граничных	условий, полученных в *2.7,		условие
Леонтовича является приближенным, так как если <рфО,			угол пре
ломления все же	отличен от	нуля и во второй среде		имеются,

*) Его называют также граничным условием Щ у к и н а — Р ы т о в а — Л е о н т о в и ч а .

кроме касательных, нормальные составляющие поля. В большин стве практических задач погрешность при использовании ф-лы (6.22) вполне допустима. Условие Леонтовича примерно с той же погрешностью применимо для криволинейных фронтов волны и криволинейных границ (сферических, цилиндрических), если их ра диусы кривизны намного превышают длину волны во второй среде. Оно справедливо также и для неоднородных сред, если изменение параметров на длине л2 невелико.

6.5. Скин-эффект у плоской границы проводника

НАПРЯЖЕННОСТИ ПОЛЯ

Хорошие проводники характеризуются весьма малыми значениями

модуля	волнового сопротивления				(порядка			долей ома) . Если вол
на падает из диэлектрика			на проводник,					то ф-лы (6.11) и (6.13)
МОЖНО	ЗНаЧИТеЛЬНО	упрОСТИТЬ			С уЧеТОМ			ТОГО, ЧТО \iZB2\/\ZBi\	=
= Y мАоє0і/<'а2<С 1 и		cos'fl'wl. Тогда					для перпендикулярной		поля
ризации
	Г Х =	— 1 + ^ c o s < p ;					T L = - ^ C O S ( P		(6.23)
			\|ZB i					Z B 1
и для параллельной
	Г* = - 1 +		7 2 2	в г		;	7 - , =	- ^ * - .	(6.24)
			zB 1	cos ф				Z B 1

В обоих случаях коэффициент отражения почти не отличается от —-1, следовательно, амплитуда отраженной волны по величине рав

на

амплитуде

падающей,

но вектор EJt

повернут

относительно

ЕЙ

на 180° (рис. 6.6).

Результирующая

тангенциальная

составляющая

Е-

на

поверх

ности проводника

мала

по сравнению

с Е+

; их отношение

равно

коэффициенту прохождения.

Результирующая

касательная составляющая

магнитного

поля

Нт

в два раза

больше,

чем у падающей

волны,

так как направле

ния Hit и НІЇ

совпадают.

ТОЛЩИНА СКИН-СЛОЯ

Итак, напряженности

поля

на границе с проводником

определены.

Известно также, что волна в проводнике

распространяется по нор

мали к его поверхности и

является

плоской

однородной.

Этот

случай был уже рассмотрен

в 3.7 для неограниченного

пространст

ва. Используем

результаты

этого

параграфа,

считая плоскость

2 = 0 границей между диэлектриком и проводником. Согласно ф лам

{3.45) и 1(3.46),	к = '{11 -И)/А,	а составляющие	Ег и Н2 в проводнике
с удалением от	его поверхности весьма быстро убывают по экспо
ненциальному закону е - 2 / л		e _ i Z / , A . Мерой	быстроты этого убы-

107

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 4911 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