книги из ГПНТБ / Сахарников Н.А. Высшая математика учебник

1.

А л е к с а н д р о в

П. С.

Лекции

по аналитической геометрии.

М., «Паука», 1968. 911 с. с ил.

2.

Б а н а X

С.

Дифференциальное

и интегральное исчисление. М.,

«Наука», 1966. 436 с. с ил.

3.

Б у д а к

Б.

М.

и

Ф о м и н

С.

В.

Кратные интегралы и ряды.

М., «Наука», 1965. 607 с.

с ил.

— однополостной

174

------- существования предела 24, 26,

Главная часть бесконечно малой 85

34,

35, 37

194

— — сходимости

несобственного

Годограф

вектора

301

интеграла 258,

260

Градиент

299, 301,

340

— — — ряда

351—363

Граница

области

180

-------экстремума

70, 71, 93, 202

График функции

13

Дробная

рациональная

функция

Диаметр

области

268

Дивергенция вектора 328, 329, 341

Задача Коши 388, 390, 395

Директрисы кривых 142

Закон

больших

чисел

439

Дисперсия 429,

437

84, 90

— действующих

масс 225

427

Дифференциал

функции

— распределения

вероятностей

— независимой переменной 84

— — — биномиальный

432

— полный 193,

200

— — — нормальный 436, 438

— частный

193

— Ньютона 388

Дифференциальная функция распре­

Интеграл двойной 269,

271

деления

435

уравнение

30,

Дифференциальное

— зависящий от параметра 262, 265

225—227,

386

— криволинейный 304,

306

— — Бесселя 386, 414

— неопределенный 212

259

— — в полных дифференциалах 394

— несобственный

255,

— — гармонического

осциллятора

— определенный

229, 230

404

(уравнение

тепло­

— поверхностный 321, 322, 323

— — диффузии

— повторный 265, 275, 287

проводности)

