книги из ГПНТБ / Сахарников Н.А. Высшая математика учебник

Теорема 1. Если / (х) можно представитъ в некоторой окрест­ ности точки х0 степенным рядом (25), то’такое представление единственно, и этим рядом является ее ряд Тейлора, т. е.

СО

можно дифференцировать любое число раз. Следовательно, сумма

Ряд (25) с этими коэффициентами и есть ряд Тейлора (27). Теорема доказана.

В процессе доказательства теоремы было установлено, что для того чтобы функция могла быть разложена в степенной ряд, н е о б х о д и м о , чтобы она имела производные всех порядков. Это условие не так уж невыполнимо. Многие элементарные функ­

и формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа (см. п. 51). Формулу Тейлора запишем в виде / (х) — sn (х) +

Выясним, при каком условии ряд (26) сходится к / (х), т. е. существует предел последовательности частичных сумм sn(x) и этот

Таким образом, доказано следующее утверждение.

Теорема 2. Для того чтобы функция / (х), имеющая производ­ ные всех порядков в промежутке \х — хп| <" г, могла бытъ пред­ ставлена в этом промежутке степенным рядом, необходимо и достаточно, чтобы остаточный член формулы Тейлора стремился к нулю при п —>°° для всех х из указанного промежутка.

Заметим, что условие (29) проверить трудно уже потому, что в него входит величина с, точное значение которой неизвестно Поэтому ниже доказана теорема, содержащая удобное во многих случаях достаточное условие представимости функции степенным рядом.

Теорема 3. Если функция / (х) имеет в промежутке \х — хп| <+ <+ г производные всех порядков, которые ограничены по совокуп­ ности, т. е. существует число М такое, что выполняется нера­ венство

для всех п и при всех х из промежутка \ х — л0 | <+ г, то функция / (х) может бытъ представлена степенным, рядом (27) в этом промежутке.

Доказательство сводится к тому, чтобы проверить условие

общий член стремится к нулю. Отсюда следует согласно (31),

а вместе с ним и неравенство | R n (х) \ <Д е при п > N (е) и всех х

стремится к нулю равномерно * по х в промежутке | х — х0 [ <+ г, а отрезок ряда Тейлора sn (х) с достаточно большим п является многочленом, равно­ мерно приближающим ** данную / (х) в промежутке \х — х0 | <+ г.

217. Разложение основных элементарных функций в степенные ряды. Частым случаем ряда Тейлора (27), соответствующим усло­

сразу для всех х из промежутка | (х — х0) | <; г.

Составим разложения основных элементарных функций по

f k) (0) = sin -у . = о при /с = 2п, f k) (0) = ( — 1)” при к = 2п + і.

Можно доказать (на чем'мы останавливаться не будем), что равенство (36) верно при \х \ < 1. Полезно выделить следующие частные случаи биномиального ряда:

71

1) при а = п имеем бином Ньютона (1 + ж)"= 2 Сп*', fc-0

2) при а — — 1 имеем геометрический ряд

3) при а == — — имеем

П-1

4)заменив в (38) х на —х2, получим

6.Разложение f(x) —arctgx получим путем интегрирования

ряда (37), если в нем предварительно заменить х на хг:

7. Разложение / (х) = arcsin а; получим путем интегрирования ряда (39)

Области сходимости рядов (40)—(42) указаны в скобках. Заметим, что все полученные разложения верны и в комплекс­ ной области (см. п. 212). Поэтому, если заменить в ряде (33) х

на іх, то получим равенство

218. Некоторые приложения степенных рядов.

Познакомимся на примерах с использованием степенных рядов при вычислении интегралов и пределов функций.

1. Интегрирование функций. Известно, что не всякая элементарная функция интегрируема в элементарных функциях. Например, функция

е~х непрерывна при всех х и имеет первообразную, которая не является элементарной функцией.

AT

п = о

которое имеет место при всех х. Интегрируя его почленно, получим формулу

которая при любом ж даст представление нашего интеграла в виде бесконеч­

2. Раскрытие неопределенностей. Вычисление предела функции с по­ мощью степенного ряда иллюстрируем примером.

cos 2х_\

II р и м е р 3. Требуется вычислить предел L — lim —у-----------— .

х-*о —1—Зж

Разложим в степенные ряды отдельно числитель и знаменатель дроби и вы­ делим в них общий множитель ж2:

Сократим дробь на ж2, затем положим в правой части этого равенства ж = О и, пользуясь непрерывностью суммы степенного ряда, получим окончательно

219. Понятие о ряде Фурье.* Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд вида

где опять равны нулю все члены ряда, кроме одного, соответству­ ющего условию п = к. В соответствии с (51) получим

я

J / (х) cos kx dx — nakm -Я

Я

Аналогично найдем [ f (х) s in kx dx —л bk.

Отсюда следует единственность разложения / (х) в тригоно­ метрический ряд. Коэффициенты этого ряда определяются фор­ мулами

ции / (х). Рядом Фурье функции / (х) в промежутке (—л, я) назы­ вается тригонометрический ряд (46), коэффициенты которого определяются формулами (52). Следовательно, имеет место ут­ верждение.

Это и есть ряд Фурье данной функции в промежутке (—я, я).

Ряд Фурье функции / (х), заданной в промежутке (—I, I), можно получить с помощью ряда (47) путем замены переменной.

Разложим в ряд Фурье в промежутке (—л, л) функцию, опреде­

Сформулируем достаточные условия представимости функции рядом Фурье. Пусть / (х) в промежутке ( —I, I) удовлетворяет условиям Дирихле; это значит, что она в этом промежутке непре­ рывна или кусочно-непрерывна (т. е. имеет конечное число раз­ рывов первого ряда) и монотонна или кусочно-монотонна (т. е. промежуток можно разбить на конечное число частей, в каждом из которых функция монотонна).

Теорема Дирихле*. Если функция / (х) удовлетворяет условиям Дирихле в промежутке [ — I, Z], то ряд Фуръе этой функции схо­ дится во всем промежутке [—1,1] и сумма этого ряда равна

/ (х) — в точках непрерывности функции,