Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Сахарников Н.А. Высшая математика учебник

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

24.22 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 4243 / 4843 44 45 46 47 48 > Следующая >>>

скую вероятность. Пусть каждому исходу сопоставляется не которая точка области œn, а благоприятствующим исходам — точки, лежащие в некоторой ее части шт. Тогда вероятность р (Л) попадания точки в область <вт определяется как отношение мер (длин, площадей, объемов) этих областей, т. е.

р(А)	мера	области ю,п
	мера	области	сол

П р и м е ] ) 1. В урне имеется 10		шаров,	из них два красных, пять

синих и три белых. Шары тщательно переметаны. Требуется найти вероят ность того, что вынутый наудачу шар будет цветным (событие А). Возможны следующие исходы: Ег — вынут красный шар, Е 2 — вынут синий шар, Е я — вынут белый шар. Число всевозможных исходов равно числу шаров,

т. е. десяти. Из них число исходов Е\	равно двум, Е 2 — пяти, Е я — трем.
Очевидно, что все десять исходов	равновозможны (шар вынимают на

удачу, шары одинаковой формы и тщательно перемешаны) и образуют полную группу событий (вынимается один и только одни шар). Поэтому эти десять событий являются элементарными.

Из них лишь семь благоприятствуют событию А, именно два события Е х

и пять событий	Е 2.	Следовательно, вероятность того, что вынутый шар
окажется цветным,		равна 7/10.
П р и м е р	Іа.	Из урны, рассмотренной в примере 1, извлекаются

сразу два шара. Требуется найти вероятность того, что вынутые шары ока жутся синими.

Р е ш е н и е.	Cfo	7TJ " 45’ т =	=	10’ р = § = \| •
П р и м е р	2. В партии	из N изделий имеется		М (М ^ N ) меченых

изделий (так будем называть изделия, обладающие каким-либо свойством, например бракованные, или, наоборот, высшего качества). Выберем наугад

п (п	N) изделий из данной партии. Требуется найти			вероятность того,
что	среди этих	п изделий будет ровно т (т sg; п, т ^		М) меченых.
	Р е ш е н и е .	Событие А пусть состоит	в том, что среди выбранных п
изделий имеется		ровно т меченых. Общее	число случаев, среди которых
может появиться		событие А, равно и* = С

Подсчитаем число случаев, благоприятствующих появлению события А. Пусть среди выбранных п изделий содержится ровно т меченых. В выборку из п элементов могут войти те или другие из М меченых изделий. Общее число исходов, в которых т изделий из М могут войти в выборку, равно С"г Каждое такое сочетание меченых изделий может войти в выборку из п

изделий, содержащую любое сочетание п — т изделий из N — М немеченых. Число различных сочетаний немеченых изделий в выборке равно СдГ/цц.

Следовательно, общее число исходов, благоприятствующих появлению

события	А , равно			то*	рт рп-т
По	формуле		(1) получим
					рт рп-т
					° MbN- M	( 2)
					Р-	( 2)
					съ
II р и м е р			3.	Он	решается аналогично примеру	2. Имеется группа
из пяти человек (N — 5), в которой две девочки (М =						2) и три мальчика.
Требуется		отобрать		отряд из трех человек (п = 3 ) , в		который вошла бы
одна (т =		1) девочка. Какова вероятность того, что среди случайно отобран-

СХС2

ных трех человек окажется одна девочка? По формуле (2) имеем р = —* 3- =

^3^

420

Классическое определение вероятности,так же как и геометри ческое определение, неприменимо, если результаты испытания не равновозможны. Например, при бросании неправильной играль ной кости выпадение ее различных граней не равновозможно.

