Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Семенов Н.А. Техническая электродинамика учеб. пособие для электротехн. ин-тов связи

.pdf

Скачиваний:

295

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

23.29 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 4910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

ПОЛЕ ДВУХПРОВОДНОЙ л и н и и

Пусть два параллельных цилиндра радиуса а, расстояние между осями которых равно 2 d, имеют потенциалы соответственно фі и

—01. Определим поле этой системы и емкость, приходящуюся на единицу длины.

Очевидно, что заданная система имеет в пространстве вне ци линдров такое ж е поле, как две заряженные нити с равными раз ноименными зарядами, так как поверхности цилиндров могут быть совмещены с эквипотенциальными поверхностями поля нитей. Ли нейные плотности зарядов находятся подстановкой ф-л (5.19) в

(5.18):

~~ In [d/a +

V(d/a)2

— l] _

Arch (d/a)

отсюда емкость, приходящаяся на единицу длины

системы;

Сг

Ша

ЛЕ/т

(5.20)

2ф1

In [d/a + V(d/a)2

— 1 ]

Arch (d/a)

Если

2d>l0a,

то пользуются

приближенной

формулой.

Пре

небрегая

под квадратным

корнем единицей по сравнению, с

(d/a)2,

получаем

с погрешностью менее

1 %:

Сх =

ln(2d/a)

•

(5.21)

Е а

Напряженность

поля

определим

для

произвольной

точки

М(а,

ср) на поверхности

левого

провода: Е =

—gradgb = —Щ- е г

L _ A i n I i - e r .

от

2леа

дг

Гх

Выразим

гі и г2 в цилиндрической

системе координат

с центром

точке

ОІ и

после

дифференцирования

подставим

г = а и Ь —

= У

d2—a2:

2 - І Ці-5- =

дг

hi А

—

{\n[r2

+ (d + bf — 2r(d + 6)cos<p] —

дг

r 2

дг

_ m [ r * + ( r f _ 6 ) 2 _ 2 r ( d - & ) c o s < p ] } =

— 2 ; ~ 2 ( d + f e ) ; o s < p

4 —

Y /

(d +

b)2 — 2r (d + b)cos(f

2r — 2 (d — 6) cos ф

a — (d+b) cos <p

r2 + (d — b)2 — 2r (d — 6) cos ф

(d + 6) (d — a cos ф)

а — (d — 6) cos ф

—26

- 2Уй* — а*

(d — b) (d — a cos ф)

a(d —a cos ф)

a (d — a cos ф)

Теперь найдем напряженность электрического поля и соответ ствующую ей плотность электрического заряда [ф-ла (5.Ы)] с уче том того, что е г = — п :

э	2я a a — a cos ф	'
З а р яд и поле второго	проводника симметричны	найденным.

Поверхностный заряд распределен по окружности проводящего ци

линдра неравномерно. Вследствие эффекта близости		(электроста
тической индукции) плотность заряда	и напряженность	поля	каж
дого из проводов больше со стороны,	обращенной к другому		про
воду.

5.4. Поле постоянных токов

Поле постоянных токов определяется величиной и направлением вектора J в каждой точке пространства. Обычно структуру токов приходится рассчитывать для среды, обладающей сравнительно небольшой проводимостью а, в которую помещены электроды про извольной формы из металла или другого материала с высокой проводимостью о м ^ > о . К такой задаче сводится, например, расчет заземлений антенн, электрических сетей и аппаратуры.

Поле постоянных токов неизменно, если потенциалы электро дов поддерживаюся постоянными за счет стороннего источника энергии; в этом случае не меняется и распределение зарядов. Фи зически очевидно, что такая задача -близка к электростатической. Если среда, в которой создано электрическое поле, обладает неко торой проводимостью, то токи протекают вдоль линий напряжен ности электрического поля J=crE. Их величину и направление не трудно определить.

Докажем, что в области, не содержащей свободных зарядов и

сторонних токов, в случае Ом^о,

существует аналогия

между по

лем постоянных токов и электростатическим —

электростатическая

аналогия,

которая позволяет

применять

для решения

обеих

задач

одинаковые методы. Из ф-лы

(5.1) при Е с т = 0 и уравнения

непре

рывности

(2.10)

при dp/dt = 0 получаем

уравнения

поля

токов (ле

вый столбец). Выпишем в правый столбец уравнения

электроста

тики (5.2)

при р = 0:

rotE

= 0

rotE = 0;

div J =

divD =

(5.23)

J =

о E;

D =

га

Эти системы уравнений аналогичны при парном

соответствии

величин J X D и о ^ Є а .

