книги из ГПНТБ / Сахарников Н.А. Высшая математика учебник

Действительно, если обозначить через sn сумму п первых членов ряда (1), а через оп — то же для ряда (14), то получим

Это так называемое необходимое условие сходимости ряда.

Действительно, если ряд (1) сходится, то

его общий член не стремится к нулю.

П р и м е ч а й и е. Условие (15), будучи необходимым условием сходи­ мости ряда, не является достаточным условием его сходимости. Это утвержде­ ние достаточно подтвердить хотя бы одним примером. Вот этот пример.

II р и м е р 4. Ряд

называется гармоническим рядом. Его общий член ап — — стремится к нулю

при п -у оо. Однако этот ряд расходится, что можно доказать рассуждением от противного. Предположим, что ряд (16) сходится и его сумма равна s. Отсюда следует, что

lim (s2n—Sn) = Hm s2n—lim s„ = s —s = 0.

Это равенство противоречит неравенству:

точное условие сходимости ряда, установленное Больцано (1817 г.) и Коши (1821 г.). Его называют также принципом сходимости ряда.

Вспомним (см. п. 20), что необходимое и достаточное условие существования предела последовательности {s„} заключается в том, чтобы для каждого е > 0 существовало соответствующее

Теорема 2 (теорема сравнения). Если члены ряда (I) не больше соответствующих членов ряда (II), т. е. при п — 1 , 2 , . . .

Допустим, что ряд (II) сходится. Обозначим через А п сумму п первых членов ряда (I) и через Вп — аналогичную сумму ряда (II).

Пусть ряд (I) расходится. В этом случае расходится и ряд (II). Действительно, если бы ряд (II) сходился, то по первой части теоремы сходился бы и ряд (I), но он расходится. Теорема доказана.

д]цЯ £

то из сходимости ряда (II) следует сходимость ряда (I), а из расходимости ряда (I) следует расходимость ряда (II).

и, перемножив отдельно все левые и все правые части этих нера-

Если ряд (I) расходится, то будет расходиться и ряд с общим

членом — Ът (см. неравенство (22)), а вместе с ним и ряд (II)-

З а м е ч а н и е . Заключения теорем 2 и 3 имеют место и в том случае, когда условия (20) или соответственно (21) выполняются для всех п, начиная лишь с некоторого N (может быть большего единицы).

Теорема 4 (признак Даламбера *). Если члены ряда (18) удо­ влетворяют соотношению

так как его общий член не стремится к нулю — нарушено необходимое условие сходимости.

было меньше единицы. Тогда из правой части (26) следует соотно­ шение (23) и ряд (18) сходится по теореме 4.

* Жан Лерон Даламбер (1717—1763) — французский математики физйк-

и ряд (18) расходится по теореме 4. Теорема доказана.

Заметим, что при D — 1 теорема 5 не дает ответа на вопрос о сходимости ряда (18); он в одних случаях сходится, а в других расходится.

Следовательно, по теореме 5 ряд сходится при условии 0 <] х <б 1 и расхо­

монотонно убывает и в точках х = п принимает значения / (п) =

/ (п), которое в свою очередь больше всех значений / (х) в про­ межутке п < х <С.п + 1 (рис. 148). Это предложение запишем условно в виде неравенства

Интегрируя это неравенство в соответствующих единичных про­ межутках, получим

Если сходится (см. п. 162) интеграл (28),'то из левой части (30) следует ограниченность частичных сумм ряда (18) и сходимость этого ряда по теореме 1. Если расходится интеграл (28), то из правой части (30) вытекает расходимость ряда (18). Теорема доказана.

Следовательно, данный ряд сходится при к > 1 и расходится при се sc 1.

210. Знакочередующиеся ряды. Знакочередующимися рядами называются ряды вида

где все ап > 0 .

остатка знакочередующегося ряда сумму нашего ряда представляет s3 с точ­

причем s <3 ss, так как величина г3 = s — s3 ■< 0 — она имеет знак четвер­ того члена ряда.

211. Общие числовые ряды. Рассмотрим числовой ряд с веще­ ственными членами, относительно знаков которых не ставится никаких ограничений:

Если члены ряда не все положительны (отрицательны), но начиная с некоторого места становятся положительными (отрица­ тельными), то, отбросив достаточно большое количество началь­ ных членов ряда, сведем вопрос о сходимости данного ряда к иссле­ дованию ряда с положительными членами. Таким образом, суще­ ственно новым случаем будет тот, когда среди членов ряда есть бесконечное множество как положительных, так и отрицательных членов.

Ряд (33) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда

которого следует (в силу такого же принципа сходимости), что сходится ряд (33).

Но условию теоремы ряд с положительными членами (IV) сходится, и поэтому он обладает (в силу леммы) переместительным свойством. Следовательно, абсолютно сходящийся ряд (III) остается абсолютно сходящимся при любой перастановке его членов.

Остается доказать утверждение теоремы о неизменности суммы ряда (III) при перестановке его членов. Рассмотрим для этого

такие ряды с положительными членами: ряд 2 bn (V), составленный

из положительных членов ряда (III), и ряд 2 сл(ѴІ), составленный из абсолютных величин отрицательных членов ряда (III), причем члены рядов (V) и (VI) расположены и занумерованы в том порядке, в каком они встречаются в ряде (III).

Из сходимости ряда (IV) следует сходимость рядов (V) и (VI), потому что частичные суммы Вк и Ск этих рядов не превосходят соответствующей частичной суммы ряда (IV), которая в свою очередь меньше суммы НІѴ ряда (IV). Частичная сумма А п ряда (III) содержит к положительных членов и т отрицательных членов, поэтому А п = Bk — С,п. Ряды (III), (V), (VI) сходятся, поэтому существуют пределы их частичных сумм и они связаны

Перестановка членов ряда (III) вызовет перестановку членов сходящихся положительных рядов (V) и (VI), но не изменит (в силу

иА ' = А. Теорема доказана.

Пр и м е ч а н и е. Условно сходящиеся ряды переместительным свой­ ством не обладают. Справедливость этого утверждения покажем на примере