Ниже сформулировано статистическое определение вероят ности. Пусть в данной серии, состоящей из п испытаний, событие А


появилось	т раз.		Число		т называется			частотой		события А,
а его отношение к числу испытаний, і. е.
					Р*(А) = — >
называется	относительной				частотой (или				частостью) события
в данной серии		испытаний. Очевидно,					частость есть случайная
величина, принимающая значения в промежутке О										Р* И )	1.
Если число		п мало, то частость				р*(Д)
мало показательна. Повторяя се
рии испытаний с малым п, будем						Р(Л)
получать	сильно		отличающиеся
друг от друга частости.				С ростом
п разброс	частостей не			исчезает,
но уменьшается.			Это	указывает			0	1
на то, что при увеличении п отно-									2 3 4	5 6 Номерсерии
рительная	частота		(А) обладает						Рис. 154.
свойством	у с т о й ч и в о с т и
в смысле уменьшения ее разброса (рис. 154).										в е р о я т
С т а т и с т и ч е с к о е					о п р е д е л е н и е
н о с т и .	Вероятностью				события А		называется			число,	вокруг
которого колеблется относительная частота р*{А)										при повторе

нии длинных серий испытаний. Таким образом, смысл понятия вероятности состоит в том, что она определяет среднюю частость, с которой можно ожидать появления события А при повторении длинных серий испытаний.

Благодаря устойчивости частости и близости ее к вероят

ности р (А),	величина р^(А) служит приближенной оценкой
вероятности р	(А), тем более точной, чем больше число п испыта
ний в серии	р ( А ) ^ р * { А ) .
		( 3 )

Пр и м е ч а н и е . Если в данной серии испытаний р% (А) —

—О, то событие А все же может произойти в результате нового испытания. Если (А) — 1, то это не значит, что событие А

достоверно. Здесь речь идет о массовых случайных событиях, в каждом из которых событие А может появиться, но может и не появиться. Вероятность есть характеристика степени объективной возможности появления события при большом числе испытаний. Исход же каждого случайного события остается случайным.

236. Основные теоремы.

I. Теорема сложения вероятностей. Вероятность появления одного us двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

р{А , или	В) = р {А) -\-р (В).		(4)
Д о к а з а т е л ь с т в о .	Введем	обозначения:	п — общее
число испытаний, т г — число исходов		этих испытании, благо
приятствующих событию А,	т 2 — число исходов этих событий,

благоприятствующих событию В. Ввиду несовместности событий А и В число исходов, благоприятствующих событию (А, или В),

равно т г + т	2. По	определению вероятности имеем
р (А, или	В) =	(тг 4- т2)/п = m-Jn {- т2/п —- р (А)	р (В ).

С л е д с т в и е 1. Вероятность появления одного из несколь ких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р{АЪ или А2, . . . , и л и А„) = р (А]) + р (А.2)-:г . . . +р(А„). (5)

Для п ~ 3 имеем p ( A lt	или А2, или А3) = р ( А г)АГр ( А2,
или А3)-=р(Аг) + р { А 2) + р (	А3).

Для любого п формула (5) выводится методом математической индукции.

События А и А называются противоположными, если они

несовместны и событие (А, или А) достоверно, т. е. если А и А образуют полную группу событий. Например попадание в цель

ипромах.

Сл е д с т в и е 2. Сумма вероятностей противоположных

событий равна единице:

р(А) + р(А) = 1.

(6)

Д о к а з а т е л ь с т в о . По условию имеем: 1) события А и А несовместны и поэтому р (А , или А) = р {А) + р (П), 2) со

бытие (Л, или А) достоверно и поэтому р (А, или А) = 1. Отсюда следует формула (6).

Точно так же доказывается утверждение: сумма вероятностей

событий А ±, . . ., А п,	образующих полную группу, равна единице:
Р ( ^ і )	А~Р О ^ г) + • • • ~\-р{А^) = і.	( 7 )

Например, в урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Какова

вероятность вынуть цветной шар, если вынимается один шар. Вероятность вынуть красный шар р (А ) = 10/30, синий — р (В) = 5/30. Вероятность появления цветного шара р (А, или В) = р (Л) + р-(В) = 1 / 2 .

I I . Теорема умножения вероятностей. Эта теорема объединяет ряд теорем, в которых рассматриваются вероятности совместного появления нескольких событий.

События А и В называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет. Событие В называется зависящим от события А, если вероятность появления события В зависит от того, про изошло событие А или нет.

