книги из ГПНТБ / Сахарников Н.А. Высшая математика учебник

Следовательно, в результате перестановки членов в данном условно сходящемся ряде получен ряд, сумма которого вдвое меньше суммы исход­ ного ряда.

Риман доказал *, что в любом условно сходящемся ряде его члены можно переставить так, что получится ряд с любой наперед заданной суммой или, если угодно, расходящийся ряд.

Абсолютно сходящиеся ряды можно перемножать почленно. Это значит, что такие ряды можно умножать как многочлены — каждый член одного ряда умножается на каждый член другого ряда и затем результаты складываются.

сходящихся рядов 2 (—х)п и ^ Iя в промежутке —1<\г<+. Перемножив

оп=о

их почленно H расположив результат по возрастающим степеням х, получим геометрический ряд со знаменателем q = х2

= l + ( l - l) * + ( l - l + l)z2 + . . .== 1+ *2 + 3:4+ . . . .

Заметим, что суммы перемножаемых рядов и сумма полученного ряда связаны

Ряд с комплексными членами (36) называется сходящимся, если суще­ ствует конечный предел последовательности частичных сумм данного ряда lim sn = s, при этом число s называется суммой ряда (36). Здесь мы поль­ зуемся понятием предела последовательности комплексных чисел и понимаем его в следующем смысле: число s называется пределом последовательности {s«}, если для каждого е +> 0 существует число N +> 0 такое, что для всех

Теорема 1. Ряд (36) сходится тогда и только тогда, когда сходятся ряды

(37).

Действительно, если величины sn и s представить в алгебраической форме Sn = ап + іЪп, s — а + iß, где ап и Ъп — частичные суммы рядов (37), то условие I % — s I <+ е примет вид

Если ряд (36) сходится, то при и > N выполнено условие (38), из кото­ рого следует, что

* Доказательство см. в работе В. И. Смирнова «Курс высиіей матема­ тики», т. I, § 14.

и поэтому сходятся ряды (37) соответственно к а и ß. Если же ряды (37) схо­

I + ißraI —У anФ ßn ===I an1> I CLn+ іßn I ^ I ßreI ■

На основании теоремы сравнения (см. и. 209) заключаем, что из сходимости

§36. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

213.Основные понятия. Признак Вейерштрасса. Пусть дана

последовательность функций {/„ (ж)}, определенных в одном и том же промежутке (я, Ъ). Составим ряд, членами которого являются функции данной последовательности

Функциональный ряд (1) можно понимать как бесконечное мно­ жество числовых рядов, в каждом из которых величина х имеет свое определенное значение из промежутка (я, Ъ). При некоторых значениях х ряд (1) сходится, при других — расходится.

Точкой сходимости ряда (1) называется значение х0 из про­ межутка (а, Ь), при котором ряд (1) сходится, т. е. существует

в промежутке. Составим для этого н-ю частичную сумму ряда(1)

сходящимся в промежутке (а, Ь), если существует конечный предел последовательности его частичных сумм при любом х из (я, Ъ)

и этот предел называется суммой ряда (1) в промежутке (а, b). Это значит, что для каждого е > 0 и каждого х из (а, Ь) суще­ ствует число N (е, X) такое, что для рассматриваемого х при

п > N имеет место неравенство

где гп(х) — остаток ряда после п-то члена:

равномерно сходящимся по х в промежутке (а, b), если для каж­

номерно в промежутке (а, Ъ), то он равномерно сходится в любом промежутке, содержащемся в (а, Ь), а также, что ряд (1) сходится в каждой точке промежутка (а, Ъ). Число N (г), о котором го­ ворится в определении, является верхней границей элементов числового множества {TV (е, а;)}, указанного выше. Не всякое бесконечное числовое множество ограничено. Но если существует

Частичная сумма sn (х) ряда (10) непрерывна в (а, Ь) как сумма

ветствует б >» 0 такое, что при | ж — ж01<4 б выполняется не­

равенство I sn (ж) — sn (ж0) | < | .

который сходится в промежутке 0 ss; х ^ 1. Действительно, при х = 1 все

члены ряда и его сумма равны нулю, а при 0 ^ х <С 1, суммируя бесконечно

Л

Теорема (о почленном интегрировании ряда). Равномерно сходящийся ряд непрерывных функций можно интегрировать почленно.

В условиях предыдущей теоремы требуется доказать, что при а <; сс <; ß. <; b имеет место формула

(15)

Доказать возможность почленного интегрирования ряда, т. е, возможность перестановки операций суммирования и интегриро* вания согласно формуле (15), это значит доказать, что существуют все интегралы, входящие в формулу (15), сходится ряд

разность непрерывных функций / (х) и sn (х). Поэтому все эти функции интегрируемы.

Интегрируя равенство (17) в промежутке от а до ß, получим

представляет частичную сумму ряда (16).

ß

Обозначим R n = J rn (x) dx и докажем, что R n -+■0. Согласно

а

равномерной сходимости ряда (10) в [а, ß] числу^-^> 0 соответ-

g

ствует N (е) такое, что выполняется неравенство \rn{x)\<C.^zra для всех п > N (е) и для всех х из [а, ß]. Мы предполагаем,

абсолютно, при \ х\ > R ряд (21) расходится. В частности, может оказаться, что R = 0 и тогда ряд (21) расходится при всех зна­ чениях X , отличных от нуля, или же R = оо и тогда ряд (21) сходится при всех значениях х.

Пусть ряд (21) сходится при X = х0 > 0. Если мы будем уве­ личивать число х0, то могут встретиться только два случая: или этот ряд будет оставаться сходящимся при сколь угодно большом

одна или обе границы промежутка (что зависит от свойства кон­ кретного исследуемого ряда).

В ы ч и с л е н и е р а д и у с а с х о д и м о с т и . Дан ряд (21). Предположим, что существует и отличен от нуля предел

В соответствии с признаком Даламбера ряд (21) 1) сходится

абсолютно при \х\р < 1, т. е. при \х\<^ —, 2) расходится при

|а : |р > 1 . Отсюда следует, что радиусом сходимости ряда (21) является число

РП-і-СО я я+1

С л е д с т в и е 2. В каждой внутренней точке промежутка сходимости степенной ряд сходится абсолютно и поэтому обладает всеми свойствами абсолютно сходящихся рядов (переместительным, сочетательным, свойством почленного умножения).