Как электрическое поле, так и поле

токов

потенциально.

Граничные условия

для вектора D в отсутствие поверхностных

зарядов

[ф-лы

(2.22),

(2.26)]

D2n = Din;

D2JDix

= є а 2 / є 0 і в силу

установленного

соответствия

справедливы для вектора

с заменой

еа на о:

= Jun,

/ / «

а/ом «

т. е. Л

= 0.

(5.24)


	Нормальные	составляющие		плотностей тока в проводящей		сре
де	и электроде	равны между		собой; тангенциальная	составляющая
J-t	на границе	электрода	практически отсутствует.		Полученные

траничные условия аналогичны граничным условиям электростати

ки {ф-лы (5.11а)] для вектора			D: Dn = — а э (нормаль п			направлена
из диэлектрика в проводник)			= 0 с заменой		— о э	на JMn.	Сле
довательно, полный заряд проводника в электростатической							зада
че Q = J D-dS	= j a:)dS заменяется для			поля токов на полный			ток,
s	s	/ В Ы т = —/ = —jJ-dS = — J				JndS.
вытекающий	из электрода
				s	s
Полная проводимость		среды между		двумя	электродами		G =

=—ф21. Эта формула аналогична формуле для электриче

ской емкости С (5.12). Следовательно, ряд соответствий между

полем постоянных токов и электростатическим		можно продолжить.
Д л я	систем с одинаковой геометрией установлены следующие пра
вила	замен:
	га^а; Q?;/B b l T ; C%G.	(5.25)

Пользуясь полученными соотношениями, легко определить про водимость утечки Gi на единицу длины коаксиальной и двухпро водной линий, заменив в ф-лах (5.17) и (5.20) е а на о. Электро статическая аналогия позволяет также экспериментально опреде лять сложные электростатические поля с помощью их моделирова ния в ванне со слабопроводящей жидкостью.

5.5. Постоянное электромагнитное поле

ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ

В соответствии с полной системой ур-ний (5.1) стационарное поле содержит электрическую и магнитную составляющие. Первая из них отвечает левому столбцу ур-ний в (5Л), полностью совпадаю

щих	с уравнениями	электростатики	(5.2).	Отсюда можно заклю
чить,	что постоянное	электрическое	поле	потенциально.

Выясним, соблюдаются ли в данном случае граничные условия (5.11) на границе раздела диэлектрика и проводника. Обычно электрические токи создаются в проводниках, поперечные размеры которых малы по сравнению с их длиной, вследствие этого плот ность постоянного тока одинакова по всему сечению. Поле описы вается системой ур-ний (5.1) и возникает за счет поля Е с т , которое существует в ограниченной области, принадлежащей источнику (рис. 5.6):

. . Э с т = J	EC T -dl = / E - d l + f (E^ + E)-^!
где iRi=\Li/'(aiSi)	и #2=£2/(0252) — сопротивления	участков цепи.
"Ток J —аЕ протекает вдоль оси проводника, поэтому		напряженность


электрического	поля внутри	проводника		постоянна	по	сечению	и
имеет только	касательную	к его	поверхности		составляющую.
Если внутри проводника Еп2		= 0, то	согласно ф-ле		(2.20)	у его	по
верхности Е«п = —Сэ/е0 , что'соответствует				ф-ле (5.11а).

	Ряс 5.6
В диэлектрике у границы проводника			преобладает,	наоборот,
нормальная составляющая Еп. Пусть,		например, в сечении			mm'
цепи напряжение между проводами 0=6			В, ток 1=1 А,	диаметр
провода	2 а = 1 мм, расстояние между	осями проводов 2 d=\Q			мм;
провода	медные 0 = 5 8 М С м / м . Используем		ф-лу (5.20) для опреде
ления т=neoU/ln(2d/a) и пренебрежем		неравномерностью распре

деления заряда по периметру проводника вследствие эффекта бли

зости. Тогда

£ и

= о7єо=т/(ео2ла) = £/Д2я1п(2с?/а)] = 2-103

В/м.