П р и м е р 1. В урне находятся 7 белых и 3 черных тара. Условие опыта — каждый вынутый шар кладется обратно в урну. Событие А — в результате первого опыта вынут белый шар; событие В — в результате

второго опыта	вынут	опять	белый шар. Имеем	р (А) = р (В) =	7/10.
П р и м е р	2. В	урне	7 белых и 3 черных	шара. Условие	опыта —

вынутые шары обратно в урну не кладутся. События А и В те же, что в прн мере 1. В условиях примера 2 р (А) — 7/10, но р (В) зависит от того, произо шло событие А или нет. Если в результате первого испытания был вынут белый шар, то р (В) = 6/9, если в результате первого испытания был вынут черный шар, то р (В) = 7/9.

Условной вероятностью рА (В) называется вероятность по явления события В при условии, что событие А произошло. В при

мере 2 имеем рА (В) — 6/9, р А (В) = 7/9.		,
Если события А и В независимые, то		,
РА (В) = Р - (В) = р (В), р в (А) =	(А) = р {А).	(8)

Теорема 1. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности появления одного из них на услов ную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие произошло:

р(А и В) = р ( А ) р Л(В).		(9)
Д о к а з а т е л ь с т в о .	Пусть п — общее число	равно--

возможных элементарных исходов испытания, образующих пол ную группу, п1 —• число исходов, благоприятствующих событию А (пг s^ п), т — число исходов испытания, в которых наступает событие В в предположении, что событие А уже наступило, т. е.

т— число исходов, благоприятствующих событию (А и В). Вероятность совместного появления событий А и В равна

р(А и	=	^ - = р (А)-р а (В). Теорема доказана.
Меняя ролями А и В, получаем р(В и А ) —р (В) ■рв (А).			Сле
довательно,		Р(А)р а {В) = р (В)р в {А).	(10)

П р и м е р	3. В условиях примера 2 поставим такие вопросы:
1) Какова вероятность вынуть первый и второй раз белые шары? По фор
муле (9) имеем р {А и В) = 7/10-6/9 = 7/15.
2) Какова вероятность оба раза вынуть черные шары? По формуле (9),
примененной к событиям А и В, получим
	P ( Ä и	В ) = р ( А ) . р - ( В ) = 3/10-2/9 = 1/15.

Теорема умножения вероятностей независимых событий. Веро ятность совместного появления двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий:

	р(А il	В) --=р (А) р (В).	(И)
Д о к а з а т е л ь с т в о .		Положив в	(9) в согласии с (8)
Р а (В) = Р (В),	получим формулу (11).
П р и м е р 4.	Два стрелка стреляют по цели. Вероятность поражения
цели первым стрелком при одном выстреле р (А ) -----			0,8, вторым стрелком —
р (В) = 0,7. Найти вероятность		поражения цели	двумя пулями в одном
залпе. По формуле (11) имеем р (А и В) 0,8-0,7			= 0,56.
События А г, . . ., А п называются независимыми в совокупности,

если вероятность появления любого из этих событий не зависит от того, произошли или не произошли какие-либо другие события из этой совокупности.

Теорема	2. Вероятность		совместного появления п		событий
А г, . . ., А„,	независимых	в	совокупности, равна	произведению
вероятностей этих событий:
Р(Аі и А ... и		А п)^=р(А1)р(А2) • • • р ( а		п )-	(12)
При п = 3 имеем

р ( А 1 и А2 и As)--^p(A]) p( A2 и А3)=. р(А,)р(Л„)р(А3).

В общем случае теорема доказывается методом математической

индукции.	Если события А 1, . . ., А п независимы и рав
С л е д с т в и е .	Если события А 1, . . ., А п независимы и рав
новероятны р (А Д =	. . . =	р (И„) — р, то из (12) следует
р{ Ах и		А2 . . . и Ап) = рп.	(13)

П р и м е р 5. Имеется четыре места. Каждое из четырех мест может быть занято атомом одного вида (событие А), либо атомом другого вида (собы тие В); при этом р (А) = р, р (В) = 1 — р = q.

Вопрос: какова вероятность того, что все четыре места будут заняты атомами первого вида? Ответ: р4.

III.Теорема (о вероятности появления хотя бы одного из п

независимых событий). Пустъ события А lt . . А п независимы в совокупности, но они могут бытъ совместными. Для нахождения величины р (А-у, или А 2, ■■-, или А п) по данным р {Аг), р (А2),

. . р (Ап) обозначим через А к	событие, противоположное A k.
Имеем:
1) А к и Ак — противоположные события и поэтому р (Ак) +
+ p ( Ä J = _ 1,
2) А г, А 2, . . А п — события	независимые в совокупности,

и по теореме 2 имеем р (А 1 и А 2 . . . и А п) = р (А Др (А 2), . . .

