книги из ГПНТБ / Сахарников Н.А. Высшая математика учебник

или он не равен нулю ни при одном значении х из (а, Ь):

Первый случай имеет место, если хотя бы в одной точке х0 про­ межутка (а, Ъ) вронскиан равен нулю: W (ж0) = 0. Второй — если хотя бы в одной точке х0 промежутка (а, Ъ) вронскиан отли­ чен от нуля: W (х0) Ф 0, потому что показательная функция в нуль не обращается.

Теорема 3. Для того чтобы решения (18) уравнения (9) были линейно-независимы в промежутке (а, Ь), необходимо и доста­ точно, чтобы определитель W (х) не обращался в нуль ни при

симы в (а, Ъ). Требуется доказать, что выполнено условие (23). Рассуждая от противного, предположим, что в некоторой точке х 0 промежутка (а, Ъ) вронскиан примет нулевое значение. Тогда в силу формулы (19) имеет место тождество (22) и по теореме 2 решения (18) линейно-зависимы, что противоречит условию. Следовательно, условие (23) выполнено.

Д о с т а т о ч н о с т ь . Пусть выполнено условие (23). Нужно доказать линейную независимость решений (18). Рассуждая опять от противного, предположим, что функции (18) линейно­

с произвольными постоянными ct и с2 есть согласно теореме 4 общее решение уравнения (29).

у- сг -г с2е~?х.

получатся опять линейно-независимыми, но также комплексными. Известно, что у полиномов с вещественными коэффициентами комплексные корни встречаются сопряженными парами (см. и. 56). Коэффициенты р и q уравнения (29) вещественны, поэтому, если = а — iß, то Х2 = а — iß. Решения (30) в этом случае можно

Производная комплексной функции вещественной перемен­ ной u (X) — cp (x) + іф (X) определяется формулой и' --= ф' + іф'. Отсюда следует, что и" ср" + іф ".

Лемма. Если у ф (х) + іф (х) есть решение линейного одно­ родного уравнения (28), то вещественные функции ф (х) и ф (х)

Следовательно, вместе с величинами (33) решениями уравне­

Их отношение непостоянно, поэтому функции (34) линейно-неза­ висимы. Уравнение (29) в случае 2 имеет общее решение

функцию.

С л у ч а й 3. Если характеристическое уравнение (31) имеет

одинаковые корни Х1 = Я,2 := — -у, то частные решения (30),

соответствующие этим корням, совпадают и не образуют фунда­ ментальной системы решений.

В случае 3 решением уравнения (29) является функция у3 =

хе1іХ. Убедимся в этом прямой проверкой. Положим в урав­ нении (29) у = у3, получим

есть реіпение уравнения (28), линейно не зависящее от ух, так как отношение у3 к у х непостоянно. Функции у г и у3 образуют фунда­ ментальную систему решений, и уравнение (28) имеет в случае 3 общее решение

в виде правила.

Правило нахождения общего решения линейного однородного

корням: каждому простому вещественному корню К соответствует

паре комплексных корней a ± ß t соответствует 2к решений:

3. Линейная комбинация всех этих решений с произвольными постоянными коэффициентами есть общее решение уравнения (28).

230. Линейные неоднородные уравнения. Рассмотрим линей­ ное неоднородное уравнение п-го порядка (8) L [у] = / (ж), коэф­ фициенты которого Р і(х), . . р п (ж) и свободный член / (ж) определены и непрерывны в промежутке (а, Ъ).

Пусть семейство функций zx (х), . . ., zn (х) представляет фун­ даментальную систему решений соответствующего однородного уравнения L [у] = 0. Линейная комбинация этих решений с произвольными коэффициентами

231. Метод нахождения частных решений линейных неодно­ родных уравнений. Для составления общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения L [г/1 = / (х) со­ гласно теореме 6 надо знать частное решение этого уравнения.

Метод неопределенных коэффициентов можно рекомендовать для нахождения частного решения линейного неоднородного уравнения

постоянная). Тогда уравнение (39) имеет * частное решение вида

где Q,n (х) — многочлен степени т, а к — кратность корня а характеристического уравнения (к — 0, если а не является корнем характеристического уравнения). Коэффициенты искомого поли­ нома Qm (х) можно найти путем подстановки выражения (41) в данное дифференциальное уравнение.

где Pm (x) и Qm (x) — полиномы относительно x степени m (один из них может иметь степень меньшую или далее равняться нулю

где P m (x) и Qm (x) — искомые полиномы степени m, a. к — крат­

ристического уравнения, поэтому к — 1. Частное решение данного уравнения

§39. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ

232.Общие вопросы. Пусть дано дифференциальное урав­ нение порядка п

Желая получить решение уравнения на интегрирующем устрой­ стве (например, электронном моделирующем устройстве), надо составить соответствующую систему дифференциальных уравнений

купность равенств (3) называется нормальной системой диффе­ ренциальных уравнений.

Решением системы (3) в промежутке (а, b) называется семей­

определенных, непрерывно дифференцируемых и удовлетворя­ ющих системе (3), т. е. обращающих все уравнения (3) в тождества относительно ж в промежутке (а, Ъ).

чит найти интегральную кривую, проходящую через точку

М0(х0, Ую . • • -, Уп о) области А п +1.

Сформулируем теорему, содержащую достаточные условия существования и единственности решения задачи Коши для си­ стемы (3).

Теорема. Если правые части системы (3) непрерывны и имеют непрерывные производные по переменным у х, у г, . . ., упв некоторой области Вп +1, то для любой точки М 0 (х0, у 10, . . уп0) об­ ласти Вп +1 существует, и притом единственное, решение

Уі =-■Ф і(х)> Уп^Ч>п(Х), ( 6 )

удовлетворяющее условиям (5), определенное и непрерывно диффе­ ренцируемое в некоторой окрестности точки ж0.

условия теоремы существования и единственности для системы (3).

1) представляющее в промежутке (а, Ь) решение системы (3) при всех значениях произвольных постоянных сх, . . ., сп (из некото­ рой области D изменения этих величин), 2) дающее решение задачи Коши с любыми начальными данными из области В п +1 при соответствующих значениях постоянных сх, . . ., сп.