Каса

тельная

составляющая

электрического

поля

Ех

= / / а я а 2

« 2,3 X

X Ю -

В/м. Отношение нормальной и тангенциальной

составляющих

En/Ех

« 1 0 5 .

Это позволяет пренебречь в диэлектрике

Ех

по

срав

нению

Еп

считать

Ех =0. Таким образом, условия

(5.1lla), а

следовательно, и (5.116) справедливы. Поэтому постоянное

элект

рическое

поле

идентично

электростатическому

при

одинаковом

распределении

зарядов

или

потенциалов

в системе

проводников.

Поле

в диэлектрике при протекании в проводниках

стационарных

токов практически неотличимо от электростатического

поля

при

том же

распределении

потенциалов в системе1 ).

МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ПОСТОЯННЫХ ТОКОВ

Магнитное поле определяется правым столбцом

системы

(5.1):

rotH =

divB =

В = ц а Н .

(5.26)

Оно

соленоидально

(div

В=0),

и его линии

непрерывны.

Для

ряда

симметричных систем (например, прямой ток) магнитное по-

Поле проводников с

большим падением

напряжения на

единицу

длины

(с высоким погонным сопротивлением, смотанных в катушку, многократно изо гнутых) может существенно отличаться от электростатического, так как усло вие одинакового распределения потенциалов не выполняется.

ле вычисляется

при

помощи

закона

Ампера

(2.4): ф

H-d\

вектор

= fj - dS = 7. Общий

же метод

решения

требует

введения

ов

ного потенциала

магнитного

поля

(с

размерностью Т - м):

B = fxa H = rotA.

(5.27)

Условие

соленоидальности

поля

вектора

выполняется,

так

как всегда

div rot А =

Дальнейшие преобразования справедливы для линейной одно

родной и изотропной

среды. Тогда \ха

скалярно и постоянно1 ). Под-

стазим ф-лу (5.27)

в первое

из

равенств (5.26): rot rot A = jxaJ и

используем тождество (3.17); тогда V2 A—grad

div А = —p,aJ.

Для

определения

любого

векторного

поля

необходимо

знать

как его

ротор,

так и дивергенцию. Если

rot А

известен [по

(5.27)],

то дивергенцию можно задать произвольно. В данном случае удоб

но принять	div А = 0 . Этот выбор называют			кулоновой	калибров
кой. Теперь уравнение		для	векторного потенциала		запишется	в
знакомой уже форме уравнения Пауссона:
		v 2 A	= - f x a J .		(5.28)
В отличие от ф-лы		(5.8)	здесь оператор	Лапласа	применен	к
вектору А, поэтому ур-ние 1 (5.28) является уравнением					Пуассона	в
векторной	форме.
Разложив ур-ние (5.28) по декартовым составляющим х, у,						г,
найдем три	юкалярных	уравнения Пуассона'		V M X ,у , z =—\ia Jx,v,		z.

Их решения запишем в форме (5.10), заменив ір/є0 на \ijx,v,z. Объ единив затем координатные составляющие вектора А, получим ре шение ур-ния (5.28):

	A ( M ) =	J ^	f l (	^ L	,	(5.29)
		4л	vJ	г
где	г — расстояние от точки М до			N;	V охватывает все	области,
где	плотность токов отлична	от	нуля.

Если ток протекает по проводнику, диаметр которого мал по срав

нению	с расстоянием г в ф-ле (5.29),			ток	можно считать линей
ным, протекающим по тонкой нити. Тогда в результате							интегриро
вания	J(iN)dSdl	по поперечному	сечению			провода	получаем
IdlN, и формула для векторного потенциала					принимает		вид:
		A ( M ) = =	^ j — •					<5 -3 °)
			с	г
где d\N	— элемент контура с током.				магнитное		поле Н	или
По	известному векторному потенциалу
В определяется		с помощью ф-лы	(5.27). Если			выполнить это		пре-

*) В этом случае вектор А можно ввести также соотношением H = rot А.