. . .. р( А п),

3) события (Alt или А 2, . . ., или А п) и (Ах и А 2 . . . и А п) противоположны и поэтому сумма их вероятностей равна единице:

р^Д , или Аъ . . ., пли А п)-'г р ( А1 и А2 . . . и Л„)=П.

Следовательно, имеет место формула

р(Лъ или Аг, . . ., или Л„) = 1 —[1 —р (АДІ [ і - р ( А 2)\ . . . [1 - р ( А п)].

(14)

В частности, если р (АД = р (АД = . . , = р (АД = р, то

р ( Аъ или А2, . . ., или ^4„) ^=1 — (1 — р)п-

(15)

П р и м е р 6. В условиях примера /, найти вероятность поражения цели хотя бы одной пулей при одиночном залпе. По формуле (14) имеем р (Л, или В) = 1 — (1 — 0,8) (1 — 0,7) = 0,94.

IV. Теорема сложения вероятностей совместных событий.

Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совме стного появления:

	р(А, или	В) = р (А)		р (В) — р (А		и В).	(16)
Д о к а з а т е л ь с т в о .			1) Событие		А	может произойти
только при	появлении одного			из двух	несовместных событий
(А и В) и (А и В). По теореме сложения вероятностей имеем
	р(Л) = р(Н		и В ) + р {А и В).				(17)
Аналогично находим
	р(В)-=р(А и В)~- р(А и В).						(18)
2) Для появления события (А или В) имеются только три воз
можности: А	и В, А и В, А		и В. Эти три события несовместны
и по теореме сложения вероятностей имеем
р(А,	или В)	- р(А и В) -Гр(А и			В)	р(.1 и В).	(19)

3)Складывая (17) и (18), получим

р{А) + р (В) = [р (А и В)А-р(А и В)-\-р(А и 5)1 А р (А и В).

Согласно (19) сумма в квадратных скобках равна р (А , или В), поэтому имеем


р(А,	или В) г р {А и В)				р (Л) + р (В).	(20)
Отсюда следует равенство (16). Теорема доказана.						то
С л е д с т в и я .	1. Если		события		А и В зависимы,
р (А и В) = р (А) рА (В)		и из	(16)	следует формула
р (А,	пли В)	-г. р{А)А-		р(В)—р{ А) рЛ(В).		(21)

2. Если события А и В независимы, то р (/1 и В) = р (А) р (В)

р(А, или В) =р( А) f	р(В) — р(Л)р(В).			(22)
3. Если в формуле (16) положить р		(А и В) --- 0,	что соответ
ствует случаю несовместных событий,		то получим	формулу	(4).
4. В формуле (20) р (А и В) ^	0 и р (А, или В)		0, поэтому
р(А, или B)^p(A)~t - p(B),	р( А	и B)szp{A) + p(B).		(23)

V. Формула полной вероятности. Пусть событие А может произойти лишь при условии появления одного из п попарно несовместных событий В і, В 2 Вп, образующих полную группу событий. Эти события Bk будем называть гипотезами для события

А. Тогда вероятность события А равна сумме произведений вероят ности каждой гипотезы на вероятность события А при этой гипотезе

Р (А) = р (В 4) рВ і { А ) + • • • + р (Вп) рв {А).

(24)

Действительно, событие А может произойти При выполнении любого из событий (А и В і), {А и В 2), . . ., (А и Вп), которые попарно несовместны. Следовательно, по теореме сложения ве роятностей имеем

р (А) = р (А и В,) + р (А и В 2) +

+ р (А и Вп). (25)

Заменив здесь слагаемые правой части по формуле (9), получим равенство (24). Формула (24) называется формулой полной веро ятности.

