книги из ГПНТБ / Сахарников Н.А. Высшая математика учебник

Согласно этому определению система равенств (8) разрешима

системы, которое можно получить из общего решения при каких-

233. Способы интегрирования систем дифференциальных урав­ нений. Рассмотрим некоторые способы интегрирования нормаль­ ных систем дифференциальных уравнений. Метод составления интегрируемых комбинаций ниже иллюстрируется примером.

— z2 — с ,. PJычитая второе уравнение данной системы из первого, получим вторую интегрируемую комбинацию (у — z)' = 1. Поэтому у — z = х + с2.

Метод исключения неизвестных приводит к уравнению высшего порядка для отдельных неизвестных функций системы. Иллю­ стрируем его примером.

С п о с о б Э й л е р а . Пусть дана нормальная линейная однородная система с постоянными вещественными коэффициен­ тами

Ун = аи,Уі + . • • + а-кпУп (к = 1, • • п). О)

Ищем решение вида

Для определения этих величин и выяснения вопроса о существо­ вании у системы (9) решения указанного вида подставим в (9) вместо ук правые части равенств (10). После сокращения обеих частей на еХх получим алгебраическую систему уравнений отно­ сительно a k и X

^ П І ^ І I ^ П 2 ^ 2 1 . . . - | - і& п п

Для того чтобы однородная линейная относительно а х, . . ., ап

Уравнение (12) называется характеристическим уравнением системы (9). Заметим, что это уравнение можно составить непо­ средственно с помощью матрицы коэффициентов системы (9)- Пусть Ях, . . ., Хп — корни этого уравнения.

Система (11) при X -- Xk, где к — 1, 2, . . ., п, имеет некоторое решение, обозначим его akl, . . ., ссАп. Таким образом, каждому числу Xk соответствует решение системы (9)У

У к1 = , - . . ; Ѵ к п = Ѵ • ( 1 3 )

Можно доказать, что линейная комбинация этих решений (в слу­ чае, когда все Xk различны)

у = С\СХ c2t 3 x, z — — C \tx j- r 2f:3 x .

234. Некоторые методы интегрирования дифференциальных уравнений. Познакомимся сначала с приближенным методом Эй­ лера интегрирования уравнения первого порядка.

I. Метод ломаных Эйлера. Пусть дано дифференциальное урав­ нение

нение (15) имеет единственное решение у (х), удовлетворяющее

точки х 0предстаеймы рядами по степеням х — х 0, причем а0 (ж0) Ф

*Доказательство см. в работе В. И. Смирнова «Курс высшей математики»,

т.II, § 4.

Подставив эти разложения и ряд (17) в уравнение (16), получим тождество

Каждое последующее уравнение системы (19) содержит одним искомым коэффициентом больше предыдущего. Коэффициенты Ь0 и Ъх остаются произвольными и играют роль произвольных по­ стоянных. Первое из уравнений (19) дает Ь2, второе дает Ь3 и т. д.,

СО

1 - 4- 7 . . . (ЗА:—2)

Решение этого уравнения будем искать в виде так называемого обобщен­ ного степенного ряда, т. е. в виде произведения некоторой степени х на сте­ пенной ряд:

где а0=+ 0. Найдем производные

с о о о

и подставим в уравнение (20) вместо у, у' и у" соответствующие ряды. Получют тождество

с о о о

(21), получим решение уравнения (20). Это решение называется функцией. Бесселя первого рода порядка р и обозначается символом J p(x):

Ряд (24) сходится при всех значениях х, что легко обнаружить на осно­

Если р=/= п, то, положив в (22) р = —р, так же как и выше, получим еще одно решение уравнения (20), а именно J_p (х). Оно определяется фор­ мулой (24), в которой надо заменить р на —р. Можно доказать, что функции Jp (X) и J-p (х) линейно-независимы, если р=^= п. В этом случае общее решение уравнения (20) имеет вид

y = c xJp (х) + с2/^р (ж).

Если р = п, то в системе (22) обратится в нуль коэффициент при а2п. Можно доказать, что в этом случае решением уравнения Бесселя, линейно­ независящим от решения (25), является функция Бесселя второго рода по­ рядка п, определяемая равенством

В этом случае общее решение уравнения Бесселя имеет вид

у(х) = сг/ п(х) + с2У„(х).

для данных условий измерения положительное число, называ­ емое средним квадратичным отклонением, содержится в среднем

законы теории вероятностей есть отражение реальных статисти­ ческих законов, объективно существующих в массовых случайных

явлениях.

Теория вероятностей есть математическая наука, изучающая закономерности массовых случайных явлений (независимо от конкретной природы этих явле­ ний). Создателями теории вероят­ ностей являются Блез Паскаль (1623—1662), Пьер Ферма (1601 — 1665), Христиан Гюйгенс (1629— 1695). Фундаментальные резуль­ таты в теории вероятностей полу­ чены Я. Бернулли (1654—1705).

Жозефом Луи Лапласом (1749— 1827), П. Л. Чебышевым (1821 —1884), А. М. «Ляпуновым (1857— 1918), А. А. Марковым * (1856—1922) и другими учеными.

