книги из ГПНТБ / Сахарников Н.А. Высшая математика учебник

Нормой функции ф„ (X) называется число, равное арифмети­ ческому значению корня квадратного из скалярного произве­ дения ф„ (X) на ф„ (X):

равна единице: || ф„ (х) || = 1.

Функции ф„ (X) и фт (X) называются ортогональными в про­ межутке (а, Ъ) с весом р (х), если равно нулю их скалярное произ­ ведение: (ф„, ф,„) —- 0.

Система функций (58) называется ортогональной в (а, Ъ),

если все эти функции попарно ортогональны, и ортонормирован­ ной, если указанные функции, кроме того, нормированы.

ортогональна в промежутке (—я, я) с весом р = 1, так как при п=ф т вы­ полнено условие (<рп, фт) = 0 (см. п. 219). Однако функции (62) не норми­ рованы, так как отличны от единицы интегралы (51) и. 219. Для того чтобы нормировать семейство функций (62), надо разделить функции этого мно­ жества на соответствующие постоянные, и мы получим ортонормированную систему функций

Теорема 1. Всякую ортогональную систему функций можно нормировать.

Действительно, пусть (58) есть ортогональная система функций. Если каждую функцию этого семейства разделить на ее норму,

обращается в нуль тождественно в (а, Ь) лишь при условии <хг = = а 2 = • • •= ап = 0.

Процесс ортогонализации последовательности функций (58) заключается в том, что каждую функцию множества (58) заменяют такой линейной комбинацией исходных функций, чтобы новая

система функций получалась ортогональной. Докажем возмож­ ность такого процесса ортогонализации. Для этого положим

В соответствии с методом полной математической индукции

(ф и ,Фа) = Кі ( Ф і,Фа) -Г • • • н - Kk (Фа, Фа) + • • • +

+ К п - і (Ф л -1, Фа) -Г (Фл, Ф а) = K k (Ф а, Фа) 4 - (ф л, Ф а) = О

будет выполнено, если положить —(ф л, Фа) /( Ф а, Фа)-

Здесь существенно, что функции системы (58) линейно независимы, и поэтому никакая их линейная комбинация (в которой не все коэффициенты равны нулю), в частности фА, не равна тождественно

ществим процесс ортогонализации, описанный при доказательстве теоремы 2 применительно к множеству степеней {хп} с натураль­ ным показателем п в промежутке (a, b) при весовой функции р (х) Очевидно, любая линейная комбинация функций этого семейства, содержащая конечное число членов, есть полином, и в результате ортогонализации будет получено семейство полиномов, ортого­ нальных в (а, Ь). В зависимости от выбора промежутка (а, Ъ) и весовой функции р (х) таким образом приходим к системам орто­

221. Обобщенные ряды Фурье. Дана ортогональная в проме­ жутке (а, b) система функций (58). Рассмотрим функцию / (х) из класса Z2, которая может быть представлена** в (a, b) в виде

*См. работу В. И. Смирнова «Курс высшей математики», т. III.

**Достаточные условия представимости функции в виде ряда (63) см., например, в книге А. Н. Тихонова и А. А. Самарского «Уравнения математи­ ческой физики». М., «Наука», 1966, с. 621.

Теорема единственности. Если / (х) допускает представление вида (63), то такое представление единственно.

Докажем, что коэффициенты ряда (63) определяются одно­ значно при дополнительном предположении о возможности почленного интегрирования ряда, который получается из (63) умножением на р (х) срА(х). Действительно, в результате такого умножения, а затем интегрирования ряда получим равенство

с такими коэффициентами называется обобщенным рядом Фурье функции / (X) по системе функций (58). Если (58) есть система

ные коэффициенты, называется обобщенным полиномом порядка п.

О п р е д е л е н и е . Пусть функции / (х) и g (х) принадлежат классу L 2, причем а и Ъ суть числа. Средним квадратичным укло-

Глава X III

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

§37. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

222.Общие сведения о дифференциальных уравнениях. Диф­ ференциальным уравнением относительно некоторой функции

называется уравнение, связывающее эту функцию с ее независи­ мыми переменными и с ее производными. Порядком дифферен­ циального уравнения называется порядок старшей производной этой функции, входящей в уравнение. Дифференциальное уравне­ ние относительно функции о д н о й независимой переменной называется обыкновенным дифференциальным уравнением.

П р и м е р . Уравнение Бесселя

х2у" -■ ху‘ ' (ж2 — р2)у = О

есть обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка относительно функции у {х).

Дифференциальное уравнение относительно функции несколь­ ких переменных называется уравнением с частными производ­ ными, особый класс которых составляют уравнения математиче­ ской физики. К ним относится, например, уравнение Лаплас

U X X -f" М ру - р П 2 ; 0 .