П р и м е р			7.	Студент а может заболеть гриппом (событие А)					только
в результате либо				переохлаждения		(событие B t), либо контакта		с другим
больным (событие В 2). Требуется найти р (Л), если р (В г) =							0,5,	р (Вг) =
= 0,8, рв	(А)	=	0,3, рв (А) =		0,1 при условии несовместности				и В2-
По формуле (24) имеем р (А)					=	0,5-0,3 -f- 0,8'0,1 = 0,23.
VI. Формула Байеса. Пусть в условиях предшествующего рас
суждения произведено одно испытание, в результате которого										по
явилось	событие А. Вопрос: как изменились (в связи с тем,									что
событие	А	уже		произошло)		вероятности гипотез,	т.	е.	вели
чины р (Вк)?							умножения
Найдем условную вероятность рА (Вк). По теореме
вероятностей			имеем р (А и Вк) = р (А) р А (Вк) = р (Вк) р Вк {А).
Следовательно,
				PA(Bk) = p(Bk)pBk{A)/p(A),						(26)

где величина р (А) определяется равенством (24). Формула (26) называется формулой Байеса..*

* Томас Байес (умер в 1763 г.) — английский математик.

237.Дискретная случайная величина и ее закон распределения.

Ои р е д е л е н и е. Случайной величиной называется переменная, которая в результате испытания может принять те или иные числовые значения (из области допустимых значений) в за висимости от случая.

Примеры случайных величин: 1) энергия электрона в атоме, 2) число писем, опущенных в данный почтовый ящик в течение дня, 3) число родившихся мальчиков на 1000 новорожденных, 4) результат измерения какого-либо параметра промышленного изделия при массовом его изготовлении.

Случайная величина называется дискретной случайной вели чиной, если множество ее допустимых значений конечно или счетно. В примерах 1, 2 и 3 случайная величина дискретна. Ниже рассматриваются дискретные случайные величины, множество

допустимых значений которых				конечно.
Законом распределения, или функцией распределения, дискрет--
ной случайной	величины	X	называется перечень всех ее значе
ний х х, . . .,	и их вероятностей:
	X		хх	х2			(1)
	Р (X)		рх	р2 .. . рп,

Здесь 1) все значения случайной величины расположены в по
рядке возрастания: х 1 <С			<С' ■• О		хт 2) их вероятности		от
личны от нуля: РьФ 0,		3) р х + р 2 +			• • • + рп =	1, потому	что
события X =	х г, . . , , Х	— хп		образуют полную		группу несо

вместных событий.

Задать дискретную случайную величину — это значит задать ее закон распределения вероятностей.

ной	П р и м е р .		Число, которое появляется на верхней		грани	играль
	кости,	есть	случайная величина, принимающая значения			хх = 1,
I , =	2..........I , =		6 с вероятностями р (хк) =	і/6, если кость	симметрична.
Имеет место закон равных вероятностей.
238.		Математическое ожидание		и дисперсия	дискретной слу

чайной величины. Закон распределения полностью характери зует случайную величину. Однако оказывается, что для решения многих практически важных задач знание закона распределения не обязательно; они могут быть решены с помощью некоторых характеристик этого закона. К числу важнейших характеристик случайной величины относятся ее математическое ожидание и дис персия.

О п р е д е л е н и е . Математическим ожиданием дискрет ной случайной величины X называется сумма произведений всех ее возможных значений на соответствующие им вероятности:

M ( X ) - x 1p l + x2p.î + . . . -j-xnpn.

(2)

В условиях примера 1 и. 237 имеем М (X) = 6

Для выяснения вероятностного смысла математического ожи дания предположим, что произведено к испытаний, в которых

дискретная случайная величина X					приняла	значения		x lt . . ., хп
соответственно			т х, . . ., тп раз,		так что	т 1 +	• • ■+ тп — к.
Сумма всех		значений		случайной	величины	равна	х1т 1 + - - - +
+ хптп, а среднее арифметическое этих значений равно
X	ТП\Х\ “Г	• •	тпхп	"'1	І Г хп = Чі*і-			Yп х т
		к		к х ѵ
где Ys — частость значения xs случайной величины X								в к испыта

ниях. Если к достаточно велико, то частость приблизительно равна вероятности ys ^ P ( x s ) — Ps и тогда

X = YА -г •. • + Упхп ^ Р ( хі) хі + ■■■ -г P іхп) хп = М {X).