344

понижение по­

— с переменным верхним пределом

— — допускающее

239

286

рядка

396, 397

— тройной

279

------- Лапласа 343, 345, 386

— Эйлера — Пуассона

— — линейное

386

Интегральная кривая 387

— — — однородное 398, 403

— сумма 230, 271, 286

433

— — — неоднородное 406, 407

— функция

распределения

— — — первого порядка 393

Интегрирование функций 211, 218—

— — — порядка п 397

225,

374

уравнений

— — обыкновенное

386

перемен­

— дифференциальных

—

— с

разделяющимися

387

220

—

ными

392

— иррациональных выражений

— с частными производными 386

— неравенства

почленное 237

— — Эйри

413

функции

49

— по частям 216, 241

дро­

Дифференцирование

— правильных

рациональных

— неявной функции 189, 190

бей

220

дробей

219

— обратной

функции 53

— простейших

— сложной функции 52, 187, 188

— путем замены переменных 215,

— степенного ряда

369

параметри­

242,

284,

293

функций

218

— функции,

заданной

— рациональных

чески

53

ряда

366

— степенных рядов 369

выражений

— функционального

— тригонометрических

Длина вектора

151

222

— дуги

250

81

— функциональных рядов почленное

— отрезка касательной

365

— — нормали 81

Интервал сходимости степенного ря­

Достаточное

условие 66

да 368

Конус

второго

порядка

178

Многочлен — см. Полипом

Корень из комплексного числа 97

Множества

эквивалентные 6

— многочлена

кратный

99

Множество

5,

197

— — простой

99

— пустое 5

185

— уравнения

81

— ограниченное

— функции 59, 81

151

— открытое

180

Координаты вектора

— связное

180

— точки ПО

114,

149

— счетное 7

7

— — декартовы 112,

— упорядоченное

— — криволинейные 281, 289

Модуль вектора 110

9

— — полярные

116

— вещественного

числа

— — сферические

161

— комплексного числа

94

— — цилиндрические

160

— перехода

М 30

294

— центра тяжести 253, 254, 285, 294

Моменты инерции 285,

Координатная

линия

280,

289

— статические 252—254, 285, 294

— поверхность

289

290

Монотонная

переменная

33

Коэффициенты

Ламе

— Тейлора 370

Набла-вектор

339

оси 112

— Фурье

377

(и

выпуклая) 73

Направленный

отрезок

Кривая вогнутая

Направляющая

цилиндрической по­

— Гаусса

416

верхности

163

152, 169,

— гладкая 197, 250, 251

Направляющие

косинусы

— распределения 436

325

число 5

Кривизна в точке

78

Натуральное

— средняя

76

80

Начало координат 112, 115, 116, 149

Кривизны

радиус

Независимая

переменная

И, 18І

— окружность

79

Необходимое

условие 66

— центр 80

трапеция

229

— — сходимости ряда 350

Криволинейная

— — относительного экстремума 205

Критерий

66

37, 351

— — экстремума функции 69, 202

— Больцано—Коши 36,

Неопределенности

63—65

в области

Линейная

функция — см. Функция

Непрерывность

функции

183

линейная

— — в промежутке 39

Линейное дифференциальное уравне­

— — в точке

37, 183

ние

387,

393,

397—408

135

— — односторонняя 39

185

Линии

второго

порядка

— — равномерная 42,

Линия алгебраическая

124

Неравенство

Бесселя 384

— уровня 297

29

— Чебышева

441

380

Логарифм

десятичный

Норма функции

— комплексного аргумента 96

Нормаль к

кривой 80

— натуральный

29

— к поверхности

198

Мажорантный ряд — см. Ряд мажо­

Область 180

значений

12

рантный

(и минимум) функции 68

— допустимых

Максимум

— замкнутая

180

И

— — нескольких переменных 201

— изменения

переменной

Масса

стержня

228, 304

— — функции 12, 13, 182

— пластины 268, 320

8, 10

— ограниченная

185

Математическая

величина

— односвязная (и многосвязная) 312,.

Математическое

ожидание

427, 437

316

Матрица 105,

445

447

— определения функции 12, 13, 181

— транспонированная

— сходимости ряда 361, 368

Метод Бернулли 393

Объем тела

249

— вариации 394

207

— — вращения 249

— наименьших

квадратов

— цилиндрического бруса 270

— неопределенных

коэффициентов

Огибающая

семейства кривых 392

103,

217

испытаний

246

Окрестность

точки 10,

179

— статистических

— бесконечно удаленной точки 24

Минор

элемента определителя

449

Оператор 13

— Лапласа

339,

343

— векторное

296,

303

— линейный дифференциальный 398

— гармоническое 338

Определитель 105, 106, 108, 446

— градиентов 319, 320, 337

— Вронского 400

— направлений

390

320

— Якоби

191

— потенциальное

319,

— функциональный 191, 282, 292

— силовое

304

27

Ордината

точки 115,

149

— скалярное

296,

Орт 149

— соленоидалыюе

330

Ортогональные

382

— стационарное

296

319

— полиномы

381,

— точечного

источника

— системы функций 376, 380

— тяготения

297,

320

— функции

376,

380

— центральное

320

Оси эллипса

138

алгебры

98

— электростатическое 319, 331

Основная

теорема

Полином 13,

97

210

Остаток ряда 349,

362

Полиномы Бернштейна

Остаточный член 90

— Лежандра

382

— — в форме Лагранжа 91

— обобщенные

382

382

Ось 112

гиперболы

140

— ортогональпые

381,

— вещественная

— Тейлора

89

■»

— полярная

116

— Чебышева

382

— числовая

112

95,

283

Полная

группа

событий 419

Отображение

13,

Полюс

116

Оценка остатка ряда

356

Порядок алгебраической линии 124

— погрешности 88,

196

Последовательность 7

Парабола

141

— числовая

8,

346

320

Потенциал поля

319,

Параболоид

гиперболический 176

Поток вектора 324

— эллиптический

175

Правила дифференцирования 51, 52,

Параметр

10, 53

уравнения

линии

53

263

Параметрические

Правило Лейбница

164, 197

— Лоппталя

63—64

Первообразная функция —см. Функ­

Предел

последовательности 24, 32

ция первообразная

— функции

23,

24,

32,

182

Переменная

11

212

— — односторонний

23

— интегрирования

Предельная

точка

множества — см.