образование в общем виде, подставив ф-лу (5.30) в (5 27), то после взятия ротора от подынтегрального выражения находим:

Н(М) = - ^ - j"-L(er XdlN),	(5.31)
с

где орт ег направлен из точки М в точку N на контуре с током. • Формула (5.31) выражает в общем виде закон Био-Савара.

В зависимости от характера задачи для вычисления магнитного поля, созданного постоянными токами, выбирают одно из выше приведенных соотношений.

И Н Д У К Т И В Н О С Т Ь и В З А И М Н А Я И Н Д У К Т И В Н О С Т Ь

Рассмотрим два контура С4 <и С 2 с токами h и 1% каждый из кон туров создает в окружающем пространстве магнитное поле. Отно

шение собственного		магнитного			потока,		пронизывающего		контур,
к току в этом контуре			называется			собственной		индуктивностью
контура:
	£ a =	^	i=	J - f B 1 . d S ,			L 2 = ^ .		(5.32)
		' I		' l J			'2
				St
Отношение	магнитного			потока		Фіг, пронизывающего контур Сі,
к вызвавшему его току в контуре						С2 , называется взаимной			индук
тивностью МІЧ	между	цепями /			и 2:
	У И 1	2 = ^ =		J - f B a		. d S ,	М 2 1 = ^ .		(5.33)
				s,

Можно доказать, что взаимные индуктивности равны между собой. Сосредоточенные параметры L и М определяют связь электрических цепей с созданным ими в окружающем пространстве магнитным полем и рассчитываются методами теории стационар ных полей.

Э Н Е Р Г И Я М А Г Н И Т Н О Г О П О Л Я

Магнитное поле системы токов J, распределенных в конечном объеме V, занимает все пространство. Плотность его энергии wM в каждой точке определена ф-лой (4.1). Поэтому полная энергия магнитного поля

WM = - і - j * Н • В dV,

(5.34)

где V<o — все пространство.

Энергию магнитного поля можно выразить также в виде интег рала, содержащего плотность токов, взятого по объему V, где эти

токи существуют; для объемных и линейных токов:

(5.35)

Формулы (5.35) получаются в результате ряда преобразований из (5.34). Из (5.35) с помощью ф-л (5.30), (5.32), (5.33) найдем соотношение для полной энергии магнитного поля двух контуров, выраженной через их сосредоточенные параметры:

(5.36)

Полная энергия складывается из энергии собственных магнит ных полей первого и второго контуров и энергии взаимодействия этих контуров. Формула (5.36) часто используется для расчета па раметров L и М.

МАГНИТОСТАТИКА

В той области, где плотность электрических токов равна нулю,

магнитное	поле описывается ур-ниями (5.26) при / = 0,		называемы
ми в этом	случае уравнениями	магнитостатики. Эти	уравнения

идентичны уравнениям электростатического поля (5.2) для обла

стей, где р = 0.	Если, кроме того, рассматриваемая область также и
не охватывает	токов, магнитное поле внутри такой области потен

циально, поскольку	циркуляция вектора Н по любому замкнутому
контуру тогда равна	нулю. В этом случае удобно ввести скалярный
магнитостатический	потенциал фм,	соотношением, аналогичным
(5.3): Н = —grad фм.Этот потенциал		подчиняется уравнению Лап
ласа V2 c#M = 0.

Аналогия магнитостатики с электростатикой становится почти полной после введения фиктивных магнитных зарядов, эквивалент ных кольцевым электрическим токам и постоянным магнитам. (известно, что реальных магнитных зарядов в природе не сущест вует). Тогда можно записать: div D = pM и доказать справедливость уравнения Пуассона для скалярного магнито статического потен циала V 2 0 M = —рм /|ха . Все эти допущения позволяют применить к расчету магнитных полей хорошо разработанные методы электро статики. Например, магнитное поле прямолинейного постоянного магнита или электромагнита во внешнем пространстве рассчиты вается как поле двух разноименных магнитных зарядов, помещен ных на его концах.