Следовательно, математическое ожидание дискретной слу чайной величины приблизительно равно среднему арифметиче скому всех ее значений, причем это равенство тем точнее, чем больше число испытаний к. Математическое ожидание есть сред нее значение случайной величины, вокруг которого группи руются более или менее тесно все ее значения. Поэтому матема тическое ожидание случайной величины называют также ее сред ним значением.

Математическое ожидание дискретной случайной величины обладает следующими свойствами.

1°. Математическое ожидание постоянной равно этой по стоянной: М (с) — с.

Действительно, постоянную можно рассматривать как ди скретную случайную величину, принимающую единственное чис ловое значение с с вероятностью, равной р = 1. По формуле (2) имеем М (с) = с-1 = с.

2°. Постоянный множитель можно вынести за знак математи ческого ожидания: М (кХ) = кМ(Х).

Действительно, если X подчинена закону распределения (1), то величина кХ принимает значения кхѵ . . ., кхп с вероятно стями р х, . . ., р п соответственно. Поэтому имеем

М (к Х) = кххрх-I- ... + кхпрп= к {ххрх+ . . . + хпрп) = кМ (X).

3°. Математическое ожидание суммы двух дискретных случай ных величин равно сумме математических ожиданий этих величин.

Действительно, пусть X и Y имеют законы распределения

X	Х 1	х 2	Y	Уі Уг
р	Р і	Р і	P	<7і

Чтобы упростить изложение, мы ограничились лишь двумя возможными значениями каждой из случайных величин. В общем случае доказательство аналогично. Составим перечень возмож ных значений величины X + У (для чего к каждому возмож ному значению х, прибавим каждое возможное значение ук) и их вероятностей рік:

Л ' :

. г ,

/ / ,

. г ,

у.,

X., '■ / / , X., :

у.,

P l i

Р і2

P ‘2.1

P 22 *

Докажем,

что р гі

p l2 = р 1. Событие, состоящее в том, что

примет значение х х (его вероятность равна р х),

влечет за собой

событие, состоящее в том, что X

Y примет

значение х х -L у 1

или х х +

г/о

(вероятность

этого

события

по

теореме

сложения

вероятностей

равна

р Х1 + р 12).

Поэтому

р 1Х +

р 12 =

р ѵ

Ана

логично доказываются

равенства

р 1Х +

р 21 = дх,

р 21 +

р 22 =

Р21

Р12

“Ь 22Р

? 2 -

Согласно

формуле (2) имеем

М { Х

У) - • (.'С,

//,) Pu

: О*-!

?/:-)/>12

(Х-2

■ Ui) Pi\

■

.'ПИН* =-

= ÆJPX-і- х2р2 -і- р/А -{-у2д2= М (X) 4- М (Г).

Две дискретные случайные величины X

называются

не

зависимыми, если независимы события X = х,-

= ук

при

всех і

и к.

ожидание

произведения

двух

независимых

4°.

Математическое

дискретных случайных величин равно произведению их математи ческих ожиданий: М (XY) = М (X) М (Y).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть случайные величины X и Y заданы законами распределения (3). Мы опять с целью упрощения вычислений рассматриваем случай п =- 2. Составим все возможные

значения случайной величины X Y	и найдем их вероятности:
Z Г Æxj/x хху2	х2у х х2у2

Р	Рп	Рі2 Р2 1 PVL-
По теореме умножения вероятностей независимых событий
вероятность того, что X Y примет значение			Х{ук, равна произ
ведению вероятностей таких		событий: X принимает		значение х{,
a Y — значение ук.	Имеем р (х$к) = р (х()		р(ук) = pLqk,			где
р (х,) есть вероятность случайной величине			X принять			значе
ние xt. Согласно формуле (2) получим
М (XY) = x,yxpxq1-f xxy2pxq2 + x2ylP2qx -{- x2y2p2q2«=
= (Xjp x+ x2p2) (yxq1+ y2q2) = M ( X ) M (Y).
Заметим, что свойства 3° и 4° распространяются на любое
конечное число случайных величин X х, . . ., X п.				есть	количе
Дисперсия дискретной случайной величины X
ственная мера рассеяния X		около ее среднего	значения.		Случай

<<< < Предыдущая 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 4243 / 4843 44 45 46 47 48 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