Пересечение множеств

6

Точка

предельная

Перестановки 104,

446

165

Преобразование координат 116—120,

Плоскость

в

пространстве

161, 162

Площадь

криволинейного

сектора

Приближение функции 206, 209, 383

248

Признак 66

— криволинейной трапеции 151, 247

— Вейерштрасса 363

— поверхности вращения

251

— Даламбера

351

— треугольника 67

— Коши 258, 354

— шарового пояса 252

164

— Лейбница

356

Поверхность

алгебраическая

— сравнения 257, 260, 352

— гладкая 199

322

Принцип сходимости

ряда 350

— двусторонняя

Приращение

аргумента

38

— линейчатая 177

163

— функции

38,

85

г— цилиндрическая

— — полное 184, 187, 194

— уровня

297

196

— — частное

185

ИЗ

Погрешность

абсолютная 87,

Проекция вектора

— — предельная

87,

196

— точки ИЗ

47,

49

— относительная

196

Производная

скалярного

Подкасательная 81

— векторной

функции

Подмножество 6

аргумента

302

57

Поднормаль

81

— высшего

порядка

Подстановка

215

— комплексной функции веществен­

Подпоследовательность 349

ного аргумента 95

Поле 296

— логарифмическая 55

— безвихревое 337

— логарифмической

функции 55

— локальная

188

53

— — — частное

387, 391,

396

ура­

— обратной

функции

функции

— системы дифференциальных

— — тригонометрической

внений 408,

409,

410

57

— — уравнений 453

335

— интеграла по верхнему пределу

Ротор вектора

334,

239

Ряд 346, 361

357

— — по параметру 263, 264

191

— абсолютно сходящийся

— неявной функции

189,

190,

— биномиальный

373

— показательной

функции

55

— гармонический 350

— полная 188

— геометрический

347

— по направлению 298

— знакочередующийся 355

— постоянной

50

— мажорантный 363

— сложной функции 52, 188

— Маклорена

372

362

— степенной

функции

56

функции

— равномерно

сходящийся

— степенно-показательной

— расходящийся

347

56

функции 50,

— с комплексными членами 360

— тригонометрической

— с положительными членами 351

54

192

— степенной 367,

369

— частная 186,

— сходящийся

347

Произведение вектора на число 112

— — в среднем 384

— векторов векторное

156

— Тейлора 370

— — скалярное

153

— тригонометрический 375

— — смешанное

158

— условно сходящийся

358

— матриц 451

— функциональный

361

— определителей 451

379

— Фурье 377

382

— функций

скалярное

— — обобщенный

Промежуток

10

— числовой 346

— замкнутый 10

Связка плоскостей

167

— открытый

10

179

339, 340

Пространство

арифметическое

Символика Гамильтона

— эквлидово

179

Система дифференциальных

уравне­

Прямая в пространстве 169

ний 408—410

Пучок

прямых

128

— координат

110

Работа

вектора

304,

318

— — декартова 115, 149

— — криволинейная 281, 289

Равенство векторов

111

— — ортогональная 281, 289

— комплексных

чисел

94

— — полярная 116

— матриц 451

97

— — сферическая 161, 293

— многочленов

— — цилиндрическая 160,

292

— множеств

6

— уравнений 453, 455, 459

Радиус-вектор 11, 305

Скалярная величина

111,

296

Радиус

кривизны 80

Скалярное ноле

296

153

— полярный

116

— произведение

векторов

— сходимости степенного ряда 368

— — функций 379

416,

427

Радиусы фокальные 136, 139, 141

Случайная величина

Разложение вектора 151

— — дискретная

416,

427

— определителя

107,

449

— — непрерывная 416, 433

— рациональной дроби 101

Событие 416

— функции в степенной ряд 370,

— достоверное 416

372

Фурье

376

— невозможное

416

— — в ряд

— случайное

416

423

Размещения

104

События зависимые

Разность векторов 111

— независимые 423,

424

— множеств

6

455

— несовместные

419

Ранг матрицы

— противоположные 422

Раскрытие неопределенностей 63, 375

— равновозможные

419

Решение дифференциального уравне­

Соединения 103

ния

31, 387

Соответствие

12

6,

110,

112,

— — — общее 387, 391, 396

—взаимно-однозначное

— — — особое

391,

392

150

Сочетания 103

переменной

215,

Термодинамическая поверхность 177

Способ

замены

Точка множества

внутренняя

180

241

— — предельная

(точка сгущения)