Магнитные заряды, эквивалентные замкнутым токам, вводятся следующим образом. Если размеры1 витка с током малы по срав

нению с расстоянием до точки наблюдения, он называется		магнит
ным диполем. Его магнитный момент р м	определяется	ф-лой
(1.11). По аналогии с электрическим диполем	представим	магнит

ный диполь, как систему разноименных магнитных зарядов. При равняв оба выражения для магнитного момента, получаем р м =

= QM\/\Xa — INSnl). Аналогия электростатических и машитостати-

ческих задач позволяет решать задачи маинитоетатики, заменяя следующим образом величины в известных результатах для элект ростатического поля:

Е - * Н ; D - * B ;	ea-+iia; Q -*• QM;
р^рм. ф^ф«.	р э ^ ц в Р м .

Таким способом, например, легко решается задача 5.11 о поле маг нитного диполя на основе результатов задачи 5.1 для электричес кого диполя.

ЗАДАЧИ

5.1. Найти

поле Е и ф электрического диполя

моментом

э = <2Ь распо

ложенного в начале сферической системы координат, причем рэ]|е2.

Решение.

Применим метод

суперпозиции,

представив

поле электростатичес

кого потенциала диполя как сумму

полей

(5.7)

точечных зарядов

Q и —Q:

Ф(г, 1 9')=0/(4neo)](Q/ri—Q/r

2 ), где r i и г2 — расстояния

от каждого

из заря

дов до точки наблюдения М

(г, #). По определению диполя г^>1, поэтому век

торы г, г4 и г2

можно считать

параллельными; тогда

их

величины

связаны

соотношениями

гі=г—і(//й)

cos

Гг=г+

(//2)cos

Отсюда

1//Ч— 1/г2 =

= /aos#/{r2—1(//2)2 cos2 •&] ml cos Ф/r2.

Окончательно,

потенциал

электрического,

диполя в точке М (г, #) равен

ф (г, f>) =Q / cos ^/(АпваГ2)

= р э ег /(4яєа г2 ).

Очевидно,

что потенциал

диполя уменьшается

с расстоянием

гораздо бы

стрее, чем потенциал одиночного заряда, а его величина зависит

также от по

лярного угла

0. Для определения вектора

Е используем

формулу

для

градиента

в сферических координатах [5]:

дф

grad ф = —

ег

—

—— е ф +

—

ед .

дг

rsinO

d(f

д»

Подставляя

сюда выражение для ф, получаем

Е= — ^ — (2cos»e r + s i n » e a ).

5.2.Определить емкость и электрическую энергию поля уединенного шара радиуса а— 1 см, находящегося в вакууме. Потенциал шара 0 = 2000 В. Ответ: С«1, 1 пФ; W»=2,2 мкДж.

5.3.Определить емкость и электрическую энергию поля плоского конден сатора с площадью пластин S=100 см2 и расстоянием между ними d=\ мм, заполненного диэлектриком с е = 3 и заряженного до напряжения (7=500 В. Искажением поля на краях конденсатора пренебречь.

Ответ: C = ea S/£( = 265 пФ; W3 = 33,l мкДж.
5.4. Построить график зависимости плотности энергии от расстояния в поле
заряженного шара и коаксиальной линии.
5.5. Определить силу притяжения между зарядом Q=—10 мкКл и беско
нечной проводящей		плоскостью,	находящейся		на	расстоянии 1 м	от	заряда.
Ответ: F=0,225 Н.
5.6. Найти	проводимость утечки на единицу				длины коаксиального			кабеля
(рис. 5.4) при а = 2 мм; 6 = 5 мм; а=11 пОм/м.
Ответ: Gi = 6,85 пСм/м.			заземления, выполненного в виде				полусферы
5.7. Рассчитать		сопротивление	заземления, выполненного в виде				полусферы
радиуса а=\\ м, центр которой находится				на уровне		поверхности Земли		с про
водимостью а = 1 0 мСм/м.
Ответ: /?з= 15,9 Ом.
') Данное	равенство можно		доказать	способом,		аналогичным	примененно
му в п. 7.5.

5.8. Рассчитать сопротивление заземления Rs,

его

потенциал

фо

макси

мальное

напряжение

шага

—

разность

потенциалов

между

двумя

точками

на поверхности

земли,

отстоящими

друг

от

друга

на 0,8

направлении

grad ф.

Заземление

выполнено

в виде шроводящей юферы ра

диуса

а = 1

їм,

закопанной в

землю

на

глубину

А=2

(рис. 5.7). Ток через заземле

ние

равен

/ = 1

А.