О с н о в н а я з а д а ч а т е о р и и в е р о я т н о с т е й . Теория вероятностей рассматривает методы вычисления вероят­ ностей сложных событий по известным вероятностям некоторых простейших событий (полученных из опыта или с помощью теоре­ тической схемы). Тем самым открывается путь для анализа и вы­ явления закономерностей вероятностей сложных случайных явлений.

Значение теории вероятностей состоит в том, что эта наука позволяет; 1) предвидеть вероятности (частоты) сложных событий при массовом повторении испытаний, т. е. осуществлять научный прогноз явлений, 2) количественно оценить влияние отдельных случайных факторов на исход испытания; тем самым появляется возможность оказать влияние на этот исход.

Методы теории вероятностей широко используются в термо­ динамике, статистической физике, теории автоматического регу­ лирования, биологии и многих других науках.

Теория вероятностей не ставит задачу предвидения исхода отдельного случайного явления. Она позволяет предусмотреть средний исход массы аналогичных явлений, причем конкретный исход каждого отдельного явления остается неопределенным.

случайным. Например, молекулярная теория вещества может быть только статистической теорией. Мы не в состоянии просле­ дить за движением каждой отдельной частицы и не потому что их много (в 1 см3 воздуха содержится 2,69-ІО19 молекул), а потому что начальные данные движения отдельной частицы не могут быть определены бесконечно точно и действуют случайные силы, кото­ рые нельзя учесть абсолютно точно.

§40. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

235.Основные понятия теории вероятностей. Условимся назы­ вать испытанием, или опытом, осуществление на практике какогонибудь комплекса условий. Результат испытания будем называть

исходом испытания, или событием. Например, при стрельбе по мишени пуля может попасть в цель или не попасть. Событие в этом примере — попадание пули в цель, другое событие — промах. Опыт — стрельба по мишени.

Различают события достоверные, невозможные и случайные. Достоверным называется событие, которое обязательно про­ изойдет в результате испытания. Например: 1) подброшенная в комнате монета упадет; 2) при температуре 20° С и нормальном

давлении вода находится в жидком состоянии.

Событие называется невозможным, если оно заведомо не про­ изойдет в результате испытания.

Событие называется случайным, если оно может произойти, но может и не произойти в результате осуществления данного комплекса условий. Например, брошенная вверх монета может упасть гербом вверх (событие А) либо гербом вниз (событие В). Случайными являются также такие события: распад данного атомного ядра, излучение фотона атомом, столкновение данных молекул, вспышка данной звезды и т. д.

Каждое случайное событие есть результат действия бесконеч­ ного множества причин.

Случайное событие может заключаться в том, что какой-либо параметр будет иметь (в результате опыта) определенное числовое значение или значение из данного промежутка. Такие величины, значение которых в результате испытания могут принимать те или другие числовые значения, называются случайными величи­ нами. Например: 1) скорость данной молекулы газа в данный момент может принять любое числовое значение из некоторого промежутка 0 sç ѵ ^ ктах; это пример так называемой непрерыв­ ной случайной величины-, 2) момент количества движения электрона в атоме принимает строго определенные числовые значения; это пример так называемой дискретной случайной величины.

Некоторые величины, будучи случайными, могут иметь как непрерывный, так и дискретный спектр значений в зависимости от основного комплекса условий; Например, энергия электрона

и атоме может принимать только дискретные значения, а энергия того же электрона в свободном состоянии может принимать любые значения (из некоторого промежутка).

Случайные события А г, . . . , А п называются несовместными, если в результате каждого испытания никакие два из них не могут появиться вместе. Случайные события А ѵ . . ., А п называются равновозможными (или равновероятными), если из условий сим­ метрии опыта следует, что ни одно из этих событий не является более возможным, чем другие.

П р и м е р. Бросается игральная кость (кубик, грани которого зануме­ рованы цифрами от 1 до 6). Когда кубик остановится, его верхней гранью может оказаться любая из шести граней. Все шесть исходов испытания несовместны, а если кость правильная (симметричная и однородная), то эти исходы будут и равновозможными.

Случайные события А г, . . ., А п образуют полную группу событий, если в результате каждого испытания появится одно

можно было выделить такие события, которые не могли быть разложены на более простые: выпадение определенной грани при бросании игральной кости, появление герба или надписи при бросании монеты.

Условимся называть такие неразложимые события элементар­ ными событиями, или элементарными исходами.

Рассмотрим испытание, в результате которого событие А может появиться или не появиться. Среди возможных исходов испытания выделим полную группу элементарных исходов. Пред­ положим. что эти исходы равновозможны и что эта группа состоит из конечного числа элементов. Те элементарные исходы, при которых событие А наступает, назовем исходами, благоприят­ ствующими событию А.

К л а с с и ч е с к о е о п р е д е л е н и е в е р о я т н о с т и с л у ч а й н о г о с о б ы т и я : вероятностью события А назы­ вается отношение числа т элементарных исходов, благоприят­ ствующих событию А , к общему числу п равновозможных эле­ ментарных исходов, образующих полную группу

= 1, т. е. вероятность достоверного события равна единице.

а исходы равновозможны, то вводят так называемую геометриче-