— интегрирования но частям 216,

19, 180

180

241

— области граничная

— Ньютона

83

— га-мерного

пространства 179

— хорд

82

412

— перегиба

73

— Эйлера 410,

— разрыва функции 37, 39

Среднее значение случайной величи­

— сходимости

ряда 361

ны 428

— экстремума 68

— — функции 238, 273

— квадратичное

уклонение

383,

Угловой коэффициент

прямой 48

437

многочлена

14

— — касательной

48

Степень

191

Угол между

векторами 155

— однородной функции

— — плоскостями

168

Сумма векторов

111

— — прямыми

130,

171

172

— множеств

6

— — прямой и плоскостью

— ряда

347,

362

— наклона прямой

125

— — частичная 346, 361

Уравнение алгебраической линии 124

— функций

19

— — поверхности

164

Сходимость несобственного интегра­

— гиперболы

139

ла 255, 259

— гиперболоида двухполостного 175

— — — абсолютная 256, 260

— — однополостного

174

— ряда

347,

361

— замкнутости

384

197

— — абсолютная 357

— касательной к кривой 80,

— — равномерная 362

— — плоскости к поверхности 199

— — условная

358

384

— конуса второго порядка 178

— — Фурье

в

среднем

— линии

123

Таблица интегралов

213

— — второго порядка 135

— окружности

124

— производных 54

— параболы

141

Теорема

Барроу

239

— параболоида

гиперболического

— Безу

98

176

— Бернулли 442

35

— — эллиптического 175

— Больцано—Коши

— плоскости

165—168

— Вейерштрасса 41, 185, 209

— поверхности

164

133

— Дирихле

378

185

— прямой

125—129,

— Кантора 43,

— сферы

164

— Коши 42, 62, 185

— теплопроводности 344

— Крамера

109, 453

— эллипса 137

173

— Лагранжа

60

— эллипсоида

в

пространстве

— Лапласа 444

Уравнения

прямой

— Лейбница 356

169—171

— Лопиталя

63

Условие необходимое и достаточное

— Муавра—Лапласа 443

66

— Ролля

59

— коллинеарности векторов 149, 153

— существования предела 34, 35

— компланарности

векторов

159

— — двойного интеграла 271

— ортогональности

векторов

155

— — неопределенного

интеграла

— — прямых 171

211,

240

интеграла

— — прямой и плоскости 172

— — несобственного

— существования

предела функции

256,

260

35

— — определенного интеграла 231

— — — последовательности 37

— Ферма 58

— сходимости ряда

351

— Чебышева 441

Фокусы линий второго порядка 136,

— Эйлера 191

367,

369

Теоремы

Абеля

138, 141

— Гульдина

253, 254

Формула 102

— о пределах основные 25

— Бейеса

426

Теория

вероятностей

416, 417

— Бернулли 431

Предисловие ..........................................................................................................

3

Г л а в а I. Функции одной переменной

§ 1.

Функция .....................................................................................................

5

ного числа (9). 5. Промежуток (10). 6.

Постоянные п переменные

§ 2.

ции (13). 9. Алгебраические функции

(16).

Предел ф у н к ц и и ........................................................................................

15

к бесконечности (24). 15. Основные

теоремы о пределах (25).

§ 3.

Непрерывные ф у н к ц и и ............................................................................

37

§ 9.

Соединения.

Определители ...................................................................

ЮЗ

58.

Элементы теории соединений (103). 59. Элементы теории опре­

делителей (105).

Г л а в а

IV. Аналитическая геометрия на плоскости

110

§ 10.

Координаты на прямой и на плоскости..........................................

60. Вектор (110). 61. Направленный отрезок оси (112). 62. Ко­

ординаты на прямой (112). 63.

Основные теоремы теории проек­

ций (ИЗ). 64. Координаты на плоскости (114). 65. Расстояние

между двумя точками (116). 66. Преобразование декартовых

§

11.

координат (117). 67. Площадь

треугольника (120).

121

Уравнение л и н и и ...................................................................................

68. Геометрическое значение уравнения с двумя переменными

(122). 69. Понятие уравнения линии (123). 70. Алгебраическая

§

12.

линия и ее порядок (124).

125

Прямая линия

........................................................................................

71.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом (125). 72.

Об­

щее уравнение прямой (127). 73. Уравнение пучка прямых (128).

74. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

(128). 75. Угол между двумя прямыми (129). 76.

Задача о взаим­

ном расположении двух прямых (131). 77. Нормальное уравне­

§ 13.

ние прямой (133). 78.

Расстояние от точки до прямой (134).

135

Линия второго

порядка.......................................................................

79.

Окружность (135). 80. Эллипс и его уравнение (136). 81.

Ис­

следование формы эллипса (137). 82.

Гипербола и ее уравнение

(138). 83. Исследование формы гиперболы по ее уравнению (139).

84. Парабола (141). 85. Директрисы кривых второго порядка

(142). 86. Полярное уравнение кривых второго порядка (144).

87. Исследование общего уравнения линий второго порядка

(144).

Г л а в а

V . В е к т о р н а я а л г е б р а

§ 14.

Линейные операции над векторами..................................................

148

88. Линейные операции и их свойства (148). 89.

Декартова си­

стема координат в пространстве (149). 90. Разложение вектора

по координатному базису (150). 91. Длина вектора, его напра­

вляющие косинусы и соотношения между ними (151). 92. Ли­

нейные операции

над

векторами,

заданными

своими

проек­

§ 15.

циями (152).

153

Некоторые нелинейные операции над векторами.........................

93.

Скалярное произведение

и его

основные

свойства (153).

94. Угол между векторами. Условие ортогональности векторов