В этой главе рассматриваются только обыкновенные дифферен­ циальные уравнения; независимая переменная предполагается вещественной. Уравнение га-го порядка, разрешенное относительно старшей производной, имеет вид

Дифференциальное уравнение называется линейным, если иско­ мая функция и ее производные входят в уравнение в первых

степенях и не перемножаются. Важную роль играют линейные уравнения второго порядка

до порядка п включительно, которая этому уравнению удовлет­ воряет:

названа интегралом уравнения.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения. Процесс нахождения реше­ ния дифференциального уравнения называется его и н т е г ­

ри р о в а н и е м .

Вотличие от алгебраического уравнения, решением которого является число, дифференциальное уравнение имеет своим реше­ нием функцию. Оказывается, что дифференциальное уравнение имеет,' вообще говоря, семейство решений, зависящее от пара­ метров clt с2, . . ., число которых равно порядку дифференциаль­

Такое решение уравнения (1), содержащее п произвольных постоянных, есть общее решение этого уравнения. Строгое опре­ деление этого понятия дано в пи. 224 и 226.

ние в тождество при любых значениях сх и с2.

Всякое решение, которое можно получить из общего решения путем фиксирования произвольных постоянных, называется ча­ стным решением этого уравнения.

Иногда общее решение уравнения (1) мы получаем в неявном

223. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Многие задачи.науки и техники приводят к дифференциальным уравнениям. Мы встретили их в пп. 18, 35, 150 и др. Рассмотрим еще три задачи из различных областей науки.

1. Задача о движении тела в среде с сопротивлением. Требуется найти закон движения тела, перемещающегося прямолинейно вдоль оси Ох, при условии, что среда оказывает сопротивление,

пропорциональное первой степени скорости. Согласно второму закону Ньютона, произведение массы тела т на ускорение х" равно сумме всех действующих сил:

где к — положительная постоянная; x(t) — путь, пройденный телом к моменту времени t. Равенство (6) связывает первую и вто­ рую производные искомой функции х (t); оно представляет пример дифференциального уравнения. Легко проверить, что уравнению

(6) удовлетворяет функция

Функция (8) есть так называемое решение задачи Коши для урав­ нения (6).

2. Задача. Найти плоскую кривую, отражающую параллель­ ные (оси Ох) лучи в одну точку (начало координат). Требуется найти функцию у — у (х), графиком которой является искомая

Мы получили в неявной форме общее решение дифференциального уравнения. Геометрически это решение представляет семейство парабол, каждая из которых дает решение поставленной задачи.

3. Задача Волътерра. Рассмотрим совместное существование двух видов, например, рыб. Обозначим количество особей первого

вида X (t), второго — у (t). Предположим, во-первых, что первый вид питается продуктами среды, которые всегда имеются в доста­ точном количестве, и, во-вторых, что если бы первый вид жил один, то число его особей непрерывно увеличивалось бы со ско­ ростью, пропорциональной имеющемуся количеству особей: х' =

к гх. Особи второго вида питаются только особями первого вида. Поэтому, если бы второй вид жил один, то он постепенно бы вы­ мирал: у' —к 2у.

Теперь рассмотрим случай, когда оба вида живут совместно. Коэффициент увеличения первого вида будет тем меньше, чем больше у. Сделаем простейшее предположение, а именно, что коэффициент к г уменьшится на величину, пропорциональную у. Аналогичным образом предположим, что коэффициент уменьше­ ния второго вида к 2 в силу наличия первого вида (наличия нищи) изменится на величину, пропорциональную х. При этих пред­ положениях мы имеем следующую систему дифференциальных уравнений:

X 1 =.--•=(Ад — к3у) X , у' = — (к2— к±х) у,

где к г, к 2, к3 и кі — положительные числа. Можно доказать, что в этом случае изменение численности обоих видов происходит по периодическому закону.

Заметим, что к системе уравнений этого же вида приводят некоторые задачи кинетики химических процессов.

Рассмотренные задачи иллюстрируют следующую важную мысль о значении дифференциальных уравнений. В естество­ знании при нахождении зависимости, например между х и у, часто бывает легче установить зависимость между скоростью изменения величины у или ее ускорением и другими параметрами явления, нежели непосредственно связать х и у. Таким образом, прежде составляют дифференциальное уравнение, а затем полу­ чают его решение, оно и дает искомую зависимость у (х). В ча­ стности, второй закон Ньютона механики можно выразить диф­ ференциальным уравнением ту" = / (х , у , у’). Значение этого уравнения состоит в том, что оно позволяет свести физическую задачу определения движения тела к математической задаче

где функция / (х, у) определена и непрерывна в области А пере­

у = ф (х) заключается в следующем. График функции ф (х) имеет в каждой своей точке касательную (потому что ср имеет произ­ водную), угол наклона которой обозначим через а. В каждой