Проводи

мость

почвы

а в =0,1

мСм/м

(сухая

почва).

Так

как

воз

Решение.

дух

практически

не

проводит

электричества,

«а

границе

ним

Jn\s=0.

Электростатиче

ский

аналог

должен

удовлет

ворять

условию

D n

| s = 0 ,

т. е.

поле

касательно

поверхности

S. (Применим к решению этой

электростатической

задачи

ме

тод

изображений.

Из

сообра

жений

симметрии

очевидно,

•что

искомое

иоле

создается

системой

равных,

одноименных

симметричных

относительно

зарядов;

предположим,

что

заряды

могут

быть

точечными

расположены

«а

расстоянии

Я = А + б

от

Тогда

ф(М)

={Q/(4ree„)] (І/Гі+И/гг).

Поле,

.рассчитанное

по

этой

формуле

Рис.

5.7

(рис. 6.7), .имеет вблизи заря

дов эквипотенциальные поверх

/ і / а ^ 2

не очень

.сильно

отличающиеся

от

ности каплевидной

формы, при

.сферы. Считая

приближенно

эквипо

тенциальную поверхность фо сферической, совместим

ее с заданной сферой в

диа

метрально противоположных точках С, и Сг. Тогда для точки

Сі: фо={<2/4яєа]Х

Х(1/(а+б) +,1/(2/і+6—а)],

для

точки

С2 :

фо=№Н4л£а)]ЬЩа—

б) +

+ 1/(2/г+6+а)]. Приравнивая эти потенциалы, получаем смещение заряда-изоб

ражения

из центра сферы:

о =

[(a* -6jj) а] / [(2h + д„)2

а2 ] =

0,064 м,

где бо — смещение в нулевом приближении: б0

= а3 /(4Л2 —а2 ) =0,067 м.

Введем

радиус

эквивалентного

сферического

заземления

безграничной

среде

формулой

0о =

<2/(4яеа

аэ);

очевидно,

аэ

=1[1/(а + 6) + 1/(2/і+о—а)]-1

= 0,79

м. Найдем

теперь

сопротивление

заземления

Яз = фо/1,

используя

соотношения

электростатической

аналогии

(5.25):

i?3

<^o/Q= (4лхтп

а э

) -

= 10,1 Ом. Потенциал заземления

фа = 1 R3—

10,1 В.

поверхности

земли

при

Определим

теперь

распределение

потенциала

по

Ті = Гг~

]^Н2

+ х2:

ф = 2фо аэ //ч.

Касательная

составляющая

напряженности

электрического

поля:

Е%

=—йф/с1х = 2фо аэ

х/г^;

его

производная

dEx

ldx=

— 2фо аэ (#2 —х2 )/г^

равна

нулю при

x = #

2,06

м. Поместив

эту

точку

в сере

дину

шага,

определим

напряжение

шага

между точками

х А

1,66

хв

—

= 2,46 м: иш

= фА— ф в = 1 , 1 5 В.

L (

единицы длины коаксиального

кабеля

5.9. Определить индуктивность

(рис.

5.4)

при

постоянном

токе. Проводники

изготовлены

из

материала

[ха п ;

пространство

между

ними

заполнено диэлектриком с параметрами

е а

ца-

Указание. Рекомендуется	вычислить запас магнитной энергий в проводниках
и диэлектрике и использовать ф-лу (5.36).
Ответ:
1		V-auV b\
2 л	а	ъх — ь*
		ъх — ь*

5.10. Определить индуктивность катушки, состоящей из N витков и намотан- ной на тороидальный сердечник из магнитного материала с Ці >1 . Размеры тора: а — внутренний радиус; Ь — внешний радиус; А — высота.

Ответ: L =	2л	In-
	2л
5.11. Найти магнитное поле			А и	Н магнитного		диполя (кольцевого	витка
с током), обладающего магнитным моментом					р м '(1.11) и помещенвого в		начало
сферической системы координат			(ры\\ег).
Ответ:			Н = •	Рм	(2 cos 9er	- f sin & е$
А =		Р м Х Є г	Н = •	Рм	(2 cos 9er	- f sin & е$
	4я	Г2		4яг*

4—2

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 4910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